改進的PSO-SVM模型在大壩變形預測中的應用

徐　朗，蔡德所

(三峽大學水利與環境學院，湖北 宜昌 443002)

0　引　言

依據大壩變形監測的實測資料，建立合理精準的分析預測模型是大壩安全監測中的一項重要工作。目前，運用較多的有神經網絡模型、統計模型、時間序列模型以及支持向量機模型(SVM)[1]。在處理高維度、數據量少、呈非線性變化的大壩變形監測數據時，SVM模型表現出了良好的擬合能力和預測精度，是一種理想的大壩變形預測模型。在SVM模型中，決定模型性能的主要參數是懲罰參數c和核函數參數σ，一般采用粒子群算法(PSO)、遺傳算法(GA)、網格劃分的方式對c和σ進行尋優[2]。針對標準的PSO算法在尋優的過程中容易陷入局部最優和過早收斂的缺陷，許多學者提出了算法改進方法，但大多數都是對粒子速度更新公式中的慣性權重進行改進，且多采用固定參數設置或線性遞減參數策略[3]。本文采用柯西分布函數和密度函數的非線性變化特征對PSO算法中粒子的速度和位置更新公式進行改進，運用改進后的PSO算法對SVM模型的懲罰參數c和核函數參數σ進行尋優，來解決標準PSO算法在尋優過程中存在易于陷入局部極小值和早熟收斂的情況。結合實際工程的監測數據，建立改進的PSO-SVM模型進行預測分析，預測結果表明，改進的PSO-SVM模型的擬合能力和預測精度有了明顯的提升。

1　支持向量機理論

支持向量機是由Vapnik等人在1995年提出，它是在統計學習理論和結構風險最小化的基礎上來進行實現[4]。支持向量機被廣泛運用于解決模式分類、優化控制、回歸分析以及非線性建模和預測等方面的問題。對于大壩變形預測這種復雜的非線性問題，建立支持向量機回歸預測模型能取得較好的結果。在處理非線性回歸問題中，假設有訓練樣本集{xi，yi}，i=1，2，…,n。xi∈Rd，yi∈R，xi為訓練樣本輸入，yi為實際值?；驹硎沁\用非線性映射φ(x)將輸入樣本數據空間映射到高維特征空間，在高維特征空間中構造出線性擬合函數f(x)=ω·φ(x)+b進行回歸分析，其中ω為權值向量，φ(x)為非線性函數，b為常數。根據結構風險最小化原理來求解ω和b，尋優的過程可以等價于最小化下列風險函數[4]：

(1)

該問題為二次規劃優化問題，運用拉格朗日乘數法、對偶原理以及引入核函數對該問題進行求解，得出問題的對偶優化為：

(2)

(3)

根據KKT條件可以得到b，最后將ω、b代入原方程得到支持向量機回歸方程為：

(4)

K(x，xi)表示的是核函數，需滿足Mercer條件，主要是將內積運算形式φ(x)·φ(xi)轉換成核函數K(x，xi)。本文選取的核函數為徑向基核函數(RBF)，其表達式為：

(5)

2　改進的PSO算法

PSO優化算法是通過模擬鳥類尋找食物的群體行為特征而創造的一種優化方法。算法中每一個粒子都代表要解決問題的一個潛在解，通過粒子在運動過程中的速度和位置這兩個指標來表示粒子的行為特征，根據適應度函數計算公式計算出每個粒子適應度值的大小來判斷粒子的優劣程度。在進行粒子的尋優過程中，通過分析個體極值(Pbest)與群體極值(Gbest)的大小來不斷修正個體的位置[2,5]。個體極值是指個體在整個位置的修正過程中粒子到達最優位置時所對應的適應度值，群體極值是指整個種群中的所有個體達到最優位置時所對應的適應度值。粒子每一時刻所處的位置都對應一個適應度值，根據個體極值與群體極值的大小來不斷修正個體所處的位置，直到找到當粒子群群體適應度值獲得最優值時粒子所處的位置。算法理論如下：

假設在一個D維的搜索空間里，存在一個由n個粒子所組成的種群X=(X1，X2，…，Xn)，第i個粒子Xi=[xi1，xi2，…，xiD]T表示一個D維的向量，該向量代表了第i個粒子在D維搜索空間中的位置。根據適應度函數公式計算出當粒子所處的位置為X_i時所對應的適應度值，第i個粒子的速度表示為Vi=[Vi1，Vi2，…，ViD]T，個體極值為Pi=[Pi1，Pi2，…，PiD]T，全局極值為Pg=[Pg1，Pg2，…，PgD]T。

