逐層分類：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效方法

摘 要：要獲得和理解概念，就要對(duì)紛繁的研究對(duì)象進(jìn)行不斷的分類，從而得到具有特殊屬性的一個(gè)子類，準(zhǔn)確、深刻地挖掘概念的內(nèi)涵。以“百分?jǐn)?shù)的意義”和“正比例的意義”為例，說(shuō)明：在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師合理運(yùn)用逐層分類的方法，可以使概念的獲得水到渠成，使概念的理解準(zhǔn)確深刻，使概念的建立融于知識(shí)體系，使概念的探索過(guò)程異彩紛呈。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué) 逐層分類 百分?jǐn)?shù) 正比例

概念是人類知識(shí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，本質(zhì)是特征相似性的集合，揭示了一類事物的共同屬性。分類是人類思維的基本方式，即根據(jù)研究對(duì)象某一角度下的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將其分為不同種類。要獲得和理解概念，就要對(duì)紛繁的研究對(duì)象進(jìn)行不斷的分類，從而得到具有特殊屬性的一個(gè)子類，準(zhǔn)確、深刻地挖掘概念的內(nèi)涵。基于分類的結(jié)果，不但能清晰、準(zhǔn)確地獲得和理解概念，而且能逐層深入地建立和把握概念的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)。通過(guò)分類的過(guò)程，既可以培養(yǎng)思維的周密性、條理性，又可以提升研究問(wèn)題、探索規(guī)律的能力。因此，在概念教學(xué)中，教師應(yīng)該合理運(yùn)用逐層分類的方法。對(duì)此，筆者進(jìn)行了實(shí)踐與思考。

百分?jǐn)?shù)的概念有兩個(gè)本質(zhì)屬性：分母是100和表示兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系。因此在教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)情境，提供豐富、全面的研究素材，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷兩次分類，得到“分母是100又表示兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系”這一子類，隨后點(diǎn)明這樣的分?jǐn)?shù)就是百分?jǐn)?shù)，概括總結(jié)得到百分?jǐn)?shù)的意義。兩次分類的過(guò)程，就是引領(lǐng)學(xué)生自我探索、自我發(fā)現(xiàn)和自我歸納百分?jǐn)?shù)概念兩個(gè)本質(zhì)屬性的過(guò)程。因?yàn)橛辛酥庇^感受、經(jīng)歷體驗(yàn)和交流碰撞，所以概念的理解和掌握在兩次分類中水到渠成，思考和探索的能力也在兩次分類中漸臻成熟。

（二）蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“正比例的意義”

1.出示問(wèn)題情境。

（教師創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生初步理解什么是“兩種相關(guān)聯(lián)的量”。）

師 生活中有很多反映數(shù)量的例子，我們?cè)賮?lái)看幾個(gè)例子。

（出示圖1。）

2.第一次分類。

師 以上5組數(shù)量，你能把它們分成兩類嗎？說(shuō)說(shuō)分類的標(biāo)準(zhǔn)。

生 根據(jù)表中數(shù)量“是否是兩種相關(guān)聯(lián)的量”這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，把①②③⑤分成一類，把④單獨(dú)分成一類。

（教師引導(dǎo)學(xué)生按照標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)分類是否正確。）

3.第二次分類。

師 ①②③⑤中都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，我們用關(guān)系式來(lái)表示他們之間的關(guān)系。請(qǐng)分別說(shuō)說(shuō)每組的數(shù)量關(guān)系式。

（學(xué)生回答，課件同步在表格旁邊呈現(xiàn)相應(yīng)的關(guān)系式。）

師 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式，你能將①②③⑤再分成兩類嗎？說(shuō)說(shuō)分類的標(biāo)準(zhǔn)。

生 根據(jù)“兩種量是否是相除或相比關(guān)系”這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，把①②③分為一類，把⑤單獨(dú)分為一類。

4.第三次分類。

師 現(xiàn)在繼續(xù)研究①②③這一類，這三個(gè)表格都給出了兩種量的幾組對(duì)應(yīng)值。請(qǐng)你根據(jù)①寫(xiě)出路程和時(shí)間的比并分別求出比值，根據(jù)②寫(xiě)出總價(jià)和數(shù)量的比并分別求出比值，根據(jù)③寫(xiě)出面積和邊長(zhǎng)的比并分別求出比值。這些比值分別表示什么？你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學(xué)生計(jì)算、回答。）

師 現(xiàn)在你能把①②③再分成兩類嗎？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生 根據(jù)“比值是否一定”這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，把①②分成一類，把③單獨(dú)分成一類。

5.揭示正比例的意義。

師 經(jīng)過(guò)三次分類，得到的①②這一類中的兩種量有什么共同的特點(diǎn)？

生 兩種相關(guān)聯(lián)的量，有相除或相比的關(guān)系，且比值一定。

（教師同步板書(shū)。）

師 像①②中有這樣特點(diǎn)的兩種量，在數(shù)學(xué)上就叫作成正比例的量，它們的關(guān)系就叫作正比例關(guān)系。

（教師引用例子，讓學(xué)生辨析概念、鞏固理解：①中的路程和時(shí)間是成正比例的量嗎？為什么？②中的總價(jià)和數(shù)量是成正比例的量嗎？為什么？③中的面積和邊長(zhǎng)是成正比例的量嗎？為什么？⑤中的已走的路程和未走的路程是成正比例的量嗎？為什么？）

