基于空間諧波分析的典型加筋板結構聲振特性

高雙，朱翔，李天勻，和衛平，魏建輝

1武漢第二船舶設計研究所，湖北武漢430205

2華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

0 引 言

加筋結構由于具有質量輕，力學性能好等優點，被廣泛應用于船舶、航天等領域。隨著《船上噪聲等級規則》［1］的實施，在工程領域對結構的減振降噪要求越來越高，因而其動力特性成為國內外學者研究的熱點。自上世紀80年代起，針對周期加筋板結構的聲振特性，已經提出了多種不同的理論。以南安普頓大學的 Mace［2］和 Mead等［3］為代表的團隊對加筋結構進行了系統的理論分析，成為國內外學者研究加筋結構的基礎。Mace［2］以受諧波激勵的正交異性加筋板為對象，將骨材視為線力反作用于板材，求解了其聲振特性，但沒有考慮骨材扭矩的影響；金葉青等［4］利用波數域中的方程組截斷，提出了一種高效的周期加筋板聲輻射分析方法，但并未得到加筋板的解析解；吳文偉等［5］以加筋圓柱殼為算例，分析了等間距相同加強筋板的聲輻射；左言言等［6］從結構動力響應的波動分析入手，介紹了頻率波動的分析方法，但并未直接應用該方法；Zhou等［7］引用空間諧波法分析了周期加筋板的聲振特性問題；魏強等［8］針對3種典型加筋船板，借助經典波動法，分析了阻尼、骨材等參數對船體板架聲輻射效果的影響；高雙等［9］應用3種簡化方法對加筋板進行簡化研究，為加筋板組合結構的振動和低頻聲輻射問題提出了新的簡化思路，但未對加筋板的聲振特性展開研究。

本文將以普通單向周期加筋板為對象，分別考慮單周期單向加筋板和雙周期單向加筋板，將加筋板的骨材作用簡化為筋與板之間的純力耦合，運用傅里葉變換，將空間域轉換到波數域，利用泊松公式及周期函數的性質處理方程，得到加筋板結構的位移解析方程，同時考慮骨材的扭矩作用，分析骨材扭矩作用對加筋結構聲振特性的影響。通過穩相法，在球坐標系下給出遠場聲壓的表達式。最后，通過算例分析得到骨材扭矩作用對加筋板結構聲振特性的影響，同時討論激勵類型、激勵位置、骨材參數等因素對單、雙周期加筋板結構聲振特性的影響。

1 理論分析

1.1 單周期加筋結構聲振模型

考慮如圖1所示的處于xy平面的無限大薄板，在板的單面沿y向布置有肋骨，肋骨間距為l，在z＞0區域為流體，外激勵為Pe(x，y)。

板的面外位移w(x，y)滿足振動方程［10］：

由聲學波動方程，考慮到板表面的流體振速與板的法向振速相同，可得流體聲載荷為［4］

式中：ρ0為流體密度；γ2=α2+β2-(ω/c0)2，其中c0為流體中聲速，考慮到對于遠場聲壓P(α，z)=Ae-γz，(z＞0)，其中A為聲壓幅值，需滿足無窮遠處輻射聲壓趨于0的邊界條件，因此γ的取值需滿足

對于骨材的作用，將骨材簡化為歐拉梁，只考慮骨材對板材的力的作用，忽略扭矩作用。由骨材和板材的位移關系，利用傅里葉變換、骨材的周期性以及泊松求和公式，得到骨材作用力的表達式［2］為

式中，Kf=EfIfβ4-ρfAfω2，為骨材波數域下的動態剛度，其中Ef為骨材楊氏模量，If為骨材截面慣性矩，ρf為骨材密度，Af為骨材截面扭矩。定義Zp=Kf/l，為骨材阻抗。

將式（3）和式（4）代入式（2）中，有

式中，S(α，β)=[D(α2+β2)2-ρt0ω2-ρ0ω2/γ]-1，為板的動剛度。令，式（5）可以寫成

用α-2πm/l替代α代入式（6），并把公式兩邊對m求和，考慮m，n無限疊加重合，有

考慮函數的周期性，有

將式（8）代入式（6），有

從而得到單周期加筋板在波數域的振動方程位移解。

1.2 考慮骨材扭矩作用的單周期加筋板聲振模型

上節主要分析了骨材對板的力的作用，實際上骨材和板之間的耦合作用主要包含力和扭矩2種，雖然一般認為在這2種耦合作用下力的耦合作用占主導，但扭矩作用在實際的結構聲振分析中占多大貢獻需要在研究中予以考慮。本節同時考慮骨材的力和扭矩作用，忽略時間項，分析加筋板在考慮骨材的力和扭矩耦合情況下的振動方程［3］：

