高中物理求最值的幾種常見數(shù)學(xué)方法

趙新利

(廣東省珠海市斗門區(qū)和風(fēng)中學(xué) 519110)

高中物理經(jīng)常涉及求最值的問題，很多都是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決的，常見的方法有：利用三角函數(shù)最值的，利用均值不等式的，還有利用一元二次方程的，下面就以上三中方法附例題加以說明.

方法一利用三角函數(shù)求最值

本方法所涉及的數(shù)學(xué)知識:

圖1

例1 一質(zhì)量為m的物體放在水平面上，物體與水平面的滑動摩擦因數(shù)為μ，加一大小不變的拉力F在物體上，力與水平面夾角多大時，物體的加速度a最大？(重力加速度為g)

解析假設(shè)力與水平方向成 ,物體的受力分析如圖1所示：將拉力F分解到水平方向和豎直方向,

豎直方向力的關(guān)系有：

(1)Fsinθ+N=mg

水平方向力的關(guān)系有：

(2)Fcosθ-f=ma

(3)已知f=μN

聯(lián)立(1)、(2)、(3)式有：

Fcosθ+μFsinθ-μmg=ma.

由數(shù)學(xué)知識有：

方法二利用均值不等式求最值

本方法所涉及的數(shù)學(xué)知識

圖2

例2 如圖2所示,豎直放置的光滑半圓形軌道與光滑水平面AB相切于B點,半圓形軌道的最高點為C.輕彈簧一端固定在豎直擋板上,另一端有一質(zhì)量為0.1 kg的小球(小球與彈簧不相連).用力將小球向左推,小球?qū)椈蓧嚎s一定量時用細(xì)繩固定住.此時彈簧的彈性勢能為4.05 J,燒斷細(xì)繩,彈簧將小球彈出.取g=10 m/s2.

求:(1)欲使小球能通過最高點C,則半圓形軌道的半徑最大為多少?

(2)欲使小球通過最高點C后落到水平面上的水平距離最大,則半圓形軌道的半徑為多大?落至B點的最大距離為多少?

解析設(shè)小球離開彈簧時的速度為v1，通過最高點C的速度為v2.

(1) 從燒斷細(xì)繩開始,到彈簧將小球彈離時：由機械能守恒定律有：

小球從B到C的運動過程中由機械能守恒定律有：

x=v3t.

由系統(tǒng)機械能守恒得：

由以上各式得：

由數(shù)學(xué)方法均值不等式知識知：

當(dāng)8.1-4r=4r時,x有極大值

所以，當(dāng)半圓形軌道的半徑r為1.01 m時，小球落至B點的最大距離xmax為4.04 m.

方法三利用一元二次方程求最值

本方法所涉及的數(shù)學(xué)知識：

例3 一個質(zhì)量為m的電子和一個靜止的質(zhì)量為M的原子發(fā)生正碰，碰撞的結(jié)果是：原子獲得了一定的速度，并有一定的能量E儲存在這個原子的內(nèi)部，問電子必須具有的最小初速度是多少？

解析設(shè)電子碰撞前的速度為v0，碰撞后的速度為v1，靜止的原子被碰后的速度為v2

根據(jù)動量守恒定律有：

(1)mv0=mv1+Mv2

根據(jù)能量守恒有：

由(1)解出 ，代入(2)中可得：

化簡后可得：

上面這個表達(dá)式可視為關(guān)于v1的一元二次方程，因為電子碰撞后的速度 必為實數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律可知，應(yīng)有方程的判別式Δ=b2-4ac≥0,.

化簡后可得：

近年來，高中物理對運用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力要求一直是比較高的，而在物理教學(xué)中對于大多數(shù)高中學(xué)生來說運用數(shù)學(xué)方法求解物理問題最值的能力的培養(yǎng)又是一大難點，其主要原因之一就是知識方法的歸類總結(jié)不夠到位，希望本文所介紹的幾種常見求物理問題最值的方法對廣大高中學(xué)生有所幫助，能夠起到拋磚引玉的作用.

參考文獻：

[1] 宋成福.例談高中物理求最值問題的七種數(shù)學(xué)方法[J].湖南中學(xué)物理，2013(10).

[2] 吳靜.例談數(shù)學(xué)方法在高中物理中求極值的應(yīng)用[J].中學(xué)生理科應(yīng)試,2016(3).