中心典型形狀開口的矩形薄板自由振動特性分析

張俊 ，李天勻 ，朱翔 ，郭文杰 ，陳繁

1華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

2船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，湖北武漢430074

3高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240

0 引 言

開口結構具有很多優勢，其可以在保證一定強度的前提下減輕結構重量，還可以用于各種特殊的用途，使用范圍非常廣泛，尤其在船舶領域，如集裝箱船的大開口結構、散貨船的貨倉開口、船體主體部分的人孔、排水孔以及上層建筑的結構開口等。但同時開口也會影響結構的強度、穩定性以及振動特性等性能，因此對開口結構進行研究具有重要意義。

近百年來，國內外的專家學者們對開口結構進行了大量研究，各種成果層出不窮。Cho等［1］應用假定振型法，通過運動的拉格朗日方程導出自然頻率，對任意邊界條件下開口板的自由振動特性進行研究，分析了開口大小對板結構動力響應的影響。Lu等［2］在帶有2個孔的平板的應力解析解中對帶有1個橢圓孔和1個圓孔的平板提出了解析解，并采用復變函數的方法將求解區域映射成了一個圓環，原區域求解的應力分布是這個圓環的特殊條件。同時，還具體介紹了映射函數、應力邊界條件的復數表示法等。Kumari等［3］同樣應用復變函數的方法，通過算例分析了帶有不同大小孔的平板的應力分布。Jafari等［4］針對不同形狀、不同大小開口矩形板的應力問題進行了求解，并針對不同形狀、不同大小開口矩形板的應力分布給出了關系圖像，其采用的也是復變函數解析方法。除此之外，Rayleigh-Ritz法也被用于求解帶開口和裂紋的結構問題。邱永康等［5］和王旻昊等［6］在任意邊界條件下中心開矩形口矩形板的自由振動特性分析和基于傅立葉級數法的含開口板的振動固有特性分析中，對開矩形口的矩形板的問題進行了系統分析，討論了開口位置、開口大小等對矩形板自由振動特性的影響。李凱等［7］在基于能量泛函的開口矩形板自由振動特性分析中，采用區域分解及能量泛函的方法計算了開口矩形板的自由振動頻率，得出了振型。

本文將基于Rayleigh-Ritz法，對任意邊界條件下典型形狀開口矩形薄板進行分析。首先，采用改進的傅里葉級數法［8-11］模擬求解域的位移容許函數，解決以往函數邊界不連續的問題；為求解復雜邊界條件下的結構自由振動，采用線性分布的位移約束彈簧和轉角約束彈簧，通過改變彈簧的剛度系數模擬各種經典邊界條件。然后，通過算例說明方法良好的收斂性和精確性。最后，對比文獻［5-7］中對矩形板開矩形口的區域劃分方法，本文將采取不將整塊板劃分為若干個小矩形板塊的方法，而是直接對整個求解域進行求解，以較準確地計算諸如圓形開口、橢圓形開口這種帶有曲邊的開口形狀，大大減少計算量，從而為之后計算任意形狀開口問題提供可能。

1 理論分析

1.1 開口矩形板的物理模型

本文研究的物理模型為中心開圓形、橢圓形開口的矩形薄板，如圖1所示。開口矩形板的長為a，寬為b，板厚為h，圓形、橢圓形（其長軸與短軸和矩形邊界平行）開口的中心與矩形板中心重合。

為了方便計算任意邊界條件下開口矩形板的自由振動固有頻率，本文采用沿邊界均勻分布的位移約束彈簧k和轉角約束彈簧K，通過改變兩類彈簧的剛度系數來簡便、快捷地模擬各種任意邊界條件。各種經典的邊界條件及對應的彈簧剛度系數如表1所示。

表1 經典邊界條件下的彈簧剛度系數Table 1 Values of spring stiffness of classical boundary conditions

根據以上彈簧模擬任意邊界條件的方法，可得到開口矩形薄板的物理模型如圖2所示。

由于本文的研究對象具有高度的對稱性，為簡化計算，只研究1/4的結構，通過對稱性的正對稱和反對稱的性質來得出整體開口矩形板的固有頻率。本文研究對象的計算模型如圖3所示。

本文選取改進的傅里葉級數方法來作為開口矩形板的位移容許函數，可表示為［11］：

式中：Amn為未知傅里葉級數展開系數；簡諧時間因子eiωt表示開口矩形板垂向位移與時間相關的項；M，N為截斷項數；?m(x)為x方向的容許梁函數；ψn(y)為y方向的容許梁函數。

根據改進的傅里葉級數方法，式（1）中的?m(x)與ψn(y)可分別表示為：

式中：m=1，2，3，…，M；n=1，2，3，…，N。

1.2 含開口板的自由振動能量分析

本文基于Rayleigh-Ritz法，首先求得結構整體的能量方程，然后再針對傅里葉級數展開中的未知系數求極值，將問題轉化為求解標準特征值的問題。下面，將以開圓口的矩形薄板為例進行分析。

