利用導數化解數學中的問題

曾 美 陳國林

(1.贛州市蓉江新區潭東中學 341000;2.贛南師范大學科技學院 341000)

陳國林(1994.10-)，男，安徽亳州人，本科，從事中學數學解題，中學數學教育研究.

一、證明超越不等式利用函數的單調性來破解

例1 利用函數的單調性證明: sinx

解析設f(x)=sinx-x，因為f′(x)=cosx-1，且cosx<1,x∈(0,π)，所以f′(x)<0，f(x)在(0,π)上為減函數，故f(x)

評注此不等式是超越不等式，要想利用常規方法證明本題是難以進行的.若構造函數利用導數判斷函數單調性，使用單調性予以證明則較為簡單、快捷.

變式1 當x>0時，證明：

當x> 0時，f(x)>f(0)=0，即ln(1+x)>x-

二、利用導數求解參數問題

例2 (2017年新課標全國Ⅰ卷理)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

解析(1)由于f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，故

f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①當a≤0時，aex-1<0，2ex+1>0，從而f′(x)<0恒成立．f(x)在R上單調遞減.

②當a>0時，令f′(x)=0，從而aex-1=0，得x=-lna．

x(-∞，-lna)-lna(-lna，+∞)f′(x)-0+f(x)單調減極小值單調增

綜上，當a≤0時，f(x)在R上單調遞減；

當a>0時，f(x)在(-∞,-lna)上單調遞減，在

(-lna,+∞)上單調遞增.

(2)由(1)知，

當a≤0時，f(x)在R上單調減，故f(x)在R上至多一個零點，不滿足條件．

故當01時，g(a)>0.

又f(x)在(-∞,-lna)上單調減，在(-lna,+∞)單調增，故f(x)在R上至多兩個實根．

綜上，0

注意到h(1)=0，所以g(t)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減，即g(t)max=g(1)=1.

三、利用二次求導破解函數單調性

(1)證明：當a≥1時，f(x)有唯一的零點；

(2)若f(x)≥0，求實數a的取值范圍.

解(1)略.

③當a≥1時，由(1)知，f(x)≥0.

綜上，若f(x)≥0時，a的取值范圍為[1,+∞).

評注二次求導的原因是導函數方程f′(x)=0無法用初等方程的求解方法求解，如果遇到的是超越方程，借用圖解法大致判斷解的位置，甚至通過觀察獲得特殊的解.在題目的設計當中一般二次求導后對于一階導數是具有單調性的.

參考文獻：

[1]陳國林,寇桂晏.追蹤導數高考涉及的證明問題[J].數理化解題研究,2016(12).