克林貝格擺線錐齒輪建模及模態(tài)分析

張華,何衛(wèi)東,張迎輝

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)

0　引言

擺線錐齒輪是一種重要的機械傳動零件，它具有承載能力強，傳動平穩(wěn)，噪聲小的優(yōu)點，廣泛應用于飛機，航空，船舶，汽車等傳動裝置中.目前孫中飛[1]等人對螺旋錐齒輪采用球面漸開線理論實現(xiàn)齒面曲線分段參數(shù)化，并用NURBS方法擬合建模，但沒有考慮實際齒輪加工.許春香[2]等人開發(fā)了擺線錐齒輪幾何尺寸和加工調整參數(shù)的計算模塊.湯兆平[3]等人結合齒線長幅外擺線展成線和齒廓球面漸開線推導其曲線方程并建模.張志民[4]等人做模態(tài)分析，得到10階固有頻率.

本文從擺線錐齒輪的切齒加工出發(fā)，結合齒輪嚙合原理推導出齒面方程，建立三維模型.運用有限元處理軟件對擺線錐齒輪進行模態(tài)分析，計算齒輪嚙合的臨界轉速，為擺線錐齒輪進一步進行動力學研究及結構優(yōu)化打下基礎.

1　擺線錐齒輪三維建模

1.1　刀刃方程

克林貝格擺線錐齒輪的加工采用展成法連續(xù)分度雙面銑齒加工，加工時沒有刀盤傾斜，加工出來的齒輪是等高擺線錐齒輪，齒線是標準的延伸外擺線.它的加工原理是采用假想平面齒輪原理，刀盤轉過一組刀片，產(chǎn)形輪也轉過一個齒，刀盤繞自身的軸線自轉并且繞產(chǎn)形輪軸線公轉.現(xiàn)在以大齒輪凸面為例.

刀盤坐標系如圖1所示.坐標系So固連在刀盤上，面對刀盤，坐標系zo軸與刀盤軸重合，并且指向朝為zo軸的正方向，xo-yo平面通過刀齒節(jié)點并垂直于刀盤軸線.由圖中的幾何關系可以得到刀刃上任意點在坐標系So中的矢量方程為：

(1)

其中，齒形角與齒輪法向壓力角相等都是αn，δo是刀齒方向角;m是分度圓平面內的參考點;u是刀齒上任意一點到參考點m的距離;θo是刀盤自轉角度，規(guī)定逆時針旋轉為“+”，則順時針旋轉為“-”.

圖1　刀盤坐標系

1.2　產(chǎn)形面方程

產(chǎn)形輪坐標系如圖2所示.從刀盤坐標系So到搖臺坐標系Sm的坐標變換矩陣為：

(2)

(3)

其中，βm是參考點處的螺旋角;Ex是齒輪徑向刀位;qp是齒輪角向刀位;θp是刀盤公轉的角度，與刀盤自轉角度θo的關系是：

(4)

其中，zo是刀盤的刀片組數(shù);zp是冠輪的齒數(shù);ipo是刀盤的刀片組數(shù)與冠輪齒數(shù)之比.

產(chǎn)形輪的產(chǎn)形面的齒面方程為下式：

rp(θo,u)=Mm1M1or(θo,u)

(5)

圖2　產(chǎn)形輪坐標系

1.3　銑齒加工坐標系及其方程

銑齒加工坐標系如圖3所示，銑齒加工右旋大齒輪時，從搖臺正面看過去，搖臺是逆時針轉動，從輪坯的小端看過去，輪坯是順時針轉動.

圖3　銑齒加工坐標系

建立機床固定坐標系St，坐標系St與機床固連，坐標軸zt與搖臺坐標軸zm重合并且方向相同.建立輔助固定坐標系Sd，坐標系通過齒輪頂點，坐標軸zd與坐標軸zt平行且方向相同.建立輔助固定坐標系Se，坐標原點Oe輔助坐標系Sd的原點Od重合.建立輪坯動坐標系S2，坐標系可以繞坐標軸x2旋轉.

從搖臺坐標系Sm到機床坐標系St的坐標變換矩陣為：

(6)

(7)

(8)

(9)

其中，φp是搖臺轉過的角度;ERa是軸向輪位;Ep是垂直輪位;TW是床位;δM是輪坯安裝角;zp是冠輪的齒數(shù);z2是被加工齒輪的齒數(shù);i2p是冠輪齒數(shù)與被加工齒輪的齒數(shù)之比;φ2是輪坯轉過的角度，與搖臺轉過的角度φp的關系關系是

(10)

通過空間幾何坐標變換得到的銑齒加工的方程數(shù)學表達式描述為下式：

1.4　齒面方程

在機床坐標系St下的產(chǎn)形輪齒面方程為：

rt(φp,θo,u)=Mtm(φp)Mm1M1or(θo,u)

(12)

產(chǎn)形輪的單位法矢量為：

(13)

克林貝格擺線錐齒輪大、小齒輪均采用展成法加工，只需要把相對應的機床調整進行改變就可以得到小齒輪的齒面方程.

由齒輪的嚙合原理得到：

(14)

聯(lián)立方程得到齒面方程為：

(15)

1.5　齒面點計算

擺線錐齒輪的齒輪軸截面作旋轉投影平面，如圖4所示.把齒輪旋轉投影平面平均劃分為網(wǎng)格，坐標原點為齒輪輪坯的分錐頂點.齒面上的任意點坐標值為：

(16)

其中，xD，yD是圖中D點的坐標值，沿齒線方向(DA方向)分n份，沿齒高方向(DC方向)分m份，網(wǎng)格節(jié)點的序號為：i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，Δxi、Δyi、Δxj、Δyj分別表示任意點在DA方向和DC方向上坐標的增量，則：

(17)

其中，h是齒高，b是齒寬.