未開口板結構的彎曲應變能為：

開口部分結構的彎曲應變能為：

未開口矩形薄板的動能可以表示為：

開口部分的動能可以表示為：

式中，ρ為材料的密度。

儲存在邊界約束彈簧中的彈簧勢能為

式中：kx0，ky0，kxa，kyb分別為x=0，y=0，x=a/2，y=b/2處位移約束彈簧的剛度值；Kx0，Ky0，Kxa，Kyb分別為x=0，y=0，x=a/2，y=b/2處轉角約束彈簧的剛度值；R為開口半徑。

于是，整體結構的能量泛函即可表示為［12］

對未知的傅里葉級數展開求極值，可得

這樣，就可以將自由振動的問題轉化成求特征值的問題，簡化計算。具體可以表示為

式中：K=Ks+Kp，其中Ks為彈簧能量的剛度矩陣，Kp為整體結構應變能的剛度矩陣；M為結構的質量矩陣；A為未知的Fourier系數向量；ω為圓頻率。

2 數值計算與分析

本文對復雜邊界條件下典型形狀開口矩形板的自由振動特性進行分析計算，比較不同開口大小和不同開口形狀對開口板固有頻率的影響，并與有限元軟件ANSYS的計算結果進行對比，分析說明本文方法的精確性。選用鋼材，材料的參數取值取為：材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，材料的楊氏模量E=2.1×1011Pa。將開圓口的矩形薄板作為收斂性分析的研究對象。

2.1 收斂性分析

上文的分析表明，位移容許函數中的截斷項數M，N的取值對結果的精度影響很大。在模擬邊界條件時，剛度系數可能需要取∞，由于應用Matlab進行數值計算時彈簧的剛度系數只能取一個有限的、具體的值，故剛度系數的取值對結果的影響也很大。本次收斂性分析主要是針對以上2個量進行。首先，對截斷項數M，N的取值進行收斂性分析。選取四邊自由（F-F-F-F）的開圓口的矩形板作為研究對象，相關幾何參數如下：矩形板長a=6 m，寬 b=4 m，厚度 h=0.02 m，內開口半徑R=1 m。計算其前6階的固有頻率值（單位：Hz），為便于分析，這里取M=N（表2）。

表2 四邊自由（F-F-F-F）邊界條件下開圓口矩形板的固有頻率Table 2 Natural frequencies of rectangular plate with a circular opening in F-F-F-F boundary

分析表2中的數據可知：隨著截斷項數M，N的不斷增加，圓形開口矩形薄板的固有頻率逐漸趨于穩定，當M=N=12時，固有頻率已基本不再發生變化。可以認為，當截斷項數取12時采用本文的方法已經收斂，證明了改進傅里葉級數方法在計算開口板振動特性方面的收斂性。表中計算數據與有限元軟件計算結果相差很小，證明了計算的精確性。后面的計算中將均取截斷項M=N=12。

然后，對彈簧的剛度系數取值進行收斂性分析。選取固支（C-C-C-C）邊界條件下開圓口的矩形板作為研究對象，相關幾何參數如下：矩形板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，內開口半徑R=1 m，計算其前6階的固有頻率值。根據表2的分析，這里取截斷項數M=N=12，分析不同彈簧剛度系數下（K=k=10r）的計算結果，結果如表3所示。

表3 M=N=12時固支（C-C-C-C）邊界條件下開圓口矩形板的固有頻率Table 3 Natural frequencies of rectangular plate with a circularopening in C-C-C-C boundary（M=N=12）

表3中的數據表明：隨著彈簧剛度系數值的不斷增加，圓形開口矩形薄板的固有頻率逐漸趨于穩定，當指數r=14時，固有頻率已基本不再發生變化，可以認為當彈簧剛度指數r=14時即可代替某些彈簧剛度系數取無窮的情況，例如簡支時位移彈簧的剛度系數、固支時位移彈簧和轉角彈簧的剛度系數等，且取得的結果較為精確，具有良好的收斂性和準確性。該計算數據與有限元軟件計算結果吻合較好。所以在后面計算中，將取彈簧剛度系數k=1014N/m，K=1014（N·m）/rad來代替取∞時模擬的簡支、固支邊界。

2.2 準確性分析

下面對本文方法的準確性進行分析。選取固支邊界條件下開圓口的矩形板和簡支（S-S-S-S）邊界條件下開橢圓口的矩形板作為研究對象，相關幾何參數如下：矩形板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，開口半徑R=1 m，橢圓長半軸短半軸，計算其前6階的固有頻率值。為便于分析，這里取M=N，并與有限元軟件計算結果進行了對比，結果如表4和表5所示。

表4 固支邊界條件下開圓口矩形板的固有頻率對比Table 4 Comparison ofnatural frequencies of rectangular plate with a circular opening in C-C-C-C boundary

