中考命題須謹慎 試題導向要合理
——2017年數(shù)學中考題的問題評析與命題建議

錢德春

中考試題反映了命題者的價值取向、學科立意、學科素養(yǎng)和學科理解。命制一份結(jié)構(gòu)良好、布局合理、導向科學、立意新穎的試卷，對命題者的能力、智慧和心理提出了較高的要求。2017年各地中考數(shù)學試卷的大多試題形式與結(jié)構(gòu)等讓人耳目一新，對課標的把握、教材的理解、學生心理的把控準確到位，較好地考查了數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學素養(yǎng)，具有原創(chuàng)性、層次性、關(guān)聯(lián)性，試卷導向明、質(zhì)量高、效度好。

同時，筆者也發(fā)現(xiàn)一些不容忽視的問題：有些試卷對課程標準、教學內(nèi)容和學生認知把握不準；有的試題存在“三假”現(xiàn)象，即假情境、假問題、假探究；少數(shù)試題拼湊痕跡較重，關(guān)聯(lián)性、層次性不夠；個別試卷的壓軸題立意陳舊，甚至有抄襲現(xiàn)象；一些地區(qū)試題閱讀量偏大，不利于學生思考。這些問題的出現(xiàn)，給同是命題者的筆者以提醒：中考命題須謹慎，試題導向要合理?；诖?，本文擬通過具體問題的評析，對中考數(shù)學命題提出建議，僅供同行參考。

一、命題要基于課程標準，尊重學生認知

筆者發(fā)現(xiàn)，試題超標、高中知識下放的現(xiàn)象屢見不鮮。

1.試題內(nèi)容超標。

案例1【.試題呈現(xiàn)】將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖1所示放置，點D在AB邊上，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CA、CB于M、N兩點，若CA=5，AB=6，AD∶AB=1∶3，則MD+的最小值為 。

圖1

【評析與建議】試題通過證明△AMD∽△BDN得到 MA×DN=BD×MD=4MD，故 MD+值為2 3。該方法的本質(zhì)是基本不等式，即可用一元二次方程根的判別式來解決：設MD+=k，則有MD2-kMD+3=0，此時 Δ =k2-12≥0，所以k≥2 3，即當MD=3時，MD+的最小值為2 3。但無論哪一種方法都超出了《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》［1（］以下簡稱《課標（2011年版）》）的要求。

2017年各地中考試卷中出現(xiàn)的類似情況不在少數(shù)。有的仍在考查分式方程產(chǎn)生增根、分式方程待定字母范圍的討論，有的考查二次項系數(shù)含字母的一元二次方程根的討論，有的出現(xiàn)了解可化為一元二次方程的分式絕對值方程，有的出現(xiàn)了方程x+=3根的判定、解方程

1=x2+（2x+ 3x）2中分母為二次根式和的有理化問題……這些問題均游走在《課標（2011年版）》的邊緣。還有令人不解的是：某卷第20題“計算1+4+9+16+25+…的前29項的和”，是讓學生推超出了學生的能力；如果要求學生記住公式，那么題目又有何意義？

學生的數(shù)學學習主陣地是課堂，而教學與評價的依據(jù)是課程標準和教材，因此，命題要充分發(fā)揮其導向作用，嚴格執(zhí)行課程標準，尊重學生認知，側(cè)重考查學生“基礎知識、基本技能、基本數(shù)學思想方法和基本活動經(jīng)驗”和“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力”。

2.高中知識下放。

部分試卷為追求所謂的新立意，將高中數(shù)學知識以閱讀理解和新定義形式下放到初中試卷中考查。

案例2【.試題呈現(xiàn)】在平面直角坐標系中，如果點P坐標為（m，n），向量可以→用點P的坐標表示為=（m，n）。已知：=(x→1，y1)，→=(x2，y2)，如果x1×x2+y1×y2=0，那么OA與OB

【評析與建議】向量法是數(shù)學中處理圖形問題的重要工具。該題主要考查新定義與閱讀理解。我們發(fā)現(xiàn)，上海卷也考查了向量問題：如圖2，已知AB∥CD，CD=2AB，AD→、BC相交于點E，設=，=，那么向量CD用向量、表示為______。兩地試題除了考查方式不同外，其根本區(qū)別在于：《上海市中小學數(shù)學課程標準（試行稿）》［2］中明確要求“在初中引進向量及其線性運算，重視向量的工具作用和對解析幾何的奠基作用”，要求初中階段的學生（六至九年級）“知道向量的要素及向量的表示，理解相等向量、相反向量、平行向量、零向量的意義”“掌握向量的線性運算，體會用向量解決簡單幾何問題的過程”。而其他地區(qū)“向量”是高中數(shù)學必修內(nèi)容，使用的《課標（2011年版）》沒有向量內(nèi)容，因此，如果上海試題出現(xiàn)向量的簡單問題尚屬正常的話，那么，其他地區(qū)考查向量屬于高中知識的下放，顯然不太恰當。

