馬爾可夫鏈的平穩分布的教學設計

宋月 馮海林

摘 要 馬爾可夫鏈是一類十分重要的隨機過程，是專業型碩士課程隨機過程的重要內容。但是學生對其的應用知之甚少，本文主要探討專業型碩士課程馬爾可夫鏈平穩分布及其應用的教學設計，提高學生解決實際問題的能力。

關鍵詞 馬爾可夫鏈 平穩分布

中圖分類號：G420文獻標識碼：A

馬爾可夫鏈是《隨機過程》中的重要內容，它是馬爾可夫在1906年提出的滿足一定條件即無記憶性的隨機變量序列，前蘇聯的數學家辛欽對這種模型給出了高度的評價，認為該模型有很現實的哲學意義。而馬爾可夫鏈的平穩分布又是馬爾可夫鏈的精華所在，幾乎馬爾可夫鏈這一章的所有內容：馬爾可夫鏈的轉移概率、狀態分類以及極限理論都是為平穩分布做準備的。平穩分布的概念學生不難理解，也能夠判斷馬爾可夫鏈的平穩分布的存在性以及求出相應的平穩分布，但是對平穩分布的應用了解甚少，因而更談不上應用馬爾可夫鏈這個工具來解決實際問題了。本文主要探討專業型碩士課程馬爾可夫鏈平穩分布及其應用的教學設計，提高學生解決實際問題的能力。

2平穩分布的應用

例2：（在管理中的應用）假設現在有一個鋼琴商店，在銷售某款鋼琴時采用如下的庫存策略：當一天結束時，如果存貨降到或者更少，就要訂購足夠的產品使得存貨的數量回到。為了簡單起見，假定補充的貨物發生在第二天的開始。用表示第天結束時商店的存貨量，為第天的需求量。由庫存策略知道，如果，則不需要訂貨，第二天的存貨量以架的鋼琴開始銷售，如果需求量，則當天結束時;如果需求量，則當天結束時。如果，則第二天的存貨量以架的鋼琴開始，對可以類似分析。假定采用，的庫存控制策略，況且需求量的分布列為

是不是馬爾科夫鏈，其一步轉移概率矩陣是多少？

由問題顯然可知是齊次馬爾科夫鏈，它的一步轉移概率矩陣為

另外，如果，假設每一架鋼琴，當它被售出時可以獲得1200元的利潤，否則每天需花費200元的存貯費用，那么長期來看，這種庫存策略平均每天的利潤是多少？為了獲得最大利潤，應該如何選擇s？

當，s的選擇只有2，1，0三種情況，分別計算就可以獲得最佳的s。假設采用2，3庫存策略，即當庫存小于等于2架鋼琴時補貨，使得第二天開始時有三架鋼琴的庫存。在這種情況下總是以3架鋼琴開始一天的銷售，此時轉移概率矩陣每行都相等，為

這三種策略中1，3策略時最優的。

引導學生思考：如果S和s均未知，可以思考如何確定最優的庫存策略呢？

進一步指出：利用馬爾可夫模型也可以建立市場占有率和期望利潤的預測模型;馬爾可夫模型可以應用到預測單支股票的收益、整個證券市場的股指、證券組合的綜合價格與預期收益;匯率預測和期權定價方面，馬爾可夫鏈也大有作為。

馬爾可夫鏈在醫學衛生領域的應用起步較晚，但在近些年取得了較大的進展。運用馬爾可夫模型可以預測疾病的發病規律;利用馬爾可夫鏈模型，在逐年分析以往疫情的歷史資料的基礎上，可以預測今后五年的疫情發生情況;馬爾可夫理論還可以在藥品生產、炭疽病、黑熱病發病趨勢預測上得到有效的應用。

例3：（在醫學方面的應用）統計了某市1980年至1995年腎綜合征出血熱（HFRS）的發病率分別為（單位：1/10萬）：2.95、6.28、10.28、7.01、7.36、13.78、33.93、35.87、33.40、28.38、30.50、33.79、39.70、30.39、39.70、33.59.嘗試用馬爾可夫鏈模型對疾病發病情況隨時間序列的變化規律進行分析和研究，預測疾病的發展變化趨勢，為預防和控制疾病提供依據。

首先根據資料將發病率劃分為四個狀態，統計各數據的狀態歸屬及各狀態出現的頻率（初始概率），得表1和表2。

由表1可得各狀態的轉移頻率即狀態轉移概率的估計值，從而得模型的一步轉移概率矩陣：

可以做假設：（1）HFRS下一年的發病率只與當年發病率有關，而與過去的發病率無關;（2）任意時期的一步轉移概率矩陣不變，此時馬爾科夫鏈具有平穩分布，因而可用初始分布（4/16，2/16，1/16，9/16），可以用轉移概率矩陣為P的馬氏鏈模型來預測HFRS發病率未來的情況。

