一題多解

衛根柱

高二年級數學必修5前兩章學習完之后，學校舉行了一次階段統考。其中數學試卷有一道選擇題是這

樣的：

在△ABC中，若AB=2，AC2+BC2=8，則△ABC面積的最大值為（ ）

A. B.1 C. D.

筆者看到本題，解題思路如下：

記△ABC中，A，B，C所對的邊為a，b，c，則c=2，a2+b2=8。

因為8=a2+b2≥2ab，所以ab≤4（當且僅當a=b時取等號），

又因為cosC= = ≥ ，所以0

這原本是一道難度不大的選擇題，考查了余弦定理、均值不等式等知識，但學生還未學習第三章基本不等式。筆者的第一反應是該題會不會超出命題范圍了，不過出乎意料的是本題的正確率還挺高。于是在講評試卷的時候，我特地讓學生談談對本題的分析與思考。沒想到，學生腦洞大開，各抒己見，歸納一下至少有以下幾種解法：

方法一（特殊值法）：因為c=2，a2+b2=8所以可取a=b=c=5，此時△ABC的面積為 ，而選項中的最大值就是 ，故選D。

方法二（解析法）：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A（-1，0），

B（1，0），設C（x，y），所以AC2+BC2=（x+1）2+y2+（x-1）2+y2=8，整理得：x2+y2=3（y≠0）。于是C點的軌跡是以原點為圓心， 為半徑的圓（除去與x軸的兩個交點）.顯然，當C點在y軸上，△ABC的面積最大，為 ×2× = 。

方法三（配方法）：因為cosC= = ，

所以S2= a2b2sin2C= a2b2（1-cos2C）= a2b2-1.

因為a2b2= = =16- ，

所以S2= a2b2-1=3- ，因此，當a=b時，S2max=3，故Smax= .

方法四（三角換元法）：同方法三，得S2= a2b2-1，

因為a2+b2=8，故可設a=2 cosθ，b=2 sinθ，θ∈（0， ），

于是S2= ×8cos2θ×8sin2θ-1=4sin22θ-1，

因此，當θ= 時，S2max=3，故Smax= .

一道好題之所以能引起大家的共鳴，不是因為其獨特的解題技巧，而是其中所蘊含著的數學思想.本題素材普通，但學生的求解過程卻是精彩紛呈，妙趣橫生。筆者認為，在教學中，積極、適宜地進行一題多解的訓練，有利于充分調動學生思維的積極性，提高學生綜合運用已學知識解答數學問題的技能和技巧；有利于鍛煉學生思維的靈活性，促進學生知識與智慧的增長；有利于開拓學生的思路，引導學生靈活地掌握知識間的聯系，培養和發揮學生的創造性。

編輯 韓 曉