式中：δ為Kronecker delta函數；M(x，y)為力矩作用，其表達式滿足［11］

式中：Gf=Ef/[2(1+ν)]，為骨材的剪切模量；Jf為扭轉常數；I0為骨材極慣性矩。將式（11）代入式（10），考慮傅里葉變換的性質，將式（10）變換到波數域，有

利用傅里葉變換及泊松求和公式，得到骨材的力和扭矩的作用［12］。

將式（13）代入式（12），從而有

為便于表述，在此節推導過程中假設板受到的激勵為簡諧聲激勵，諧波激勵定義為：

其中Q為諧波力的幅值，α0，β0分別為x，y方向上的波數。骨材阻抗

骨材扭轉阻抗

由函數周期性，有

用α+2πm/l替代α，考慮函數的周期性，并對式（14）左右對m求和疊加，以及兩邊同乘α=α+2πm/l求和并簡化，有

由方程組（16）的求解，可得

將式（17）代入式（14），有

即可得到考慮骨材的力和扭矩作用下單周期加筋板在波數域的振動位移解，當受到的激勵為力激勵時，式中各參數做相應的改變亦可得到類似的表達式。

對于式（18），令Ztp=0，退化成不考慮扭矩的作用：

由式（19）可知，QSa與上文中的P(α，β)一致，可見考慮扭矩的解析式退化后與上文不考慮扭矩的位移表達式（9）結果吻合，驗證了推導的正確性。

通過上文的推導也可以看到，考慮扭矩后，加筋板結構的推導復雜得多，其計算量也極大地增加。在實際算例中發現，考慮骨材扭矩作用后，在2種耦合作用下，力的耦合作用占主導，扭矩對加筋板的結構聲振特性影響很小，在一般工程計算分析中可忽略不計。

1.3 雙周期加筋板聲振模型

在船舶結構中，縱骨和縱桁同時存在的現象較為常見，因此可以將其簡化為如圖2所示的雙周期加筋結構，大小骨材的周期交錯用填補法來考慮，即將雙周期加筋板看成是2個單周期加筋板的組合。圖2中，縱骨間距為l，桁材間距為ql，其他參數與1.1節中一致。同時由于1.2節的分析結果，本節在分析雙周期加筋板結構時不再考慮骨材的扭矩作用。

其面外位移w(x，y)滿足如下振動控制方程［13］：

式中，Ff(x，y)和Fg(x，y)分別為縱骨和桁材對板的作用力。通過傅里葉變換，將式（20）變換到波數域，考慮傅里葉微分定理，得到

同理，可得到骨材和桁材的動態剛度為：

式中：Eg為桁材的楊氏模量；Ig為桁材的截面慣性矩；ρg為桁材密度；Ag為桁材的截面扭矩。可以將雙周期加筋板視為剛度為Kf、間距為l的小骨材，以及剛度為（Kg-Kf）、間距為ql的桁材單周期加筋板的疊加。將骨材視為線力，利用傅里葉變換及泊松求和公式，得到骨材的作用力［10］為

將式（22）代入式（21），結合1.1節的推導，有

由于只x方向上存在骨材，故可以考慮固定β來分析α波數方向的振動。同樣，對上述參數進行簡化：

這樣，式（23）便可表達為

構造參數r，m，用α-2πr/ql-2πm/l替代α代入式（25）并且兩邊無限求和，有

對式（26）合并同類項，有

對參數r取0到q-1，方程左右疊加，有

特例r=0時，有

將式（28）代入式（29），同時將式（28）和式（29）代入式（25），可以得到

也即得到了雙周期加筋結構的波數域振動方程解析解。令

則式（31）可以簡化成

經分析不難發現，wf(α，β)為小骨材對平板的作用，wg(α，β)為桁材對平板的作用。若大小骨材一致，Kg=Kf，即H=0，wg(α，β)=0 ，則退化為單向單周期加筋板的振動位移表達式，其結果與上文式（9）的推導結果一致，驗證了上文推導的正確性。