圖2

高中知識下放的問題在各地中考試卷中屢見不鮮，如四川某市考查“導數(shù)”的閱讀與運用，湖南某市考查復數(shù)的定義的理解與運用，山東某市考查坐標平面內(nèi)“點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式”的理解與深度運用，凡此種種都是一種不好的命題導向。建議要依綱據(jù)本，在學生學習內(nèi)容的范圍內(nèi)命題，避免“教師猜題押題，將大量高中知識下放到初中教學，學生機械套用，加重學習負擔”的現(xiàn)象。

二、要設計真情境、提出真問題、引導真探究

《課標（2011年版）》指出，學生要“學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力”。將現(xiàn)實情境數(shù)學化，培養(yǎng)建模意識和歸納與抽象能力，是課堂教學和數(shù)學命題的應然目標。但從中考試題來看，情境設計不符合數(shù)學常識、不真實，探究缺乏創(chuàng)新性等現(xiàn)象比較突出。

1.情境選用不符合數(shù)學常識。

案例3.【試題呈現(xiàn)】可燃冰，學名叫“天然氣水合物”，是一種高效清潔、儲量巨大的新能源，據(jù)報道，僅我國可燃冰預測遠景資源量就超過了1000億噸油當量。將1000億用科學記數(shù)法可表示為（ ）。

A.1×103B.1000×108C.1×1011D.1×1014

【評析與建議】命題者提供的答案為C。筆者認為，情境選用不當。雖然教材規(guī)定：任何一個正數(shù)都可以寫成a×10n（1≤a＜10，n為整數(shù)）的形式，但通常情況下，如果一個數(shù)能表示成10n（n為整數(shù)），就沒有必要再寫成1×10n的形式。因此，“1×1011”的表示方式不符合數(shù)學常識。建議試題命制過程中的情境選擇與設計要符合學科特點和共識。

2.問題設置不真實。

有不少試題所謂的現(xiàn)實情境，是為情境而設情境，不真實、不符合實際，可謂假情境。

案例4.【試題呈現(xiàn)】某水果店的原價為10元/斤的某種水果，在兩周內(nèi)經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元/斤，并且兩次降價的百分率相同。

（1）求該水果每次降價的百分率；

（2）從第一次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的售價、銷量及儲存和損耗費用相關(guān)信息如表所示。已知該水果的進價為4.1元/斤，設銷售該水果第x（天）的利潤為y（元），求y與x（1≤x＜15）的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時銷售利潤最大？

時間（天）售價（元/斤）銷量（斤）儲存和損耗費用（元）1≤x＜9第1次降價后的價格80-3x 40+3x 9≤x＜15第2次降價后的價格120-x 3x2-64x+400 x≥15

（3）在（2）的條件下，若要使第15天的利潤比（2）中最大利潤最多少127.5元，則第15天在第14天的價格基礎上最多可降多少元？

【評析與建議】就題目設置而言，表格中的銷量80-3x與120-x、儲存40+3x與損耗費用3x2-64x+400等是現(xiàn)實問題嗎？北京卷“情境真實、真正考查數(shù)學化能力”的特點就比較突出，可供廣大命題者借鑒。

3.問題解決不是真探究。

“真探究”是提供真實的思維環(huán)境，讓學生自主思考如何探究。一些中考試題人為設置好探究的路徑，學生所謂的探究，只是按照試題的路徑依樣畫葫蘆，沒有自主的、獨立的思維。

案例5.【試題呈現(xiàn)】綜合與實踐

【背景閱讀】早在三千多年前，我國周朝數(shù)學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”。它被記載于我國古代著名數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中。為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3∶4∶5的三角形稱為（3，4，5）型三角形。例如：三邊長分別為9、12、15或3 2、4 2 、5 2 的三角形就是（3，4，5）型三角形。用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形。

【實踐操作】如圖3-①，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm。

圖3

第一步：如圖3-②，將圖3-①中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平。

第二步：如圖3-③，將圖3-②中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF。

第三步：如圖3-④，將圖3-③中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點N，然后展平。

【問題解決】（1）請在圖3-②中證明四邊形AEFD是正方形。

（2）請在圖3-④中判斷NF與ND′的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。

（3）請在圖3-④中證明△AEN是（3，4，5）型三角形。

【探索發(fā)現(xiàn)】（4）在不添加字母的情況下，圖3-④中還有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱。

