初中數學課堂的“探”與“討”
——以專題“與圓有關的面積問題”教學設計為例

☉江蘇省蘇州學府中學校 謝東莉

筆者多年堅持在教學第一線，一直致力于研究以培養學生創新素質為目標的課堂教學新方法——“探討式”課堂教學設計法.

一、探討式課堂教學案例設計

【教學目標】

專題：與圓有關的面積問題.

【教學過程】

（一）復習圓中關于面積的計算公式

通過復習舊知，目的讓學生用已經具備的知識去探討歸納問題中的解決方法.

（二）課前熱身（學生自主思考，探究討論方法）

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，D是BC的中點，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉90°，得到△AB′D′，那么AD在平面上掃過的區域（圖1中陰影部分）的面積是（ ）.

（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為a，那么陰影部分的面積為（ ）.

（3）如圖3，以BC為直徑，在半徑為2且圓心角為90°的扇形內作半圓，交弦AB于點D，連接CD，則陰影部分的面積是（ ）.

圖1

圖2

圖3

問題：①你是如何解決這個問題的？用了什么方法？（直接用公式法、面積加減法、割補法）

②解決這類問題有哪些注意點？需要哪些公式？

設計思路：題目設計由直接求得結果到需要動腦筋思考，符合學生的認知.學生自己解決，并總結出每個題目解決方法：直接公式法、面積加減法、割補法.教師規范使用格式，就是規范學生幾何語言，一方面，訓練了學生的思維能力，另一方面，提高了解題能力.

（三）快速回答

（1）圖4中陰影部分的面積______.

（2）如圖5，陰影部分的面積為______.

（3）用代數式表示圖6中陰影部分面積為______.

（4）如圖7，正六邊形內接于半徑為1的圓，其中陰影部分的面積為______.

（5）如圖8，兩同心圓，大圓半徑為3，小圓半徑為1，則陰影部分面積為______.

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

設計思路：通過一組練習，鞏固前面的方法，并要求學生能夠研討出解題的關鍵，運用轉化的思想把不熟悉的圖形轉化為熟悉的圖形，體現數形結合的思想.鞏固得到的方法，從而提高學生解題能力，進一步訓練學生的思維能力.

（四）典例精析

例1 如圖9，已知半圓的直徑AB=4cm，點C、D是這個半圓的三等分點，則弦AC、AD和弧CD圍成的陰影部分的面積為______cm2（值保留π）.

圖9

圖10

變式1：以上條件不變，把陰影部分中的點A移到直徑的延長線上（圖10），陰影部分的面積會發生變化嗎？

問題：（1）解決這個問題你用了什么方法？體現了哪種數學思想？（上升到了一定的理論高度，滲透了數學思想，從而體現了培養學生的思維素養）

（2）如果陰影部分的點A的位置變成了直徑上的一個動點，有一部分的面積會發生變化嗎？

變式2：（討論思考）如圖11，AB是⊙O的直徑，C是BA延長線上一點，CD切⊙O于D點，弦DE∥CB，Q是AB上一動點，CA=1，CD是⊙O半徑的倍.

圖11

圖12

（1）求⊙O的半徑R.

（2）當Q從A向B運動的過程中，圖中陰影部分的面積是否發生變化？若發生變化，請你說明理由；若不發生變化，請你求出陰影部分的面積.

設計思路：這是一組變式題，讓學生在探究中理解變中不變，掌握解題的真諦.學生在思考討論的過程中尋求解決變式問題基本方法，抓住變中不變.

（五）拓展延伸

拓展 如圖12，以△ABC的A邊AC為直徑的半圓交AB于點D，E三邊長a，b，c能使二次函數y=S1（c+a）x2-bx+（c-a）的頂點在x軸上，且a是方程z2+z-20=0的一個根.

（1）證明：∠ACB=90°；

（2）若b=2x，S弓形AED=S1，陰影部分面積為S2，求（S2-S1）與x的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，當b為何值時，（S2-S1）最大？

設計思路：探究的最終目的是讓學生的思維得到訓練，能力得到提升，這個題目的設計，正是體現了這一點.“探討”的目的是培養學生創新意識和創造能力.在數學的學習和研究過程中，知識的遷移、組合、融會的程度越高，展示能力的區域就越寬泛，顯現出的創造意識也就越強.讓學生獨立思考，自主探索，發揮主觀能動性，探究問題的本質，尋求合適的解題工具，梳理解題程序，為考生展現創新意識、發揮創造能力創設廣闊的空間.

二、教學立意的進一步闡釋

（1）我們現在用的是蘇科版教材，教材在呈現課程內容的時候，選擇那些蘊含了豐富的數學思想的知識，精心開展知識產生和發展的過程，并有意識地引導學生去探索，從而幫助學生更好地理解知識，感受思想.因此，我們立足于教材，并對教材進行居高臨下的剖析和重新組織，使之成為促進學生認知結構發展的相對完善的知識結構，用聯系、運動、變化的觀點去研究各知識點之間的轉化，展示給學生一個動態的知識“生長”過程，促進學生認知結構的形成和發展.

（2）因材實教、因人施教、注重過程教學.盡管創造力人皆有之，但不同人的思維素質的層次是不一樣的.創造力是構成人的智力的各種能力中最富有個性的一種能力，因此，不能按同一標準來要求所有學生進行同樣內容和同一層次的創新活動，而應根據學生的不同特點和基礎進行有針對性的教育.“探討式”課堂的教師，會根據學生的不同情況設置層次不同的問題，并根據學生的情況給予他答題.如果課堂研究的問題比較簡單，而基礎好的同學已經掌握，我們會適時地引導他們做更深層次的研究.

三、寫在最后

《基礎教育課程改革綱要》指出：“要改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調形成積極主動的學習態度，使獲得基礎知識與基本技能的過程同時成為學會學習和形成主體探究學習的過程.這就要求我們的課堂教學需要多種教學方法和教學形式有機結合，讓學生得到主體發展.”F