分類思想在人教版初中數學教材中的作用及其教學啟示

☉浙江省臺州市白云中學 張安軍

數學思想可以歸納為三種基本思想，即抽象、推理和模型.［1］分類可看作是數學抽象派生出來的一種重要的思想方法，分類思想在義務教育初中數學教材中有著廣泛的應用.發展和提升學生數學核心素養是數學教育的目的和歸宿，而數學思想是數學核心素養的重要體現，分類思想是學生在學習數學過程中經常遇到的思想方法之一.本文以人教版初中數學教材編寫為例，以分類思想的視角看教材的編排，挖掘教材中隱含的分類思想，教學中有機地融入分類思想，幫助學生形成分類思想，談一些思考.

一、“分類”的視角看教材的編排

分類這一數學思想在人教版初中數學教材中有著廣泛的滲透，從教材的知識結構，概念、法則、定理的形成過程，例題、習題的編排設計，我們都可以發現蘊含其中的分類思想.

1.“分類”是理解數學教材內容的關鍵一環

法國抽象數學的主角布爾巴基（Bour-baki）指出：“數學不是研究數量的，而是研究結構的.數學知識結構主要是指數學內容結構與數學方法結構，它不僅包括數學的基本概念和一般原理，而且還包括基本的數學方法、數學思想和數學觀念.”數學內容結構既指數學教材內容的編排結構——數學內容及其排列、組合方式，也指數學內容本身所固有的內在的邏輯結構.［2］數學教材是按照數學結構進行分類并展開學習，例如，初中數學內容把數學分成“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合實踐與應用”，其中“圖形與幾何”在人教版數學義務教科書中分成平面圖形和立體圖形，其中平面圖形可分成直線型和曲線型，直線型又按邊（線段）的條數進行分類，具體如圖1所示：

圖1

點是構成圖形的基本元素，點動成線，線分成直線型和曲線型，“圖形與幾何”的編排，從宏觀上以“線”為線索進行分類，從直線型到曲線型，從簡單的兩條直線的位置關系到多邊形.微觀上對于具體的幾何圖形首先是進行分類，然后再進行相關性質的探索，例如，三角形，首先對構成要素進行分類，頂點——邊——內角——三角形；其后三角形按邊的關系對三角形分成等腰三角形和三邊都不相等的三角形；按照角的大小，可以將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；三角形按構成的元素重要性可分成主要元素和相關要素，邊和角是構成三角形的主要元素，三角形的角平分線、中線、高是構成三角形的相關要素.

上述不僅“圖形與幾何”的編排滲透分類思想，“數與代數”、“統計與概率”也滲透分類思想，可以說分類滲透數學教材內容中的每一個環節，分類的方法可以確定一種研究這個結構的邏輯順序.理解教材是教好學生的其中一個前提，而分類的思想和方法是理解教材最好的切入點.

2.“分類”的眼光看概念、法則、定理形成和編排

在人教版初中數學教材中的概念、法則、定理等蘊含著豐富的分類思想.有的數學概念直接用分類的方法定義，如整數和分數統稱有理數，有理數和無理數統稱實數等.有的數學概念定義方式是種加屬差，例如矩形，教材中利用平行四邊形的不穩定性，當一組鄰邊的位置特殊化為垂直時，此時平行四邊形矩形；因此從具體的情境中先確認它是否平行四邊形，若為平行四邊形再確認它的一組鄰邊位置關系是否垂直，從兩個維度進行兩次分類，同樣正方形（菱形）從三個維度進行三次（二次）分類.又如，一元二次方程的概念，教材中先結合具體情境，列出一元二次方程，讓學生概括這些方程的共同特點，是否是方程，等號兩邊是否都是整式，方程中是否只含有一個未知數，未知數的最高次數是否為二次，從四個維度進行四次分類.其實人教版有大量概念蘊含著豐富的分類思想，從數學內在邏輯明晰概念的內涵和外延.

有理數加法法則在人教版的教材中是這樣引入的“引入負數后，除已有的正數與正數、正數與0相加外，還有負數與負數、負數與正數相加、負數與0相加等”.教材中把兩個有理數相加通過分類的方法，哪一類有理數相加是熟悉的，哪些是陌生，明確本節課要探究的目標，化陌生為熟悉.此外教材中換乘（除）法則、去括號法則等滲透著分類思想.

有些定理，通過對它們的分類，可以確定一種研究這個結構的邏輯順序，按類各個擊破，形成一個新方法來證明這個結構的結果，有時，某種結果就是通過分類來證明，例如，教材中的圓周角定理的證明，以圓心在圓周角的位置為標準分成三類，當圓心在圓周角的邊上、圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部，化繁為簡，各個擊破.又如，線段垂直平分線性質定理：“垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等”，在證明時，當垂直平分線上的點在這條線段的中點上和不在已知線段上兩種情形.

其實不僅在概念、法則、定理蘊含著分類思想，而且在一些內容安排上滲透著分類思想，例如，一次函數這一單元內容的安排上，以一次函數的解析式y=kx+b（k，b為常數且k≠0）中的b是否為0進行分類，當b＝0時為正比例函數，是一次函數的一種特殊情況；當b≠0時為一次函數的一般情形.

