例談基于問(wèn)題解決的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

黃書旺

(福建省閩清縣城關(guān)中學(xué) 350800)

筆者經(jīng)歷了多輪初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)初三復(fù)習(xí)課進(jìn)行了大膽地改革創(chuàng)新，以基于問(wèn)題的解決來(lái)設(shè)計(jì)所復(fù)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主探究，發(fā)現(xiàn)式地進(jìn)行復(fù)習(xí)，讓學(xué)生感受到復(fù)習(xí)的內(nèi)容雖源自于課本，但卻高于課本，對(duì)課本固有的知識(shí)內(nèi)容的理解“柳暗花明又一村”，對(duì)復(fù)習(xí)課興趣倍增，教學(xué)效果顯著，歷年中考成績(jī)菲然.

下面筆者就一節(jié) 《三角形全等的判定》 的復(fù)習(xí)課來(lái)談?wù)劵趩?wèn)題解決的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)法.

問(wèn)題1 如圖，已知：在△ABC和△ABD中，AC=AD，∠C=∠D.求證：BC=BD.

學(xué)生活動(dòng)：自主探究證明方法.

預(yù)設(shè)錯(cuò)解部分學(xué)生經(jīng)驗(yàn)使然，直接證明：在△ABC和△ABD中，AC=AD，∠C=∠D，AB=AB，∴△ABC≌△ABD(SAS)，∴BC=BD.

錯(cuò)因分析要準(zhǔn)確理解“SAS”作為三角形全等的判定定理的內(nèi)涵，兩邊一角對(duì)應(yīng)相等判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，此角必須是相等兩邊的夾角，若此角是其中一邊的對(duì)角時(shí)，兩個(gè)三角形不一定全等.

解法指導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生重溫人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)(上)P39的課本內(nèi)容：“如圖，把一長(zhǎng)一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長(zhǎng)木棍，轉(zhuǎn)動(dòng)短木棍，得到△ABD.這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了什么？”

學(xué)生齊答：有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

教師點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}1是源引人教版八上課本P39“思考”中操作實(shí)驗(yàn)為藍(lán)本，對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行二次創(chuàng)造，讓教師在教學(xué)中容易乎略而又能引起學(xué)生產(chǎn)生爭(zhēng)議的問(wèn)題得到有效的開發(fā)和利用，激發(fā)起了學(xué)生的好奇心和探究欲望.課本實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為什么說(shuō)兩個(gè)三角形滿足“SSA”不一定全等，而不是說(shuō)不全等，它有什么玄機(jī)嗎？在平時(shí)判定三角形全等的教學(xué)中教師是“明令禁止”學(xué)生使用“SSA”的，到底為什么呢？大部分學(xué)生也認(rèn)為用“SSA”來(lái)判定三角形全等是錯(cuò)誤的，只有一小部分學(xué)生認(rèn)為可以用“SSA”來(lái)判定三角形全等.在平常作業(yè)或練習(xí)中又有許多學(xué)生都在不知不覺中應(yīng)用了“SSA”來(lái)判定三角形全等.因此，本題看似一道簡(jiǎn)單的證明題，卻能很好地反映學(xué)生對(duì)三角形全等判定定理掌握和理解的程度，同時(shí)又能給一些學(xué)習(xí)上有自滿傾向的學(xué)生一個(gè)“頓悟”，激起學(xué)習(xí)、探究的欲望.

問(wèn)題2 看來(lái)，如果在△ABC和△DEF中，已知：AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，有可能“△ABC≌△DEF” 或“△ABC與△DEF不全等兩種情況是嗎？

下面，我們不妨對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．

學(xué)生活動(dòng)：第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí).