1.4 加筋結構的聲輻射

通過求解加筋板的振動控制方程得到波數域的振動位移解后，通過傅里葉逆變換即可得到空間域的加筋板振動位移解。在球坐標系(R，θ，φ)下，利用穩相法，可以得到遠場聲壓的近似解［11］：

式中：觀察波數 (α*，β*)為α*=(ω/c0)sinθcosφ，β*=(ω/c0)sinθsinφ；θ為場點與z軸方向的夾角；φ為場點與x軸方向的夾角。

在水中，遠場輻射聲壓用聲壓級Lp來衡量，Lp=20 lg(p/p0)，其中p0為參考聲壓，在水中，參考聲壓取p0=1×10-6Pa。不考慮時間項，在典型集中力的激勵下，Pe(x，y)=Qδ(x-x0)δ(y-y0)，集中力作用在 (x0，y0)處，在波數域下表示為；在典型諧波激勵下，Pe(x，y)=（其中α0，β0為x，y方向上的波數），在波數域下表示為本文在空間球坐標系下取R=1，θ=0，φ=π/2，投影到波數域上即為R=1，α*=0，β*=0 ，作為觀察波的方向，分別選取諧波激勵和力激勵分析典型加筋板的水下聲振特性。

2 算例分析

下面將對單周期加筋板、考慮扭矩加筋板、雙周期加筋板進行振動響應及輻射聲壓的計算分析。2種加筋結構的材料屬性相同，材料屬性和幾何尺寸如下：板厚t0=5 mm，泊松比ν=0.3；考慮阻尼的作用，楊氏模量E=(1+0.02j)1.95×1011Pa，扭轉常數Jf=2.02×10-9m4，密度ρ=7.7×103kg/m3，流體介質密度ρ0=103kg/m3，聲速c0=1.5×103m/s；骨材截面尺寸為5 mm×50 mm，骨材間距l=50 mm；桁材截面尺寸為 10 mm×100 mm，桁材間距L=ql，q=9。

2.1 單周期加筋板的聲振特性分析

圖3～圖6所示分別為單周期加筋板在原點單點力激勵和垂向（θ=0，φ=π/2）諧波激勵下的原點位移幅值及遠場輻射聲壓級曲線（圖中，W為振動位移幅值），同時，也給出了平板的位移和輻射聲壓以便于對比分析。

由圖3～圖6可見，與平板相比，單周期加筋板的振動和聲輻射響應曲線均有明顯的振蕩。由于骨材的存在，將平板劃分為局部板格單元會造成局部振動。同時，單周期的加筋布置使振動彎曲波在結構傳播中呈現聲子晶體的特點［14］，形成周期性的波峰、波谷和禁帶特性。圖5和圖6還給出了激勵位置不同時的聲壓級曲線。圖5中，x0=0和x0=0.25分別表示力激勵作用在骨材上和平板上；圖6中 (α0，β0)=(0，0)表示諧波激勵垂直作用在加筋板上，(α0，β0)=(π/4，π/4)表示諧波激勵與加筋板成45°激勵。由圖5和圖6可見，輻射聲壓級曲線與激勵的位置有關，激勵作用在骨材上時聲壓級明顯減小，并且聲壓級的峰值隨頻率的增加而減小，這是因為骨材的阻抗是隨頻率的增加而增加，抑制了整個結構的聲壓輻射。在波數域下，同樣由于骨材的存在，聲輻射出現了波谷，說明了骨材對結構聲輻射的抑制作用。

圖7～圖9討論了在點力激勵下骨材大小、間距、板厚等參數對單周期加筋板聲輻射的影響，同樣，也給出平板的聲輻射并與之進行了對比。圖中，h為骨材高度。

由圖7～圖9可以看到，加筋板的聲輻射特性與骨材及平板的參數密切相關。隨著骨材的增大，加筋板聲輻射曲線基本保持一致，但峰值明顯下移，說明骨材對抑制加筋板的聲輻射有著明顯的作用，隨著骨材的增大，其抑制作用增強；隨著骨材間距的增大，加筋板的剛度降低，固有頻率降低，輻射聲壓級峰值向低頻移動，同時隨著骨材間距的增大，聲壓級曲線振蕩波動加劇，峰值減小；對于單向加筋板，隨著板厚的增大，其剛度增大，結構的固有頻率增加，且聲壓級曲線峰值向高頻移動，輻射聲壓級明顯降低。