解方程，，得模型的極限概率分布（穩態分布）：（0，0，1/9，8/9）。

分析預測：由于95年處于狀態4，比較轉移概率矩陣的第4行的四個數字知最大，所以預測96年仍處于狀態4，即發病率大于30/10萬。同樣，從二、三、四步轉移矩陣知，依然是狀態4轉入狀態4的概率最大，所以預測1996年至1999年該市的HFRS發病率將持續在大于30/10萬（高發區）水平，這提醒我們應該對此高度重視，采取相應對策。從平穩分布可知，長期來看HRFS發病率將保持在高發區水平，這應該是不符合實際情況的。究其原因，主要是隨著各方面采取的控制措施，轉移概率矩陣保持不變是不太可能的。因此本例用馬爾科夫鏈作的分析只適合于短期的情況。

馬爾可夫鏈模型還可以在人力資源管理中分析企業內部人力資源的流動趨勢和概率，如升遷、轉職、調配或離職等方面的情況，以便為內部的人力資源的調配提供依據。當然能使用馬爾可夫鏈進行分析的一個前提是：過去的內部人事變動的模式和概率與未來的趨勢大體相一致。

例4：（人力資源管理中的應用）現有某四星級飯店2009-2013年各層員工流動數據如表3所示：

2014年年初該四星級飯店總監、經理、主管、領班、基層人數分別為4、9、24、36、167人。我們關心的是該飯店未來1到5年人員結構狀態的變動情況。

由表3可知，可以認為飯店在2009-2013年內部人事變動的模式和概率大體是一致的，假定未來五年的人員變動模式和前幾年一致。此時可以用馬爾科夫鏈來描述飯店人員變動的狀況，表3的數據就可以作為馬爾科夫鏈的轉移概率矩陣。若用表示2004年的飯店人員年齡結構，則2015年各階層人數為

也就是經過1年，在2014年年末飯店的總監、經理、主管、領班、基層人數分別為4、10、23、50、92人，流失員工61人。飯店為了保持在籍員工總數不變，故本年度應該新招聘61名基層員工，若用表示員工流失和招聘情況，則，因此2014年末（2015年年初）員工結構為。類似可獲得未來幾年初飯店員工結構和當年員工流失以及招聘情況：

從計算結果可以看出，總監級別的人數在未來幾年內保持不變，說明經理級別的員工上升到總監級別是非常不容易的，因此現任總監因故離崗或不能繼續擔任本職工作時，人力資源管理者需要立即采取措施應對。人力資源部門平時應注意挖掘和發現具有總監潛力的員工并注意對其的培養。能夠勝任經理級別和主管級別的 員工人數每年都有所增加，因此人力資源管理部門在做人力資源規劃時，對于這兩類級別的員工缺乏時可以采取內部招聘的方式。能夠勝任領班級別的員工人數增幅較大，人力資源部門應加大對領班界別的考核力度。基層員工流失率較高，這種情況不利于飯店的穩定，因此必須采取措施，給予員工優厚的福利待遇和良好的工作環境以及必要的培訓機會。

從這些例子中可以看出，應用平穩分布可以獲得感興趣的指標并做出相應的決策;還可以利用馬爾可夫鏈的平穩分布做預測，盡管背景千差萬別，但方法基本相似，具體說來可以分成以下四步：（1）結合實際問題劃分系統狀態;（2）通過數據以及以往的數據資料確定狀態之間的轉移概率;（3）求系統的平穩分布;（4）應用平穩分布計算感興趣的指標從而做出相應的決策，或者應用平穩分布進行預測。實際應用的難度在于系統狀態的劃分和轉移概率的確定，這兩步也決定了預測的精度如何，因此為了獲得較高精度的預測，需要針對實際問題詳細分析。

最后指出馬爾科夫鏈可以預測的領域：經濟、金融、管理銷售、教育、體育、氣象水文、病蟲害、生物、衛生醫藥、網頁搜索、通信、控制等。要預測得精準，馬爾可夫鏈經常與其他各種方法相結合，引導學生看相關文獻并寫出自己的馬爾科夫鏈的應用論文。

參考文獻

[1] 李洪杰等.龍泉市腎綜合征出血熱發病趨勢的預測[J].浙江預防醫學，1997（02）.

[2] 孫國霞.馬爾科夫模型在星級飯店人力資源供給預測中的應用[J].北京第二外國語學院學報，2015（07）.