如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

預(yù)設(shè)解法：顯然，學(xué)生較易根據(jù)直角三角形全等的判定方法“HL”可證明；因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形中有直角邊(BC和EF)和斜邊(AC和DF)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.也就是說(shuō)，當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．

教師點(diǎn)評(píng)：為什么不直接解決問(wèn)題1，而先提出問(wèn)題2讓學(xué)生來(lái)思考，是有意課堂節(jié)奏慢下來(lái)，讓學(xué)生從易證的問(wèn)題入手，探索、研討問(wèn)題1的解決方法，為解決問(wèn)題1埋下伏筆.同時(shí)也給學(xué)生解決問(wèn)題增強(qiáng)一點(diǎn)信心.

學(xué)生活動(dòng)：第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，求證：△ABC≌△DEF．

如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

預(yù)設(shè)解法學(xué)生由于有了第一種情況(當(dāng)∠B是直角時(shí))的證題經(jīng)驗(yàn)，可以通過(guò)交流、討論，合作，探索了通過(guò)添加高線，將鈍角三角形轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯侨切危略斓谝环N情況來(lái)證題.

解法指導(dǎo)證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H.

教師點(diǎn)評(píng)將疑難的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、特殊化是啟迪學(xué)生思維的一種良好的方法，教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生先分為“∠B是直角、鈍角”二種情況進(jìn)行探究，看看會(huì)有什么樣的結(jié)果.學(xué)生根據(jù)“HL”易證出滿足“SSA”的兩個(gè)直角三角形全等，進(jìn)而將這種思路遷移至滿足“SSA”的兩個(gè)鈍角三角形全等.讓學(xué)生得到意想不到的結(jié)論，即能用“SSA”來(lái)證明兩個(gè)均為直角三角形或兩個(gè)均為鈍角三角形的特殊三角形是全等的，給學(xué)生以驚喜、以思維定勢(shì)上的顛覆，讓學(xué)生初步嘗試到成功的喜悅，為后續(xù)的探究提供動(dòng)力，積累經(jīng)驗(yàn).但在平時(shí)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，我們教師總是急于求成，設(shè)置的問(wèn)題往往“高、大、難”，讓學(xué)生可望而不可及，望而生畏，久而久之學(xué)生便果失去探究的興趣，扼殺了學(xué)生思維的能動(dòng)性和創(chuàng)新性.

學(xué)生活動(dòng)：第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，情況又會(huì)是怎么樣呢？△ABC和△DEF還會(huì)全等嗎？如果全等，請(qǐng)加以證明；如果不會(huì)全等，請(qǐng)畫出圖形并加以說(shuō)明.

預(yù)設(shè)解法：如圖,分別過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE于H，仿造第二種情況就證出來(lái)了.

錯(cuò)因分析如圖.明顯地，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，△ABC是銳角三角形，而△DEF卻是鈍角三角形，這是不能夠全等的.

教師點(diǎn)評(píng)將∠B改為銳角，一部分學(xué)生可能受思維定勢(shì)第一、二種情況的影響，誤認(rèn)為當(dāng)∠B為銳角時(shí)，兩個(gè)三角形均為銳角三角形，而輕易得出滿足“SSA”的兩個(gè)銳角三角形全等，而乎略了當(dāng)∠B為銳角時(shí)，兩個(gè)三角形可能還有其他類型，給學(xué)生以思維的嚴(yán)密性和批判性.

問(wèn)題3 在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不寫作法，保留作圖痕跡)

學(xué)生活動(dòng)：動(dòng)手操作、畫圖.

解法指導(dǎo)作圖如下：

以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等.

教師點(diǎn)評(píng)學(xué)生從作圖中看出了△DEF和△ABC不全等的現(xiàn)象，這再一次重溫、鞏固了人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)(上)P39的課本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的本質(zhì)及意義所在，弄清了問(wèn)題的真相.

問(wèn)題4 我們?cè)賮?lái)討論一下：如果∠B(銳角)還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若∠B時(shí)，則△ABC≌△DEF.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生議論紛紛，踴躍發(fā)言.

預(yù)設(shè)解法：1.當(dāng)∠B=∠A時(shí)，則△ABC≌△DEF．這時(shí)△ABC和△DEF都是等腰三角形．顯然△ABC≌△DEF．

2.當(dāng)∠B>∠A時(shí)，則△ABC≌△DEF.