每個粒子根據個體極值和全局極值來更新自身的速度和位置，迭代的公式和過程如下：

(6)

(7)

式中：Vid為粒子的速度；i=1，2，…，n；d=1，2，…，D；k為迭代次數；ω為慣性權重；c1，c2為加速常數；r1，r2為[0，1]之間的隨機數。在迭代的過程中為了避免粒子的搜索范圍過大，將粒子的位置限制在[-Xmax，Xmax]的范圍內，將粒子的速度限制在[-Vmax，Vmax]的范圍內。

雖然標準的PSO算法實現簡單，具有算法性能收斂速度快等優點，但是也存在早熟收斂，容易陷入局部最優解的情況。在PSO算法的速度更新公式中，慣性權重ω是決定算法性能的一個重要參數，它可以平衡PSO算法的全局搜索能力和局部搜索能力，當ω取較大值時，算法的全局搜索能力較強，局部搜索能力變弱。當ω取較小值時，算法的全局搜索能力較弱，局部搜索能力變強。根據PSO算法的特性，在算法初期需要有較強的全局搜索能力，算法后期需要有較強的局部搜索能力，因此當慣性權重ω滿足遞減規律時，PSO算法可以獲得較優的性能。標準的PSO算法中慣性權重ω的取值為定值，針對標準PSO算法的這一缺陷，借助標準柯西分布的密度函數對慣性權重ω的取值進行修改。其表達式為：

(8)

根據該函數的函數圖像圖1可以看出，當x>0的時候，p(x)隨x的增大而減小，滿足當PSO算法性能較優時，慣性權重ω逐漸遞減的規律。為了不使ω的取值偏小，引入調整系數γ，擴大ω的取值范圍。在標準柯西分布的密度函數前面增加調整系數γ，并取γ=6，此時ω的最大值可取到0.95附近。因此將慣性權重公式改為：

(9)

式中的x代表PSO算法的迭代次數。

圖1　密度函數圖Fig.1 Density function diagram

(10)

式中的x代表PSO算法的迭代次數，其函數變化圖像見圖2。

圖2　分布函數圖Fig.2 Distribution function diagram

從標準柯西分布的分布函數的變化圖像可以看出，當x>0時函數F(x)的值逐漸增大，且增長速率逐漸變得緩慢。符合PSO算法在迭代初期和后期對粒子位置更新公式的要求，改進后的位置更新公式為：

(11)

3　改進的PSO-SVM模型的建立與實際工程應用

3.1　改進的PSO-SVM模型的建立

根據第一節和第二節的理論分析，采用改進的PSO算法對SVM模型中的懲罰參數c和核函數參數σ進行尋優，尋優步驟如下：

(1)選擇SVM訓練樣本數據和預測樣本數據，并對樣本數據進行歸一化處理。

(2)設置PSO算法和SVM模型中的參數取值，在PSO算法中，迭代次數k為500次，加速常數取c1=c2=2，粒子個數取30個。SVM模型中懲罰參數C的取值范圍為[0.1，1 000]，核函數參數σ的取值范圍為[0.01，1]。

(3)初始化粒子種群，計算粒子的適應度值(適應度值計算公式為SVM模型的輸出值與樣本數據真實值的均方誤差)，根據改進的PSO算法中的公式和公式來更新粒子的速度和位置。

(4)判斷是否滿足迭代停止條件，如果滿足則停止搜索，否則返回到步驟(3)。

(5)當滿足迭代停止條件時，輸出最優的懲罰參數C和核函數參數σ，用訓練樣本數據進行SVM模型訓練，建立改進的PSO-SVM模型，輸入預測樣本數據，得到預測輸出值。

3.2　實際工程運用

水布埡水電站位于湖北省恩施州巴東縣，是清江梯級開發的骨干樞紐。最大壩高為233 m，裝機總容量達到1 824 MW，是目前世界上已建成的最高面板堆石壩[9,10]。本課題組長期承擔水布埡面板堆石壩的變形監測工作，采用自主創新的光纖陀螺監測系統對面板撓度變形進行監測，在0+212 m面板處安裝了光纖陀螺監測系統運行管道[11]。光纖陀螺監測系統為分布式監測，測點連續，克服了傳統儀器點式測量的缺點，測量精度較高。選取利用光纖陀螺監測系統在不同時期監測所獲得的40組面板撓度變形數據進行建模分析，建模數據為從面板底部開始計算，監測管道150 m處的面板撓度變形值，其中30組數據為訓練樣本，并將2015年12月至2016年9月測得的真實數據共10組數據作為與模型預測輸出值進行對比的數據樣本，按照時間順序進行樣本編號。