2.2 骨材扭矩對加筋板聲振特性的影響分析

圖10～圖11所示為對單周期加筋板分別施加力激勵和諧波激勵，以及是否考慮骨材扭矩作用的原點振動位移幅值和遠場輻射聲壓級對比曲線。

由圖10～圖11可以知道，無論是在力激勵還是諧波激勵下，考慮骨材的扭矩作用后，加筋結構的振動位移曲線和遠場聲壓級曲線與不考慮骨材扭矩的作用時基本一致，扭矩作用對加筋板結構聲振特性影響很小，故在一般工程計算分析中可忽略不計。本文在有關骨材參數對聲振特性的分析中可以不考慮骨材的扭矩作用。

2.3 雙周期加筋結構的聲振特性分析

圖12～圖13所示為原點力激勵下，對于平板、單周期加筋板和雙周期加筋板，其原點振動位移幅值和遠場輻射聲壓級曲線。

雙周期加筋板相當于把單周期加筋板的某些骨材參數增大，因此和平板、單周期加筋板相比，雙周期加筋板的振動和聲輻射整體水平偏小，與上文隨著骨材尺寸的增大能有效抑制加筋板的振動和聲輻射的結論一致。同時，由于部分骨材增大后加筋板的剛度也增加，致使雙周期加筋板的聲振特性曲線峰值均略向高頻移動。另雙周期結構在一個波動區間內出現了一個小的雙周期波動，這體現了雙周期結構的聲子晶體特性，其會在一個大周期內出現局部間隙，形成小的波谷。

圖14～圖17所示分別為在原點力激勵下，激勵位置、骨材間距、骨材大小和板厚等參數對雙周期加筋板聲輻射特性的影響。

由圖14～圖17可以看到，對于雙周期加筋板，當激勵力依次在大骨材（x0=0）、平板（x0=0.5l）和小骨材（x0=l）上時，整體結構的聲輻射變化趨勢一致，其中作用在平板上時結構的聲輻射水平最高，作用在大骨材上時結構的聲輻射水平最低，因為這時的阻抗最大。在船舶結構設計中，可以考慮將激勵位置盡可能設計在強構件上，這樣可以有效降低結構的聲輻射；隨著骨材間距的增大，加筋板的剛度降低，固有頻率降低，輻射聲壓級峰值向低頻移動，同時隨著骨材間距的增大，聲壓級曲線的振蕩波動加劇，峰值減小，回歸于平板的中間水平；隨著大骨材尺寸的增大，加筋板的聲輻射曲線基本保持一致，但峰值及均值明顯下移，說明骨材對于抑制加筋板的聲輻射有明顯的作用，隨著骨材的增大，其抑制作用也增強；對于雙周期加筋板，隨著板厚的增大，其剛度增大，結構的固有頻率增加且聲壓級曲線峰值向高頻移動。

3 結 論

本文通過對單周期、雙周期加筋板的振動控制方程進行推導，得到了其振動及遠場輻射聲壓解析解，討論了考慮骨材扭矩與否的區別，并針對單、雙周期加筋板的激勵類型、激勵位置、骨材參數及板厚等因素對聲振特性的影響進行了討論，得到如下結論：

1）骨材扭矩對結構聲振特性的影響較小，但使得結構的推導變得復雜，同時還會增加計算量，從工程計算的角度，在計算加筋板的聲振特性時，可以不考慮骨材扭矩對板材的作用。

2）激勵點的位置對結構的聲輻射影響很大，當激勵作用在骨材上時，其聲輻射幅值會較激勵于平板上時明顯降低，因此在實際的船舶結構設計中，可以考慮將激勵盡可能設計在強構件處。

3）骨材間距、骨材尺寸對結構聲振特性的影響明顯，隨著骨材間距的增加，聲壓級曲線會向低頻移動，結構的聲輻射水平會隨著骨材的增大而明顯降低，說明骨材增大可以有效抑制結構的聲輻射。

4）對于加筋板，隨著板厚的增加，聲壓級曲線峰值會向高頻移動，其對聲輻射大小的影響比較復雜。

5）周期加筋結構出現了周期性的波峰和波谷，可以利用骨材參數對聲子晶體帶隙的影響來抑制某些頻率的振動傳遞和聲輻射。

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