橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)

摘 要：教學(xué)過(guò)程中，我們強(qiáng)調(diào)了拋物線的焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)，特別指出其焦點(diǎn)弦長(zhǎng).通過(guò)探究得到了橢圓及雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng).

關(guān)鍵詞：橢圓；雙曲線；焦點(diǎn)弦

本文只討論了斜率存在的情況，對(duì)于斜率不存在，代表通徑 ，在此不再?gòu)?fù)述.

定理1 過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線斜率為k，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則AB= （a>b>0）

證明 令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸，設(shè)橢圓方程E： + =1（a>b>0），則其左焦點(diǎn)F1（-c，0），故直線lAB：y=k（x+c）.將直線lAB代入E整理有（b2+a2k2）x2+2a2ck2x+a2k2c2-a2b2=0

所以x1+x2=- ，x1·x2=

即AB= = =

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸，設(shè)橢圓方程E： + =1（a>b>0），則上焦點(diǎn)F1（0，c），故直線lAB：x=k（y-c）將直線lAB代入E同理可知AB= .

定理2 過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的直線斜率為k，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則AB=

證明 令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)雙曲線方程E： - =1，則左焦點(diǎn)F1（-c，0），故直線lAB：y=k（x+c）.將直線lAB代入E整理有（b2-a2k2）x2-2a2ck2x-a2k2c2-a2b2=0

所以x1+x2=- ，x1·x2=

即AB= = =

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸，設(shè)雙曲線方程E： - =1，則上焦點(diǎn)F1（0，c），故直線lAB：x=k（y-c）將直線lAB代入E同理可知AB= .

例 過(guò)雙曲線 - =1的右焦點(diǎn)F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn).求AB.

解：由定理2知，a2=3，b2=6，k2= ，則AB= =

參考文獻(xiàn)：

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編輯 謝尾合