利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的原則

趙金榮

摘 要： 使用數(shù)學(xué)方法解決問題需要使用一定的步驟，本文就使用數(shù)學(xué)解決問題需要遵循的原則和步驟進(jìn)行了總結(jié)，并使用例題進(jìn)行了說明.解決問題的基本步驟基本包括：理解問題；制定解題計(jì)劃；檢查解體設(shè)計(jì)；回頭看等組成。

關(guān)鍵詞： 解題原則；制定計(jì)劃；使用類比；回頭看

任何問題的解決都不存在快速且嚴(yán)格的原則或方法來確保成功.但是，在使用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程中卻存在一般會(huì)使用的一些步驟，以及一些原則，使得我們?cè)诮鉀Q某些問題時(shí)會(huì)有成功的可能.這些步驟和原則只不過是一些常識(shí)的具體化體現(xiàn).這些步驟和原則改編自George Polya的著作“如何解題？”.

步驟一 理解問題 解決問題的第一步就是詳細(xì)閱讀所給問題，以確保充分能夠理解問題的意思.在這一步中一般會(huì)需要問你自己幾個(gè)問題，也就是：這個(gè)問題的未知數(shù)是什么？問題中的已知量有哪些？題目給出的條件（也就是已知信息，這些信息也包括一些常識(shí)）是什么？

對(duì)于很多問題，使用已知的條件和需要解決的量，畫出圖像通常對(duì)解決問題有很大的幫助.通常情況下，也有必要引入合適的符號(hào)，也就是字母，對(duì)未知數(shù)進(jìn)行標(biāo)記，在標(biāo)記時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到諸如a，b，c，d，m，n，x和y等字母，但有些情況，通常也會(huì)使用帶有提示性的首字母，例如，一般會(huì)用V用來表示體積，t用來表示時(shí)間，E表示電場(chǎng)，等等.

步驟二 制定解題計(jì)劃 根據(jù)題目所給的信息，分析出已知信息和未知量之間的聯(lián)系，就能夠使得我們計(jì)算出未知數(shù)的值.通常，思考并給自己發(fā)問，提出下面的問題對(duì)解決問題有幫助：“我如何把已知條件和未知數(shù)聯(lián)系起來？”如果你沒能立刻發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系，接下來的一些思路會(huì)有助于你制訂出一個(gè)解題計(jì)劃.

在分析問題的過程中，嘗試辨別一些熟悉的事物 把已知情況與已有知識(shí)相聯(lián)系.查看未知數(shù)，然后嘗試回憶具有類似未知數(shù)的較為熟悉的其他問題.這個(gè)過程會(huì)有下面給出的一些子步驟.

（一）試著找到問題具有的特征模式 有些問題的解決可以通過辨認(rèn)出問題的某些模式實(shí)現(xiàn).這些個(gè)模式可能是幾何的、數(shù)值上的或代數(shù)形式的.如果能夠辨識(shí)出問題中的這些規(guī)律或重復(fù)出現(xiàn)的模式，就有能夠猜出問題的模式是什么，然后加以解決.

（二）使用類比法 試著分析出于要解決的問題類似的問題，也就是，相似 且與要解決的問題相關(guān)的問題，但是比原始問題又要簡(jiǎn)單一些兒.如果能夠解決類似的，簡(jiǎn)單一些的問題，我們就可能給出解決原始的難度較大的問題的思路.例如，如果一個(gè)涉及非常大的數(shù)，你可以首先嘗試解決類似的，但是所需的數(shù)小一些的問題.或者，如果問題涉及到了立方幾何，你便可以嘗試解決一類似的平面幾何問題.或者，如果問題要求解決的是一般性的問題，你就可以從解決特例開始.

（三）引入其他附加條件 有時(shí)候，有必要引入一些新的具有輔助性的并有助于把已知條件和未知數(shù)聯(lián)系起來的條件.例如，在一個(gè)問題中，如果給出了圖像，輔助條件可以是在圖像上添加的新的直線.在更一般的代數(shù)問題中，輔助條件可能會(huì)是一個(gè)新的與原始未知數(shù)相關(guān)聯(lián)的未知數(shù).