【評析與建議】試題“實踐操作”環(huán)節(jié)，讓學生按照指定步驟進行操作，進而對操作得到的圖形進行判定與性質(zhì)的探究，似乎是在落實課程標準。然而，當學生作為一個自然人，面臨一個真實情境時，這些探究路徑與步驟需要自己摸索，沒有誰預先設計好探究路徑，所以筆者認為這類探究題是“偽探究”。《課標（2011年版）》指出：“動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數(shù)學的重要方式。學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！边@個過程應該體現(xiàn)在平時的教學活動中。初學階段給出探究路徑、步驟，為學生搭建腳手架；在學生掌握了操作探究的基本方法后逐步“放手”，給出問題情境，讓學生自己去思考、自己設計探究的方案。而操作探究類中考壓軸題則應該提供開放的情境，給學生自主探究、解決問題的機會。

三、關(guān)注學科內(nèi)涵，指向考查內(nèi)容的本質(zhì)

筆者對2017年全國90份中考數(shù)學試卷進行了統(tǒng)計，在每份試卷最后兩題共180道試題中，與函數(shù)有關(guān)的試題共101題，以二次函數(shù)為背景的試題共76題，其中，純函數(shù)的試題有10題，函數(shù)的實際應用有6題，其余都是“函數(shù)+圖形”類試題，占以二次函數(shù)為背景的試題數(shù)的79%。“不少所謂的函數(shù)試題，函數(shù)只是背景，實質(zhì)還是圖形變換與幾何計算，很少真正涉及函數(shù)知識與本質(zhì)，筆者稱之為‘偽函數(shù)’題?！保?］

【評析與建議】客觀地說，初中階段是從形象思維向抽象思維過渡的階段，從學生認知能力來看，考查與圖形有關(guān)的試題以及知識、方法的綜合運用與遷移能力無可厚非。但數(shù)學最終指向抽象，中考承擔著為高一級學校選拔生源的功能，因此，中考壓軸題的命制，還是要在關(guān)注學科內(nèi)涵、指向考查內(nèi)容的本質(zhì)上下點功夫。

四、力求關(guān)聯(lián)性與層次性，減少拼湊痕跡

好的試題一定是和諧、協(xié)調(diào)的，給人以美感，然而一些試題存在人為拼湊的痕跡。

1.內(nèi)容缺乏關(guān)聯(lián)，試題效度不高。

案例6.【試題呈現(xiàn)】下列命題中為假命題的是（ ）。

A.正六邊形的外角和等于360°

B.位似圖形必定相似

C.樣本方差越大，數(shù)據(jù)波動越小

D.方程x2+x+1=0無實數(shù)根

【評析與建議】從試題看，該題將毫不相干的內(nèi)容作為選擇支拼湊在一起，沒有知識關(guān)聯(lián)，也沒有邏輯關(guān)聯(lián)。那么試題究竟想考查什么？如果學生錯了，錯在哪里？是什么原因致錯？無從知曉。建議編制試題時適當考慮內(nèi)容的指向性，提高試題的效度。

2.問題缺乏遞進，方法鋪墊較少。

案例7.【試題呈現(xiàn)】已知拋物線C1的頂點為A（－1，4），與y軸的交點為D（0，3）。

（1）求C1的解析式；

（2）若直線l1∶y=x+m與C1僅有唯一的交點，求m的值；

（3）若拋物線C1關(guān)于y軸對稱的拋物線記作C2，平行于x軸的直線記作l2∶y=n。試結(jié)合圖形（圖4）回答：當n為何值時，l2與C1和C2共有：①兩個交點；②三個交點；③四個交點；

（4）若C2與x軸正半軸交點記作B，試在x軸上求點P，使△PAB為等腰三角形。

圖4

【評析與建議】該題具有較好的問題背景，但問題（3）考查數(shù)形結(jié)合與圖形直觀，問題（4）是根據(jù)條件列方程求待定字母的值，盡管都用到分類討論，但思考方向迥異、解題方法不同，兩小題間既無結(jié)論的遞進關(guān)系，也沒有方法的鋪墊，有拼湊之疑。一道好的試題，問題與題干之間、問題與問題之間，無論是內(nèi)容還是結(jié)構(gòu)都要具有良好的邏輯關(guān)系，凸顯關(guān)聯(lián)性、層次性和發(fā)展性。