解法指導(dǎo)：從以上尺規(guī)作圖中得到啟發(fā)，如圖，當(dāng)∠B>∠A時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，只可能得到△DEF與△ABC全等；也就是說(shuō)，AC與AB邊只有唯一的一個(gè)交點(diǎn)，所以△ABC≌△DEF.

我們也可以根據(jù)以上討論過(guò)的三種情況的結(jié)論，得出∠B不小于∠A．即∠B≥∠A時(shí)，△ABC≌△DEF.

教師點(diǎn)評(píng)：從這里可以看出，我們的復(fù)習(xí)課教學(xué)不僅僅是要讓學(xué)生聽得懂，還要讓學(xué)生真正理解所學(xué)過(guò)的知識(shí)，有必要讓課堂教學(xué)節(jié)奏慢下來(lái)，認(rèn)真落實(shí)課程理念，以基于問(wèn)題解決為目標(biāo)，尊重學(xué)生，注重探究教學(xué).知識(shí)方法的生成，不能引導(dǎo)過(guò)度，要不惜時(shí)間充分引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，真正做到把問(wèn)題研究透徹化.

問(wèn)題5 通過(guò)以上各種情況的探究，得出“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”，這兩個(gè)三角會(huì)全等的情形條件，同學(xué)們能用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言加以概括嗎？

學(xué)生活動(dòng)：眾說(shuō)紛紜.

解法指導(dǎo)：當(dāng)兩個(gè)三角形是同類三角形且滿足邊邊角時(shí)，可認(rèn)為兩個(gè)三角形全等.

問(wèn)題6 當(dāng)兩個(gè)三角形滿足“SSA”條件，證明其全等時(shí)，常添加什么輔助線呢？有什么規(guī)律嗎？你能對(duì)問(wèn)題1進(jìn)行證明了嗎？

學(xué)生活動(dòng)：齊答：作高線！證明方法通常是：作第三邊上高線即可證.

教師點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)從以上的學(xué)習(xí)、探究過(guò)程中，自己的所思、所想、所悟，正是培養(yǎng)學(xué)生的概括和歸納能力所必須的，也是基于問(wèn)題解決的一種經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，更是一種復(fù)習(xí)課效果的展現(xiàn).

課堂總評(píng)：教材中的例習(xí)題一直是中考命題者的基點(diǎn)，本例題源于教材，是對(duì)教材的二次開發(fā)與利用，已經(jīng)凸顯為其多維度的生長(zhǎng)點(diǎn).我們教師在平時(shí)復(fù)習(xí)課中要善于鉆研教材，基于復(fù)習(xí)課中問(wèn)題的解決，提升教材中例習(xí)題教學(xué)價(jià)值，要有善于迎合、運(yùn)用中考題做變式遷移的設(shè)計(jì)，提取核心知識(shí)與方法能力和整合教學(xué)資源的意識(shí)，這正是我們教師復(fù)習(xí)課教學(xué)中所缺失的，但又是非常需求的.平常復(fù)習(xí)課教學(xué)中，我們大部分教師缺乏以教材例習(xí)題為依托，在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行改編、創(chuàng)新與拓展的精力和能力.通過(guò)本例題的教學(xué)，一方面引領(lǐng)教師在日常復(fù)習(xí)教學(xué)中要研究教材、關(guān)注教材、深刻理解與把握教材；另一方面也啟示學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要重視課本，吃透課本中的例習(xí)題，尤其是課本中的思考與拓展部分的內(nèi)容所蘊(yùn)藏的能量與價(jià)值.基于問(wèn)題的解決，創(chuàng)新復(fù)習(xí)課教學(xué)，提高復(fù)習(xí)課堂效率，必然對(duì)初中數(shù)學(xué)的教與學(xué)整體性的導(dǎo)向是一個(gè)強(qiáng)有力的引領(lǐng).

參考文獻(xiàn)：

[1]季文珠.“探索三角形全等的條件”教學(xué)案例[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)(初中版)，2014(05).