等差數列的“跨界”應用

梁宗明

(甘肅省蘭州市蘭化一中 730060)

等差數列相關性質的應用一般主要集中在數列問題中，在其他章節的應用相對比較少，但等差數列中所蘊含的一些思想和基本方法，在其他章節中有著廣泛的滲透，若能“跨界”應用到位，就能激發學生的潛能,提高解答、探索問題的應變能力.所以在平時教學中應重視知識的“跨界”應用和融合，把學生從單一的思維模式中解放出來，促進知識的靈活應用和整合，拓展解題思路，力求實現知識的遷移和靈活應用，實現知識質的飛躍，從而達到舉一反三的目的.

類型一：圓錐曲線中“跨界”應用

高中數學課本中橢圓方程的推導計算量大而且繁瑣，若抓住定義中|MF1|+|MF2|=2a(a>0)這一屬性，構造等差數列，則方程的推導簡單許多.

解析建立以長軸短軸分別為x軸、y軸的直角坐標系，設橢圓上任意一點M(x,y)，橢圓的焦距為2c(c>0)，點M(x,y)與橢圓的兩焦點F1和F2的距離之和為正常數2a(a>0)，則F1(-c,0)，F2(c,0)，由|MF1|+|MF2|=2a(a>0)可知，|MF1|，a,|MF2|成等差數列，設公差為d，則-c≤d≤c，

①

類型二：三角題中“跨界”應用

類型三：均值不等式中“跨界”應用

例3 (浙江卷)已知a≥0,，b≥0,且a+b=2,則( )

C.a2+b2≥2 D.a2+b2=3

解析根據a+b=2特征，可得a,1,b成等差數列，1為a與b的等差中項.可設a=1-x，b=1+x，其中

-1≤x≤1,則ab=1-x2,a2+b2=2+2x2.

又0≤x2≤1，故0≤ab≤1，2≤a2+b2≤4，由選項知應選C.

類型四：系統抽樣中“跨界”應用

例4 (浙江卷)采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查.為此將他們隨機編號為1,2,3,…,960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的32人中，編號落入區間[1,450]的人做問卷A，編號落入區間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中做問卷B的人數是( )

A. 7 B. 9 C. 10 D. 15

解析采用系統抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，即a1=9，d=30 .第n組的號碼為an=a1+(n-1)d=9+(n-1)×30.

令451≤9+(n-1)×30≤750，而n∈Z，解得則滿足15.7≤n≤25.7的整數n有10個，故答案應選C.

在數學學習中，掌握一定的數學思想方法遠比掌握一般的數學知識要有用的多，數學思想方法是學習數學的“工具”，為我們解決數學問題提供清晰的思路.以上這些都是與“等差數列”似乎無緣的問題，但是都滲透了等差數列思想.是從一個新的角度對問題的理解，對于學生發散思維的形成是非常有益的.不僅開拓了學生的視野，而且鍛煉了解題能力.

參考文獻：

[1]陳海華.等差數列教學中學生學習素養的培養[J].數學大世界(教師適用),2012(12).

[2]鄒明華.等差數列教學的實踐探討[J].中國校外教育，2013(23).