表5 簡支（S-S-S-S）條件下開橢圓口矩形板的固有頻率對比Table 5 Comparison ofnatural frequencies of rectangular plate with an ellipse opening in S-S-S-S boundary

提取前4階固有頻率的模態振型圖，并與有限元仿真軟件（ANSYS）振型圖進行對比，如圖4所示。圖4中，每個分圖中的上圖為采用本文方法所得振型，下圖為有限元方法所得振型。圖4表明計算所得振型與有限元方法所得振型基本一致，證明了本文方法的正確性。

選取固支邊界條件下開圓口矩形板為研究對象，計算不同大小開口下開口板的自由振動頻率。相關幾何參數如下：矩形板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，計算開口半徑R=0（無開口），0.5，0.75，1.0，1.25，1.5 m時，其前6階的固有頻率值。為便于分析，取M=N。與有限元軟件計算結果的對比如表6所示。

表6 固支邊界條件下開不同面積圓口矩形板的固有頻率Table 6 Natural frequencies of rectangular plate with different areas of circular opening in C-C-C-C boundary

2.3 開口尺寸對開口板自由振動性能的影響分析

開口尺寸對開口板自由振動特性有著最為直接的影響，利用本文方法，通過對不同開口面積開口板的自由振動固有頻率進行計算分析，總結了開口板的自由振動特性與開口面積的定性關系。

研究開口尺寸對開口板振動特性的影響。在固支邊界條件下，研究開圓口矩形薄板的自由振動特性。矩形板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，設開口中心與板的中心重合，為開口半徑分別為R=0（無開口），0.5，0.75，1.0，1.25，1.5 m的圓形，對比分析開口板前6階的固有頻率值。

為了更加直觀地得到簡支、固支條件下開口矩形板的自由振動特性規律，將計算數據繪制成如圖5、圖6所示。

從圖5中可以看出，對于第1階固有頻率，在固支條件下，隨著開口面積的增大，自由振動固有頻率也增大，但其對高階自由振動固有頻率的影響并不明顯。對于上述現象可能的解釋如下：固有頻率與結構剛度和質量都有關系。在板的中心開口不僅會降低結構的剛度，也會降低結構的質量，而對于簡支和固支邊界條件下的矩形板，其第1階振型的形狀極為相似，均是中心部分具有較大的位移，所以在板中心開口會使結構質量降低得更加迅速，從而導致其整體頻率呈上升趨勢。但對于其他階的頻率，因其振型不一定是中心的位移較大，所以在中心開口結構的質量不一定會降低得更多，故固有頻率也就不一定呈上升趨勢。

通過對比圖5和圖6可以看出，對于簡支和固支邊界條件，開口大小對固有頻率的影響趨勢基本一致，這可能是因為在簡支和固支條件下，開口矩形板的振型類似，因而有上述現象。

2.4 開口形狀對開口板自由振動性能影響分析

最后討論開口形狀對開口板自由振動特性的影響。在固支邊界條件下，矩形薄板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，內開口面積S=π m2，對比矩形薄板開矩形、圓形、橢圓形口時前3階固有頻率的變化，提取前3階固有頻率計算結果如表7所示。

表7 固支邊界條件下不同開口形狀開口板的固有頻率Table 7 Natural frequenciesofrectangularplatewith different shaped openings in C-C-C-C boundary

為了更加直觀地表示開口形狀對固有頻率的影響，將計算數據繪制成了如圖7所示的圖像。

由圖7可以看出，對于第1階固有頻率，當開口面積相同時，自由振動的第1階固有頻率幾乎沒變化，因而可以得出結論：當開口很小時，開口板自由振動的第1階固有頻率值與形狀基本無關。而高階的固有頻率與開口形狀則有一定的關系。對于上述現象的解釋如下：對于固支邊界條件，第1階振型的形變主要集中在中心部分，而本文研究的是中心開口的矩形薄板，中心變形大的地方均被開口截掉了，而邊緣部分的影響則不大，所以剛度變化、質量變化對不同形狀的開口來說幾乎相同。文獻［6］的研究也表明，對于不同的開口位置來說，開口越靠近中心部分，開口板的首階固有頻率就越小，這也可以作為上述解釋的證明。

3 結 語

本文基于Rayleigh-Ritz法，將開口矩形板的自由振動問題轉化為了求特征值的問題，通過采用改進的傅里葉級數方法模擬位移容許函數，應用沿邊界線性分布的位移約束彈簧和轉角約束彈簧模擬各種任意邊界條件，研究了典型開口形狀矩形薄板的自由振動特性。通過典型的算例，將所得頻率和振型結果與有限元模擬給出的頻率、振型結果進行了對比，證明了本方法的收斂性和準確性。同時，還探討了不同開口大小和開口形狀對開口矩形薄板自由振動的影響，通過結合趨勢圖與振型圖，得出開口對結構自由振動固有頻率的影響與對應頻率階數的振型有關，在某階頻率所對應振型振幅較大處，開口將更加顯著地增加該階的固有頻率。

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