水冷卻干熱巖地層的熱應力模型

盧勁鍇 李絡 胡永鵬 付文萱

摘 要：在干熱巖鉆井過程中，井壁與鉆井液接觸產生熱作用。干熱巖地層在鉆井液持續冷卻的條件下，由于內外溫度差，在巖體內部產生極大的熱應力。這對于控制井壁穩定是不利的，而對于后續水力壓裂來說是有利的。通過建立模型的方法來評估和了解這種熱應力的分布和變化規律。由在熱作用影響范圍內的溫度的數學模型，分析得到溫度變化的規律。同時根據彈性力學中平面軸對稱熱應力問題的基本解，建立了徑向和切向熱應力的數學模型，從而分析得到熱應力隨位置和時間的變化規律。

關鍵詞：干熱巖；熱應力；彈性力學；數學模型

中圖分類號：P314 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）10-0026-03

Abstract： During dry-hot rock drilling， the contact between borehole lining and drilling fluid produces thermal effect. Under the condition of continuous cooling of drilling fluid， the dry hot rock formation produces great thermal stress in the rock mass due to the difference of internal and external temperature. This is unfavorable for controlling wellbore stability and favorable for subsequent hydraulic fracturing. The distribution and variation of the thermal stress are evaluated and understood by establishing a model. Based on the mathematical model of temperature in the range of thermal effect， the law of temperature change is obtained. At the same time， according to the basic solution of plane axisymmetric thermal stress in elastic mechanics， the mathematical model of radial and tangential thermal stress is established， and the variation law of thermal stress with position and time is obtained.

Keywords： dry hot rock； thermal stress； elastic mechanics； mathematical model

引言

隨著我國經濟的迅猛發展，能源需求量與日俱增。干熱巖（Hot Dry Rock，簡稱HDR）型地熱能作為一種綠色可再生的新型能源近年來受到社會的廣泛關注。干熱巖所處的地層一般為堅花崗巖地層，具有完整堅硬、致密低滲的特點。為使地下換熱面積增大，人們采取在干熱巖地層中制造增強型地熱系統（EGS）的方法，來更加有效利用干熱巖地層所儲存的熱能。增強型地熱系統是通過水力壓裂的方法來使兩個（或更多）井體之間的裂隙貫通。干熱巖所處的地層溫度一般為200-300°C，甚至更高。井壁接觸循環鉆井液時迅速降溫，井壁到圍巖的區間產生溫度差，這將會使井壁附近一定范圍內的干熱巖地層產生巨大的熱應力。因此，建立一個數學模型來衡量其產生的熱應力具有重要意義。

1 模型的建立

1.1 地層環境的抽象

從地面向干熱巖目標地層打一口豎直井，由于鉆井液與井壁接觸產生熱作用的時間是有限的，因此在有限時間內熱影響區域為一個圓筒體。

由熱學定理可得，熱影響的距離R-r0為：

1.2 冷卻后干熱巖溫度變化模型

由于鉆孔截面為沿軸向無變化的軸對稱截面，且不考慮軸向熱流和滲透作用的情況下，溫度場僅為點到鉆孔中心距離r的函數，滿足定常無熱源的熱傳導方程[1]：

1.3 冷卻后干熱巖熱應力變化的模型

抽象后的地層為一個厚壁圓筒，由于低溫梯度的變化比較小，在干熱巖鉆井底部區域內的軸向作用可忽略不計。利用彈性力學中平面軸對稱熱應力問題的一般解[1]如下：

將鉆井井壁表面和熱作用半徑面無面力的邊界條件

代入即可解得常數D1、D2。

將上式代入應力分量表達式，并將T的表達式代入后積分可得：

點到鉆井中心的距離相等時熱應力大小相等，則把由這樣的點構成的圓定義為等熱應力圓。

1.4 鉆井液與井壁巖體的熱傳導模型

由牛頓冷卻定律可知液體從外界下到孔底時，液固界面滿足方程[2]：

式中：h為鉆井液和巖石的熱交換系數。

當井壁內表面與鉆井液循環溫度相等時，熱作用半徑為

2 模型的分析

為了方便研究模型中變量的相互關系，不妨取變量的值為一般經驗值。其中，巖石密度、比熱容導熱系數的取值參考了文獻[3]；熱膨脹系數、對流換熱系數、泊松比和彈性模量的取值參考了文獻[4]。