正比例的概念理解起來(lái)比較抽象。所以在教學(xué)中，筆者提供比較豐富、全面的研究素材后設(shè)計(jì)了三次分類：第一次分類感受“兩種相關(guān)聯(lián)的量”，比較容易理解；第二次分類深挖兩點(diǎn)理解，即相關(guān)聯(lián)的量通常可以用四則運(yùn)算表示相互關(guān)系，而此處要研究的是有相除或相比關(guān)系的兩種量；第三次分類，繼續(xù)縮小外延，得到相除或相比關(guān)系中比值不變的子類，由此點(diǎn)明這樣的兩種量在數(shù)學(xué)中叫作成正比例的量。數(shù)量是抽象的，關(guān)系是更抽象的。

因此，這里創(chuàng)設(shè)了“看得見(jiàn)、摸得著”的研究素材，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了三次分類。

隨著分類不斷精細(xì)，研究對(duì)象的外延越來(lái)越小，內(nèi)涵越來(lái)越清晰明了，最終得到符合概念本質(zhì)的子類，概念的理解和掌握自然而然。

二、教學(xué)反思

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些概念，尤其是高年級(jí)的很多概念，運(yùn)用逐層分類的方法教學(xué)，不僅有助于落實(shí)“學(xué)生主體，教師主導(dǎo)”的教育理念，而且有助于更好地達(dá)成知識(shí)、方法、能力、情感等方面的教育目標(biāo)。

（一）使概念的獲得水到渠成

小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念通常有兩到三個(gè)本質(zhì)屬性。小學(xué)階段，學(xué)生的思維以形象思維為主，離不開(kāi)具體感性的素材支撐。他們認(rèn)知水平不高，沒(méi)有能力在繁雜的材料中一下子感知多個(gè)本質(zhì)屬性。所以，可以從概念的內(nèi)涵出發(fā)，借助學(xué)生熟悉的素材作為研究對(duì)象，引領(lǐng)學(xué)生逐層分類，從而讓概念的本質(zhì)屬性在分類的思考與探索中水到渠成，化抽象于無(wú)形，達(dá)到“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的效果。

（二）使概念的理解準(zhǔn)確深刻

小學(xué)階段，學(xué)生思維處于形象思維逐步向抽象思維過(guò)渡的發(fā)展階段，重視具體、直觀、感知、體驗(yàn)是必要的，但是忽視對(duì)事物本質(zhì)特征的抽象與概括，勢(shì)必影響學(xué)生抽象能力和概括能力的發(fā)展，也會(huì)造成學(xué)生對(duì)概念的理解流于粗糙和膚淺。逐層分類的方式可以較好地促進(jìn)學(xué)生精準(zhǔn)而深刻地理解概念。每一次探索思考“分類標(biāo)準(zhǔn)”，就是一次撥開(kāi)表象，概括抽象，就是一次推動(dòng)理解的進(jìn)一步精準(zhǔn)和深刻。

（三）使概念的建立融于知識(shí)體系

邏輯學(xué)指出：下定義是揭示內(nèi)涵的基本邏輯方法，其基本結(jié)構(gòu)是“被定義的概念=種差[同與之并列的其他種概念（下位概念）之間的主要差別]+鄰近的屬概念（上位概念）”。可見(jiàn)，一個(gè)定義式的數(shù)學(xué)概念就是“概念的概念”，即處于一個(gè)知識(shí)體系中。比如，百分?jǐn)?shù)概念和低年段的“小明錢數(shù)是小紅錢數(shù)的3倍”、五年級(jí)的“小明錢數(shù)是小紅錢數(shù)的1.5倍”、六年級(jí)的“小明錢數(shù)是小紅錢數(shù)的58”涉及的概念同屬于一個(gè)知識(shí)體系，都是兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，但是又有自己獨(dú)特的屬性。所以，運(yùn)用逐層分類的方法幫助學(xué)生逐步建立百分?jǐn)?shù)概念在表示兩個(gè)數(shù)倍數(shù)關(guān)系的概念體系中的正確位置，將它納入知識(shí)體系中，不但能使學(xué)生全面、深刻地理解新概念，而且能使原有概念得到充實(shí)和發(fā)展。

（四）使概念的探索過(guò)程異彩紛呈

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，要在積極參與有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)中促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展；數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要標(biāo)志；幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。在概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)研究情境，設(shè)計(jì)一次又一次的分類探索和交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)，就是為學(xué)生提供這樣的發(fā)展機(jī)會(huì)。學(xué)生在這一過(guò)程中經(jīng)歷思考、交流、辨析，思維與思維碰撞，語(yǔ)言和語(yǔ)言交鋒，能夠激發(fā)出一波又一波的精彩之處。

參考文獻(xiàn)：

[1] 彭漣漪，余式厚.寫(xiě)給中學(xué)生的邏輯學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.