數形結合巧解一類多變量最大值的最小值問題

黎金傳

(浙江寧波鎮海中學 315000)

例1 已知二次函數f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R),設M(a,b)為g(x)=|f(x)|在[1,2]上的最大值.

(1)當a=1時，求M(1,b)關于b的解析式；

(2)若對于任意a,b∈R.恒有M(a,b)≥M(a0,b0),求滿足條件的所有實數對(a0,b0).

原解(1)當a=1時，f(x)=-x2+x+b,則f(x)在[1,2]上單調遞減，故f(x)在[1,2]上的值域為[b-2,b].

①當a≤2或a≥4時，f(x)在[1,2]上單調，又

f(1)=a+b-1,f(2)=2a+b-4,

三個不等式同時取到等號的條件為

這與3

圖1

圖2

解完一道題后經常要對于該題進行反思，首先要想想這道題考察了哪些知識點，是從哪些角度來考察的？你還可以從哪些角度來考慮？其次，該題考查了什么思想方法？以后再運用這種思想方法的時候要注意什么？最重要的是通過該題掌握這一類問題的解法.

把問題推廣：g(x)=

例2 (2016浙江高考模擬沖刺(四))已知函數

(1)若b=-2，且函數f(x)在區間[-1,1]上有兩個零點，求a的取值范圍；

(2)設函數g(x)=|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值為M(a,b)，若M(a,b)≥k對于任意的a>1,b∈R恒成立，求k的最大值.

參考文獻：

[1]霍正平.一道二元函數最值問題的數形結合巧解[J].數學之友,2011(03).