例析應用數學知識解決物理力學問題

佘西敏 孫宏濤

(陜西省旬陽中學 725700)

孫宏濤(1981-)，男，本科，中學一級教師，從事中學物理教學研究.

《普通高等學習招生全國統一考試大綱(物理)》考核目標與要求中關于應用數學處理物理問題的能力表述為“能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論；能運用幾何圖形、函數圖像進行表達、分析可見，中學階段學到的數學知識，如幾何、三角、代數、解析幾何，都可能成為解高考物理試題中的數學工具”因此在物理教學中，一定要注重數學知識、思想和方法的有效滲透，總結典型例題，剖析內在規律，提煉解題方法，發展科學思維，培養科學態度，促進有效學習.

一、兩物直線赴前程，一繩牽連等時動.均勻伸長潛含義，平面解析問題明

例1 (2013年新課標Ⅰ卷)水平桌面上有兩個玩具車A和B，兩者用一輕質細橡皮筋相連，在橡皮筋上有一紅色標記R.在初始時橡皮筋處于拉直狀態，A、B和R分別位于直角坐標系中的(0,2l)、(0,-l)和(0,0)點.已知A從靜止開始沿y軸正向做加速度大小為a的勻加速運動：B平行于x軸朝x軸正向勻速運動.在兩車此后運動的過程中，標記R在某時刻通過點(l,l).假定橡皮筋的伸長是均勻的，求B運動速度的大小.

圖1

②xB=vt.

在開始運動時，R到A和B的距離之比為2∶1，即0E∶OF=2∶1

由于橡皮筋的伸長是均勻的，在以后任一時刻R到A和B的距離之比都為2∶1.因此，在時刻t有

③HK∶KG=2∶1

由于△FGH∽△IGK，有

④HG∶KG=xB∶(xB-l)

⑤HG∶KG=(yA+l)∶2l

由③④⑤式得

評析本題主要應用到數學初等平面解析幾何知識，解決問題的關鍵在于找到相似三角形，利用對應邊成比例的性質，建立起兩物體位移關系.

二、粗糙平面斜向力，方向大小皆可變.勻速直線力最小，數學方法勇上前

例2 重量為G的木塊與水平地面的動摩擦因數為μ，一人欲用最小的作用力F使木塊沿水平地面勻速運動，則此最小作用力F的大小、方向如何？

解法1 (三角函數法)設力與水平方向的夾角為α，由于物體在水平面上做勻速直線運動，隨著α角的不同，物體與水平面的彈力不同，因而滑動摩擦力也不一樣，而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等，因α角不同，拉力F也不一樣．以物體為研究對象，受力分析如圖2所示，因為物體處于平衡狀態，由平衡條件知

Fcosα-μFN=0

①

Fsinα+FN-G=0

②

由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

③

圖2

評析此題在高一物理力學中屬于共點力動態平衡問題，主要難度在于數學知識的相對滯后，方法一主要通過配方使三角函數兩角差的余弦公式能夠用于解決最值問題，要求學生熟練掌握三角函數知識；方法二的難點在于通過三角函數知識理解Fμ與FN的合力F1的方向都不會改變，之后應用圖解法處理動態平衡問題相對容易.

三、輕繩關連兩滑塊，合分速度分明白.三角函數圖像助，牽連關系自解開.

例3 如圖3所示，沿豎直桿以速度v勻速下滑的物體A通過輕質細繩拉光滑水平面上的物體B，細繩與豎直桿間的夾角為θ，則以下說法正確的是( )

A．物體B向右做勻速運動

B．物體B向右做變加速運動

C．物體B向右做勻加速運動

D．物體B受到的繩子拉力變大

圖3 圖4

解析將A物體的速度按圖示兩個方向分解，如圖4所示， 由繩子速率v繩=vcosθ，而繩子速率等于物體B的速率，則有物體B的速率

vB=v繩=vcosθ．

圖5

因余弦函數cosθ自變量θ∈(0，π/2)，隨著θ減小，圖線對應的斜率減小，如圖5，若令縱軸y代表速度v，橫軸θ∝t，可知斜率代表加速度a,即加速度a變小，物體B做變加速運動.

故B正確，AC錯誤.

再對B進行受力分析結合牛頓第二定律，知B受到重力、支持力(彈力)、繩子拉力(彈力)，因B做變加速運動，由F合=FT=ma，a變小所以拉力FT變小，故D錯誤.

評析學生通過物理中速度的合成與分解知識推知vB=v繩=vcosθ之后，討論vB變化時，往往只知道隨θ減小，cosθ增大，vB增大，但并不清楚vB具體如何增，此時應用數學知識、物理知識、數形結合的方法就更加形象直觀.

參考文獻：

[1]教育部考試中心.2017年普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明[M].北京：高等教育出版社，2016.