2.1 時間與熱作用半徑的關系

由式（1）可知，熱作用半徑與時間和導熱系數為正相關，與密度和比熱容成負相關。在鉆井周圍，熱作用半徑的大小能夠衡量巖石受熱應力影響的范圍，其關系為：隨著時間的延長，熱作用半徑不斷增加，當在鉆井液循環11.6天時，熱作用半徑約為2.5m。如果需要更大的熱應力作用范圍，則需要更長的鉆井液循環時間。

2.2 熱作用范圍內溫度的變化規律

由于模型在水巖截面引入等溫假定，即井壁表面巖石溫度等于鉆井液循環溫度。在鉆井液剛剛通入鉆井內與井壁接觸時，二者實際溫度并不相等，由式（9）可推求溫度相等時所用的時間。此時間與巖石表面對流換熱系數有關，一般情況下不超過10秒。因此式（4）適用于熱作用時間超過10秒的情況。

鉆井內溫度保持在鉆井液循環溫度，在熱作用半徑以外溫度始終為地層溫度。在由式（4）可知，在熱作用范圍內，溫度與等應力圓半徑的自然對數值成正比，二者關系如圖1所示：

2.3 熱應力的變化規律

由式（8）可知，在熱作用時間確定時，熱應力的大小與等應力圓半徑有關；在等應力圓半徑確定時，熱應力的大小隨熱作用時間而改變。下面分別研究其中的變化規律。

2.3.1 熱應力與等應力圓半徑的關系

我們得到：徑向熱應力始終是拉力，100秒時徑向熱應力的最大值為1.59MPa，10000秒時徑向熱應力的最大值為8.15MPa，1000000秒時徑向熱應力的最大值為15.6MPa。徑向熱應力的最大值隨時間延長而逐漸增大。時間很短時，熱應力的變化趨勢類似拋物線，徑向熱應力最大值位于熱作用范圍內的中點附近；而隨著時間的延長，熱應力的趨勢發生改變，徑向熱應力最大值向鉆井壁移動，且熱應力的變化率逐漸增大。

切向熱應力在熱作用范圍內切向熱應力方向發生一次改變，由拉力逐漸減小到0，然后變為壓力。時間很短時，切向熱應力的趨勢近似線性，最大切向拉應力值位于井壁處最大切向壓應力值位于熱作用半徑處，即最大等熱應力圓處。隨著時間的延長，切向熱應力的下凸的趨勢越來越明顯，切向最大拉應力的增長幅度要小于徑向最大拉應力；切向最大壓應力的值逐漸減小。

2.3.2 同一位置下熱應力隨時間的改變規律

計算出等熱應力半徑為0.2m處，熱應力隨時間（10000秒到100000秒）的變化和等熱應力半徑為1m處，熱應力隨時間（100000秒到1000000秒）的變化。變化如圖2、3如下：

開始很快，經過某一時間節點后突然變慢。切向熱應力的增長速度比徑向熱應力快，在增速拐點處切向熱應力大于徑向熱應力，此后二者之間差距逐漸增大。圖3也反映了應力增長速度變慢的規律。

3 結束語

（1）熱作用半徑與時間和導熱系數為正相關，與密度和比熱容成負相關。當在鉆井液循環11.6天時，熱作用半徑約為2.5m。如果需要更大的熱應力作用范圍，則需要更長的鉆井液循環時間。

（2）徑向熱應力是拉力，最大值隨時間延長單調遞增。時間很短時，變化趨勢類似拋物線，最大值位于熱作用范圍內的中點附近；而隨著時間的延長，徑向熱應力最大值向鉆井壁移動。

（3）在熱作用范圍內，切向熱應力方向由拉力逐漸變為壓力。時間很短時，切向熱應力的趨勢近似線性，最大切向拉應力值位于井壁處；最大切向壓應力值位于熱作用半徑處，即最大等熱應力圓處。切向最大壓應力的值隨時間逐漸減小。

（4）某位置巖石受到的熱應力隨時間的延長而增加，熱應力增長速度開始很快，經過某一時間節點后突然變慢。

（5）由模型可得，通過地面上鉆井液冷卻降溫系統使鉆井液循環溫度降低，可使熱應力變大；增加鉆井液的循環時間，也可以使熱應力變大。

參考文獻：

[1]徐秉業，劉信聲.應用彈性力學[M].北京：清華大學出版社，1995：382-392.

[2]余志清，徐華義.井壁圍巖熱應力分析[J].石油鉆探技術，1997，4，

13-15.

[3]羅爽，宋二祥.熱儲巖層單條裂隙換熱概念模型的解及相關討論[J].防災減災工程學報，2017，4：627-635.

[4]鄭慧慧，劉希亮，湛倫建.高溫下巖石單向約束的熱應力分析[J].路基工程，2008，5：12-13.