圖4　齒面旋轉投影平面

齒面坐標值與旋轉投影平面內的坐標值的關系為：

(18)

其中，x、y、z就是齒面在空間的點坐標值.

由式(17)和式(15)聯(lián)立，運用數(shù)值計算得到輪坯齒面的離散點坐標值.

1.6　齒輪三維模型建立

將數(shù)值模擬法得到的齒面離散點坐標值導入CAD軟件，由齒面點坐標值形成齒面網(wǎng)格線，再由齒面網(wǎng)格線生成齒面曲面，將齒面曲面進行剪切縫，然后進行實體化，得到單個齒，如圖5所示，旋轉陣列后建立擺線錐齒輪的實體模型.

圖5　齒面曲面及單齒實體

建立一對嚙合擺線錐齒輪，齒輪的相關幾何參數(shù)如下：左旋小齒輪齒數(shù)z1=24，為主動齒輪；右旋大齒輪齒數(shù)z2=49，為被動齒輪；中點法向模數(shù)mn=6.5 mm；法向壓力角αn=20°；中點螺旋角βm=35°；齒寬b=75 mm；齒頂高系數(shù)ha*=1；頂隙系數(shù)C*=0.25；切向變位系數(shù)xt=0.05；徑向變位系數(shù)x=0.181 4.建立的三維模型如圖6所示.

圖6　擺線錐齒輪小輪和大輪實體模型

2　擺線錐齒輪模態(tài)分析

2.1　有限元模型及約束施加

將CAD建模軟件中建好的擺線錐齒輪實體模型導入CAE有限元軟件中，進行齒輪模態(tài)分析.在有限元前處理器中設置實體單元類型為solid187，采取自動劃分網(wǎng)格，小輪劃分的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為8 916 1個，單元數(shù)為5 696 3個，大輪劃分的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為11 210 2個，單元數(shù)為70 738個.定義擺線錐齒輪的材料屬性：彈性模量E=2.06×105MPa，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7 800 kg/m3.

在施加擺線錐齒輪約束時，大齒輪內表面與小齒輪軸外表面施約束，在自由振動狀態(tài)下求出齒輪各階的固有特征，不需要施加載荷，有限元約束模型如圖7所示.

圖7　小齒輪和大齒輪有限元約束模型

2.2　求解及結果分析

在solution下選取modal，在模態(tài)分析的分析選項中選取Block lanczos法進行模態(tài)提取，低階模態(tài)在結構動力學中起到比較重要的作用，在進行結構振動特性分析時提取前10階模態(tài)，并且將擴展模態(tài)打開.經(jīng)過有限元計算，獲得擺線錐齒輪前10階模態(tài)的固有頻率及振型，如表1所示.

表1　擺線錐齒輪固有頻率 Hz

由于篇幅原因，列出小齒輪第3、5、7、9階主振型圖如圖8所示，大齒輪第3、5、7、9階主振型圖如圖9所示.

(a) 小齒輪第3、5階主振型

(b) 小齒輪第7、9階主振型

(a) 大齒輪第3、5階主振型

(b) 大齒輪第7、9階主振型

從表1的模態(tài)計算結果可以看出，小齒輪和大齒輪的固有頻率都是隨著階數(shù)的增加而逐漸增大，小齒輪的固有頻率要比大齒輪的固有頻率大，并且大齒輪固有頻率最小值達到4 000 Hz以上.從模態(tài)仿真的振型圖結果中可以看到齒輪主振型，在靜止狀態(tài)下有扭轉振型，傘型振型，對折振型，圓周振型等，以及最大變形量及最大變形產(chǎn)生的位置等.例如在第5階模態(tài)時，頻率是12 138.0 Hz，主振型是對折振型，最大變形量是27.799 4 mm，最大變形量產(chǎn)生在X方向.為了防止系統(tǒng)共振現(xiàn)象的產(chǎn)生，在做齒輪結構設計時，應考慮到主振型并且盡量避開齒輪的固有頻率或者固有頻率的倍數(shù).

從表1可以知道大齒輪及小齒輪的最低固有頻率分別為4 206.6 Hz和7 178 Hz.齒輪副的嚙合頻率計算公式為：

(19)

式中，fm是嚙合頻率;ni是輸入軸轉速;zi是齒輪齒數(shù).

根據(jù)公式計算得出，小齒輪臨界最低轉速是17 945 r/min，大齒輪臨界最低轉速是5 151r/min.該小齒輪在實際工況中的最大轉速為1 969 r/min，從計算結果可以看到小齒輪的臨界最低轉速遠大于實際工況中的轉速，大齒輪的臨界最低轉速較小，但也比其實際工作轉速大，因此在正常工作狀態(tài)下兩個齒輪都不會發(fā)生共振.

3　結論

(1)根據(jù)克林貝格擺線錐齒輪的銑齒加工原理和機床調整參數(shù)，用數(shù)值模擬的方法得到齒面，從而得到更符合實際的齒輪模型;

(2)對擺線錐齒輪進行模態(tài)分析，得到前10階齒輪固有頻率和對應的主振型及變形量，通過齒輪嚙合頻率計算得到可能發(fā)生共振時的理論工作轉速，驗證了齒輪在正常工作狀態(tài)下是不會發(fā)生共振.

參考文獻:

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[3]湯兆平,孫劍萍.克林貝格擺線齒錐齒輪的精確參數(shù)化建模[J].機床與液壓,2010,38(3):113- 116,132.

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