（四）使用案例 有時(shí)候解決問題時(shí)，需要把一個(gè)問題分成幾種情況，然后對(duì)每種情況分別給出不同的討論.例如，我們常常使用這樣的解題策略解決涉及絕對(duì)值的問題.

（五）反推 有些情況，把問題想象成已經(jīng)解決了，然后一步步反推，直到得到已知的數(shù)據(jù).然后，就可以把步驟反向進(jìn)行，從而得到解決原始問題的方法和步驟.這樣的步驟通常用在解方程上.例如，要解方程3x-5=7，我們假設(shè)x是滿足等式的一個(gè)數(shù)，然后反推.在方程的兩邊都加上5，然后除以3，得到x=4.因?yàn)檫@里用到的每一步都是可逆的，所以問題得到了解決.

（六）建立子目標(biāo) 在一個(gè)復(fù)雜的問題中，設(shè)立子目標(biāo)（這些子目標(biāo)中，需要的條件只需要部分滿足即可）有助于解決問題.如果你能首先完成這些子目標(biāo)，就可能在這些子目標(biāo)的基礎(chǔ)上達(dá)到我們的最終目標(biāo).

（七）間接推理 有些問題，可以通過間接的方式解決比較恰當(dāng).比如，使用矛盾證明P，暗示Q，我們可以假設(shè)P成立，Q是偽命題，然后試著說明為什么如此.有時(shí)候，我們需要使用這個(gè)信息，然后得到一個(gè)與我們確定正確的矛盾.

（八）數(shù)學(xué)歸納法 在證明涉及正整數(shù)的問題中，經(jīng)常會(huì)頻繁使用接下來的法則.

這個(gè)方法是合理的，因?yàn)镾1正確，那么根據(jù)條件2（k-1），S2也是正確的.然后，使用條件2，使用k=2，可以看到也是正確的.再次使用條件2，使用k=3，可以看到S4正確.這個(gè)步驟可以無限地進(jìn)行下去.

步驟三 檢查解題設(shè)計(jì) 在步驟2中，解題設(shè)計(jì)是制定出來的.在施行這些設(shè)計(jì)時(shí)，需要檢查每一個(gè)步驟，然后詳細(xì)地寫出證明每一步正確的依據(jù).

步驟四 回頭看 在給出題目的解后，把整個(gè)解題過程進(jìn)行檢查是明智的，這樣做的一部分原因是為了看一下是否在解題過程中出了錯(cuò)，也是為了看一下有沒有更簡(jiǎn)單地解題方式.另一個(gè)回頭看的原因就是可以讓我們熟悉解題模式，從而對(duì)于解決后面遇到的問題有所助益.笛卡爾說過，“我們解決的每一個(gè)問題都可以成為以后解決其他問題的依據(jù).”

在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，有如下三步：

第一步 證明當(dāng)n=1時(shí)，Sn正確.

第二步 設(shè)Sn當(dāng)n=k時(shí)正確，推導(dǎo)當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1正確.

第三步 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，得出結(jié)論，對(duì)于所有的n值，Sn正確.

由此可見，使用數(shù)學(xué)方法解決問題時(shí)需要遵循一定的原則，使用相應(yīng)的步驟，但這些原則和步驟根據(jù)需要解決的問題實(shí)際相應(yīng)的進(jìn)行調(diào)整，不能僵硬地認(rèn)為所有步驟都會(huì)用到每一個(gè)原則.而且，同一個(gè)問題會(huì)有不同的方法，這里面存在一個(gè)方法最簡(jiǎn)或最佳的問題，大家應(yīng)該能夠做到比較辨認(rèn)。■

參考文獻(xiàn)

[1]Calculus，.James. Stewart， 7ed. Brooker，.2012 P97-101.