五、堅持原創(chuàng)性，讓壓軸題具有強大的生命力

壓軸題是一卷之魂。一方面，壓軸題起著區(qū)分的作用；另一方面，壓軸題是教師、學生、學生家長和社會的關(guān)注焦點。所以，原創(chuàng)性應該作為壓軸題的基本要求。但一些壓軸題有明顯的由陳舊中考題改編的痕跡，個別地區(qū)的壓軸題與上一年其他地區(qū)中考原題高度雷同。

案例8.【試題呈現(xiàn)】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC。

（1）如圖5-①，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）如圖5-②，若點P是線段AB的中點，連接AC，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

（3）如圖5-③，若點P在線段AB上，連接AC，當EP平分∠AEC時，設AB=a，BP=b，求a∶b及∠AEC的度數(shù)。

圖5

【評析與建議】該題與江蘇泰州2016年卷第25題幾乎相同。比較兩題發(fā)現(xiàn)，除了文字少數(shù)微調(diào)、對圖5-③增加了“連接線段AC”外，整個試題從圖形到條件、結(jié)論與2016年泰州題幾乎完全相同。中考試卷承載著為高一級學校選拔生源的重任，壓軸題只有堅持原創(chuàng)，才能夠確保評價的客觀、公平與公正，才能具有強大的生命力。

六、控制題量與閱讀量，留給學生思考時間

史寧中先生在談到數(shù)學教育中的數(shù)學核心素養(yǎng)時指出：“數(shù)學是需要思考的，不能單純通過解題速度的快慢來評價一個學生學習的好壞?！保?］這里就涉及一份試卷的題量和閱讀量的問題。

1.控制試卷總題量。

從試卷分析來看，各地試卷總題量沒有統(tǒng)一標準，多的如北京卷共29題42小題，少的如山東日照卷共22題30小題?？傤}量多少為宜？還要看試題的難度與考查目的。從初中生角度來說，考試時間在2個小時內(nèi)，題量應控制在26大題36小題內(nèi)為宜。

2.控制閱讀量。

《課標（2011年版）》對數(shù)學閱讀的教學與評價提出要求。在教學中，“對于學有余力并對數(shù)學有興趣的學生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學才能”。在評價中，“根據(jù)評價的目的合理地設計試題的類型，有效地發(fā)揮各種類型題目的功能。例如，為考查學生從具體情境中獲取信息的能力，可以設計閱讀分析的問題”。

但有些試題的閱讀量太大，不利于學生對問題本質(zhì)的思考。如山東某卷第23題僅文字就達713個，還有幾個圖形、公式等，學生要結(jié)合等式和圖形閱讀，閱讀量偏大，在有限的時間內(nèi)完成解答比較困難。該市近幾年都考查了閱讀理解，閱讀量都比較大，2009年試題超過1000字，2015年“小棒搭三角形”問題有707個字，2016年“矩形分割”問題有719個字。

【評析與建議】此類試題立意與目標較好，無須復雜運算、推理和書寫過程，只要靜心閱讀、理解題意，運用數(shù)學學習經(jīng)驗就能順利完成答題。但中考側(cè)重對學習結(jié)果的評價，而數(shù)學閱讀是一種學習過程，因此中考試題要把握好閱讀量，力求試題簡約，讓學生有足夠的時間思考，體現(xiàn)對學生的人本關(guān)懷。史寧中先生就高中數(shù)學核心素養(yǎng)問題在回答記者提問時談到，“基于目前的狀況，希望在不增加題量的前提下，適當延長考試的時間?！盵5]這也是今后高考、中考命題的新導向。

寫在最后

命題是一項勞心勞力的工作，需要考慮的因素太多，因而要絞盡腦汁；命題又是一件遺憾的藝術(shù)，無論當初的預設多么美好，回頭再看，總還是能發(fā)現(xiàn)諸多不足。這也是筆者多年從事命題工作的體會。本文無意對他人挑剔與指責，旨在提醒自己，也與同行共勉：正是這種“勞心勞力”與“遺憾”，才體現(xiàn)命題工作的創(chuàng)造性與挑戰(zhàn)性，凸顯命題工作者的價值。我們只有不斷完善自我，精益求精，才能應對挑戰(zhàn)，讓命題工作具有更高的價值。

【參考文獻】

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［4］［5］史寧中，林玉慈，陶劍，郭民.關(guān)于高中數(shù)學教育中的數(shù)學核心素養(yǎng)［J］.課程·教材·教法，2017（4）：8-14.