如何培養學生的數學抽象概括能力

汪賢鋒 李葵

數學是一門由易到難逐漸加深的學科，知識點很多，題型也很靈活，所以抽象概括能力顯得相當重要。好的概括能力能把前后所學的數學知識串聯起來，環環相扣，才不會出現知識漏洞，從而才能在千變萬化的題目中提煉出所考查的知識點。

一、對概念和數學定理、公式要在理解的基礎上記憶，即分離問題的核心和實質的能力

數學學科雖然是理科，但并不是一門不需要記憶的學科，相反它的概念定理相當得多。沒有對數學定理等知識良好地記憶，抽象概括便無從談起。例如，教學“垂徑定理”時，我結合圖形把這句比較拗口的定理用通俗易懂的語言這樣描述：“過圓心的線段（即為原定理所說的直徑）垂直于弦，則平分弦且平分弦所在的弧”，并把垂徑定理的基本圖案展示給學生并反復加以變式。以后應用垂徑定理時，我就讓學生從復雜圖形中抽象出它的基本圖案。事實證明，學生在這塊知識點上用得非常好。再比如，教學“圓的定義”時，書本上的定義是：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。但如果學生不理解死記硬背非常困難。我就讓學生抽象出這句話的主語為“點的集合”，我又問學生：什么樣的點？學生再回答前面的定語，自然而然就理解記住了。這種抽象出中心詞的概念教學法我經常運用。

對于一個數學概念，學生要先認識其特殊具體的形式，從具體感性的認識逐步過渡到對概念的本質認識，然后再運用概念解決問題，達到鞏固和運用的目的，這樣學生就能通過概念的形成過程逐步建立抽象概括的思維。

二、在教學中對數學知識進行溫故加拓展，提高學生把本質的、非本質的東西區別開來的能力

抽象概括可以說是新舊知識相互作用的結果。所謂的溫故而知新，溫故是學生對以往知識很好的總結復習，而拓展是在知新后對數學知識的延伸，為以后的教學做好鋪墊。例如，在教授“單項式乘以多項式”這一課時，就是對單項式乘以多項式的延伸，如果再延伸還有多項式乘以多項式，這三節課其實本質上是相同的，抽象出來的道理也是相同的。用循循善誘的方法引導學生拓展延伸，很好地培養了學生的抽象概括能力。

三、在類比和對比中培養學生在各類現象間建立聯系的能力

數學的完整性和嚴密性使得很多數學結論和方法都具有相似性，因此在課堂教學中教師要充分利用這點采用類比和聯想的方法才能讓學生自己探索和發現許多新的結論或新的方法。例如，在教授“相似三角形的判定”時我就先讓學生類比“全等三角形的判定”方法大膽猜想和聯想，很多學生得出了比較令我滿意的答案，最后我再和他們一起證明。再比如，我在講“過直線外一點作已知直線的垂線”時（要求是尺規作圖），開始學生大多不會做，我就提醒學生類比作線段的垂直平分線的方法，先以這個點為圓心任意長為半徑畫弧和已知直線兩個交點，相當于把已知直線變成了一條線段接下來，很多學生就恍然大悟了。通過這種方法得出的結論不僅便于學生記憶，學生通過這些活動，不僅挖掘了自己的潛能，增強了學習的信心，提高了學習數學的興趣，更享受到了成功的喜悅，為今后的創造性學習打下了良好的基礎。

四、在教學中注重教學方式的靈活性和練習解題方法的多樣性，多注重變式教學

提倡啟發式教學，讓學生自己去尋找解決問題的關鍵點，引導他們抽象出很多定理的基本圖案，化復雜圖形為簡單圖形，化難為易，這樣能很全面地解決學生的困惑。由于初中生知識體系還沒完整地形成，很多困惑會超出老師的預料，所以應鼓勵學生自己去探索數學規律。例如，教學“概率只是表示可能性大小”一課時，我讓學生展開一場抽獎比賽，讓學生發現占的份數多的更容易被抽到。同時引導學生對概率進行概括，會讓學生加深了理解，同時培養他們的概括能力。

在教學中注重講解練習（特別是幾何題）的多樣性和變式教學，抽象概括是尋求數學知識本質的過程，只有通過多樣性的練習才能確保對知識有全面的認識。例如，在講解有關圓的題目時要求弦長，根據題目條件，多數學生用方程來解決，而我又提醒學生能否用相似解決，經過討論應該是可以的。所以我就加以總結，用方程的思想和用相似都可以解決求線段長度的問題。為了使習題能更好地發揮其教學功能，解題教學應以啟發學生積極思維為核心，不但要教給學生解題方法，并且要以問題為出發點對學生進行抽象、概括、聯想、求異、探索能力等方面的思維訓練，從而激發學生學習熱情，提高學生思維能力的目的。

五、會把具體問題抽象成數學模型

數學應用能力是數學教學中的重要環節。因此，提高學生數學應用能力是提高解決問題的關鍵，在實際教學中應重視開展模型教學及數學建模能力的訓練，在運用數學知識去解決實際問題時，首先要構筑實際問題的數學模型，然后用數學理論和方法去尋找結果，之后返回實際問題中解決問題，最后反過來促進數學思想、方法的形成。

例如，在二次函數的實際應用時，只要涉及求最值，我一般都讓學生建立一個函數模型來解決，這樣就能化難為易。還有在直角坐標系中求點的坐標也是依靠函數解析式來解決的。又如，在拋物線的對稱軸上找一個點，使這個點到其他兩個點的距離之和最短。這個問題實質上是用“最短路徑”這個模型來解決問題。再比如，在用相似解決問題時我經常讓學生會找“母子相似”的兩個三角形的模型。就這樣學生就會在不斷的學習中逐漸從實際問題中培養出出色的抽象能力。

培養學生的抽象概括能力是一個長期的、艱巨的、循序漸進的過程，是需要師生共同努力的。在數學教學中教師要以學生為本，研究課堂教學，抓住教學學科特點，培養好學生的抽象概括能力，讓學生打下扎實的數學基礎，在數學知識的海洋中快樂地

遨游。

編輯 李琴芳