導數概念的引入方式探索

趙金榮

摘 要： 數學本身是人類抽象思維的產物，它的抽象性決定了數學本身就是一種文化，是人類璀璨文明的重要組成部分。文章從導數概念的歷史文化背景引入，展現了從具體到抽象、歸納概括的數學方法，從兩個方面展示了在引入數學概念的同時進行數學文化教育的一些感觸。數學文化的特性是傳統性、滲透性、哲學性、美學性和自我完善性等的統一，在數學概念教授的同時，加入數學文化教育，既能幫助學生形成正確的數學觀，又能提高學生的數學的整體素質。

關鍵詞： 導數；瞬時速度；極限

歐拉曾經說過： “今天人們所知道的數的性質，幾乎都是由觀察發現的，并且早在用嚴格確認其真實性之前就被發現了。”因此，觀察人們認識世界的一個重要途徑，要了解和熟悉周圍環境首先靠觀察，要探索和發現大自然的奧秘，同樣也需要通過觀察進行。而數學知識正是人類通過觀察周圍的世界，發現規律后，用抽象的數學概念表示出來，然后再用于指導生產和科學研究。微積分學的重要概念之一就是導數與微分，這些概念經過幾個世紀的數學巨匠的雕琢，已經成長為數學界一棵枝繁葉茂的參天大樹。但是，隨著現代數學內容的不斷發展，這些先進的思想也逐漸滲透進入了經典微積分的精髓之中，從而給微積分的研究注入了勃勃生機。在給學生講解微積分的重要概念之一-導數時，使用恰當的引入方式有助于幫助學生對這個概念的理解，從而接受，然后使用導數解決問題.

在這篇文章中，會就如何引入和講解導數的概念以及如何求函數的導數進行一些探索。在引入導數概念之前，先從給學生介紹促使微積分產生的四大類問題入手，也就是，求做變速運動的瞬時速度的問題；求曲線的切線問題，求函數的最值問題和求曲線的長度等問題。這些問題的產生是社會的發展給數學提出的需要急需解決的問題。為了解決這些問題，十七世紀的很多著名的數學家、天文學、物理學家等做了大量研究，提出了許多很有有用的理論。在這些大家們研究結果的基礎上，在十七世紀下半葉，英國偉大的物理學家和數學家牛頓，德國的政治家、數學家萊布尼茨分別獨立地從不同的角度創立了微積分，使得問題得以解決。牛頓的微積分偏重于運動學，萊布尼茨則偏重于幾何。盡管數學界因為誰首先創建微積分爭論了近百年，但我們一般會認為是這兩位大家各自獨立地創立了微積分。接下來就需要使用典型的問題重現引入導數的概念。使用的引例一般會根據學生所學專業的不同略有改變，不過使用頻率最大的是作變速直線運動的瞬時速度問題和如何求得曲線切線的問題。

一、導數概念的引例之一 從分折物理學上大家熟知的瞬時速度計算方法人手，講清導數的定義。以自由落體運動為例，使用物理給出的在忽略空氣阻力的情況下，自由落體物體的運動規律，求得物體下落2秒時的速度。在忽略空氣阻力的情況下，自由落體的運動規律表示為h=1/2gt2。要得到當t=2秒時物體的瞬時速度，在引入導數之前，很難做到，但是我們可以求得一個小的時間段內物體的平均速度近似代替，也就是 v=△s/△t=[1/2g（2+△t）2-1/2g（2）2]/△t。可以看到，當取得時間間隔△t越小，得到的平均速度v就越接近2秒時的速度。所以，根據極限的定義，可以規定：當△t→0時，平均速度v的極限就t=2秒時的瞬時速度，記作 v=lim△t→0 v= lim△t→0（△s/△t）= lim△t→0 （[1/2g（2+△t）2-1/2g（2）2]/△t）.在這個分析過程中，我們得到了一個特殊的極限lim△t→0 （△s/△t）。

二、導數概念引例之二—求曲線y=f（x）上一點（x0，f（x0））的切線方程。我們知道要得到直線的方程，僅知道直線上的一個點是不夠的，還需要知道直線的斜率，才能夠使用直線的點斜式方程得到切線的方程。要得到曲線上點（x0，f（x0））的切線的斜率，直接方法不存在，但可以得到一個近似值，也就是過（x0，f（x0））點以及這條曲線上（x0，f（x0））點附近另一個點（x0+△x，f（x0+△x））的割線的斜率△y/△x。要使得這個近似值的精確度不斷增加，可以使得△x不斷減小，也就是使得（x0+△x，f（x0+△x））不斷沿著曲線向（x0，f（x0））不斷接近。所以，可以推測出，當△x→0時，△y/△x與切線的斜率k限接近，所以把k定義為△y/△x當△x→0時的極限值。

兩個引例得到了具有共同特征的極限：函數的增量與自變量增量的比值當自變量增量趨向零時的極限。這樣的極限在很多情況下存在，具有廣泛的代表性。這類極限，由于有著廣泛的代表性和實際意義，所以給這個極限一個名字 —導數，由此，得到導數的定義。得到了定義后，可以在使用大家熟悉的函數的導數的求取反過來加以證明。由此，完成了從具體到抽象，又從抽象到具體的循環。這個過程不但利于學生理解導數的概念，同時又讓學生在這些引例的推導過程中體會了微積分創始人的思維過程，同時又培養了學生的抽象邏輯思維能力，以及使用導數解決具體問題的分析能力。在這個過程中，還滲透了數學文化，讓學生了解數學其實并不晦澀難懂，每個數學理論的給出都有其實際意義。

意大利物理學家伽利略曾經說過：數學是上帝用來描述宇宙的文字。作為基礎學科的基礎學科，數學在科學研究中的工具作用，大家都有目共睹。由此，數學課的教學在教育中的地位是其他學科所不能比擬的。但是在數學知識的傳授過程中，其文化價值，很難通過文學、藝術的形式展示給出來，所以，歷來，傳統的數學教學，尤其是高等數學都以抽象、晦澀難懂的形象出現，從而讓人望而生畏。這種做法違背了數學的教育目的。所以，在數學概念的教授過程中，有意識地把抽象的內容與文化進行融合，把抽象內容的學習變得有趣，接地氣，從而消除學生在學習過程中的畏難情緒，應該被數學教育者關注。■

參考文獻

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