在研究大壩變形問題中，面板某一點處的撓度值δ按其成因可分為3個部分，由水壓分量(δH)、溫度分量(δT)、時效分量(δθ)引起的位移所組成[7]。用公式表示為：

δ=δH+δT+δθ

(12)

由圖3可以看出，改進后的PSO-SVM模型的最佳適應度明顯優于標準PSO-SVM模型的最佳適應度，且在迭代過程中改進后的PSO-SVM模型的適應度值基本上一直優于標準PSO-SVM模型的適應度值，最佳適應度值收斂在2.32×10-4附近。此時最佳懲罰參數C=65.089 2，核函數σ=0.01。圖4是SVM模型、標準PSO-SVM模型、改進的PSO-SVM模型的擬合曲線圖，經過將不同模型的擬合值與真實值進行分析得出：SVM模型擬合曲線的均方根誤差為1.47 mm，標準PSO-SVM模型擬合曲線的均方根誤差為0.36 mm，改進的PSO-SVM模型擬合曲線的均方根誤差為0.30 mm，因此標準PSO-SVM模型和改進的PSO-SVM模型的擬合精度明顯優于SVM模型的擬合精度。由圖5和表1可以看出，標準PSO-SVM模型和改進的PSO-SVM模型的預測效果明顯優于SVM模型的預測效果，SVM模型、標準PSO-SVM模型、改進的PSO-SVM模型的預測均方根誤差分別為2.42、1.45和0.66 mm，改進的PSO-SVM模型的預測性能最優，精度最高。

圖3　不同模型適應度曲線比較Fig.3 Comparison of fitnesscurves for different models

圖4　不同模型擬合曲線比較Fig.4 Comparison of different model fittingcurves

圖5　不同模型預測曲線比較Fig.5 Comparison of different model predictive curves

表1　不同模型預測結果對比　mmTab.1 Comparison of different model predictions

4　結　論

本文針對標準PSO算法在對SVM模型的懲罰參數C和核函數參數σ進行尋優過程中存在的不足，根據柯西分布函數和密度函數的變化性質對標準PSO算法中粒子位置和速度的更新公式進行改進，構建改進的PSO算法。

新算法有效地改善了標準PSO算法在尋優過程中易于陷入局部極小值和過早收斂的缺陷。運用改進的PSO算法對SVM模型的懲罰參數C和核函數參數σ進行尋優，依靠尋優得到的最佳懲罰參數C和核函數參數σ建立改進的PSO-SVM模型。通過對實際工程的監測數據進行建模分析發現，相較于SVM模型和標準的PSO-SVM模型，改進的PSO-SVM模型的擬合效果和預測精度明顯優于其他兩種模型。因此，改進的PSO-SVM模型在大壩安全監測領域為大壩變形預測提供了一種精度較高，效果更好的預測模型，具有一定的實際應用價值。

□

參考文獻：

[1]蘇懷智, 溫志萍, 吳中如.基于SVM理論的大壩安全預警模型研究[J].應用基礎與工程科學學報, 2009,(1):40-48.

[2]王小川, 史峰, 郁磊，等.MATLAB神經網絡43個案例分析[M].北京：北京航空航天大學出版社，2013.

[3]程畢蕓.改進的離散粒子群算法在TSP中的應用研究[D].江蘇無錫：江南大學, 2017.

[4]王寧, 謝敏, 鄧佳梁, 等.基于支持向量機回歸組合模型的中長期降溫負荷預測[J].電力系統保護與控制, 2016,(3):92-97.

[5]祝曉燕, 張金會, 付士鵬, 等.基于改進PSO的SVM參數優化及其在風速預測中的應用[J].中國電力, 2013,(11):105-108.

[6]逯少華, 張曉偉, 鮑承強, 等.柯西種群分布的自適應范圍粒子群優化算法[J].計算機應用, 2014,(4):1 070-1 073.

[7]吳中如.水工建筑物安全監控理論及其應用[M].北京: 高等教育出版社,2003.

[8]王建, 鄭東健, 姜海霞.大壩觀測資料分析中諧波溫度因子的改進及應用[J].河海大學學報(自然科學版), 2002,(1):68-72.

[9]周偉, 花俊杰, 常曉林, 等.水布埡高面板堆石壩運行期工作性態評價及變形預測[J].巖土工程學報, 2011,(S1):72-77.

[10]王彭煦, 宋文晶.水布埡面板壩實測沉降分析與土石壩沉降統計預報模型[J].水力發電學報, 2009,(4):81-85.

[11]廖鋮, 蔡德所, 李苗, 等.基于光纖陀螺的水布埡水電站大壩面板撓度變形規律分析[J].水利水電技術, 2015,(11):97-100.