3.分類的眼光看教材局部和整體的和諧融合

數學分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想.分類是以比較為基礎的，通過比較，不僅能識別各對象之間的差異性，而且也能發現各對象之間的共性.分類的本質是把一個復雜對象按照一定的標準分成幾個部分，如果用集合語言表示，設某一對象的集合為M，按照對象的某一性質分為若干個子集M1，M2，…，Mn，使得：（1）M=M1∪M2∪…∪Mn；（不漏）（2）Mi∩Mj=?（i≠j，1≤i，j≤n）（不重）.那么M1，M2，…，Mn叫做M的一級分類.集合M中M1，M2，…，Mn雖在某一性質不相同，但在整體上它們都有共性.例如，初中的函數模型分為一次函數、二次函數和反比例函數，在函數的性質上雖不相同，但用整體的眼光，系統的視野下它們都存在共性，即通過引入變量，用變量之間的對應關系描述事物的變化過程，研究一個量變化時，另一個變量是如何變化的規律，從定性的刻畫到定理的描述.具體表現各章節中都是在具體情境中得到所要研究的函數對象，然后加以定義，畫出圖像、觀察圖像、獲得性質等認知過程，體會函數的直觀研究方法，掌握這幾類典型的函數模型的圖像性質，并能運用這些函數模型描述、研究具體函數的變化過程，進而解決問題.［3］從中發現教材以分類的視角能起到化繁為簡的作用，幫助我們更好地了解和認識事物，學生在對每一個部分的認識其實質恰好是從積累數學活動經驗到數學思想方法的提升，同時對各分類的綜合又能幫助學生形成整體的視野.

二、教學啟示

1.通過分類，有效地促成新、舊知識的網絡架構

學生的知識積累是漸進的，知識網絡是逐步擴展的.因此，在學習過程中都要及時引導學生進行知識的組織和整理，建立涵蓋新、舊知識的新的知識網絡.分類思想可以使數學知識條理化、系統化、結構化，有助于學生更好地掌握知識和形成良好的知識結構，例如，在“直線與圓的位置關系”一課教學時，可以通過分類線與線的位置關系這個視角引入新課，先回顧直線與直線的位置關系及分類標準是什么，然后提出線與線的位置關系除了直線型，是否還存在其他線與線的位置關系呢（線有直線和曲線，目前已學過的特殊封閉曲線就是圓）？這樣引入不僅自然，而且把將要學習的內容類比直線與直線的位置關系，從而構建新的知識網絡，如圖2所示.

圖2

同時，也可以在本節課的小結中通過與上一節“點與圓的位置關系”進行比較，并提出下一節課所要探討的學習主題，從而幫助學生進一步完善知識結構，既加強新、舊知識之間的聯系，又在原有的知識網絡中自然而合理地提出下一節課（三解形內切圓）所要探討的問題.

點和圓的位置關系 直線與圓的位置關系點在圓上?d=r 直線與圓相切?d=r點在圓外?d>r 直線與圓相離?d>r點在圓內?d

知識只有成了系統，才能被我們充分掌握.腦子里裝滿了片斷的毫無聯系的知識，那就像東西放得雜亂無章的倉庫一樣，連主人自己也無法從中找到他所需要的東西．不僅是新授課要有意識滲透分類思想，其實人教版每個章節的單元小結中，都滲透著分類思想，構建出本章的知識結構，把本章節知識形成了系統化.

2.通過分類，有效地促進概念、法則等理解

數學概念、法則、定理等是構成數學的基礎，在教學中不僅要關注結果，還要注重概念、法則等形成的過程.通過分類可以促進概念、法則、定理的理解.例如，在人教版八（上）“從分數到分式”這一課中，可以先通過對兩個整數（整式）進行四則運算，得到結果有整數和分數，對運算結果的分類整理如下表.

用整式a和a+3進行四則運算，它們的運算結果還是整式嗎？運算 加、減、乘法 除法 加、減、乘法 除法結果 整數 分數 整式 ？問題用整數2和5進行四則運算，它們的運算結果還是整數嗎？

通過比較，讓學生類比整數到分數，從數到式，兩個整式相除可以得到分式，分式的實質是兩個整式不能整除時，結果用分式表示，可見分式從形式上看類似于分數，都有分數線；從分式產生的角度看，是因為兩個整式進行除法.［4］這樣就幫助學生進一步明確整式和分式的概念.教材中有許多處都滲透分類思想，需要我們老師用心挖掘，并自覺地加以利用.為了方便起見，筆者統計了數與代數、幾何與圖形涉及分類思想的內容（不含習題和閱讀材料等欄目的內容）如下表.

數與代數 幾何與圖形有理數的概念，有理數的絕對值幾何圖形的分類（平面圖形、立體圖形）有理數加、乘、除法法則 從不同方向看立體圖形有理數的乘方，整式的概念，字母表示數取值分類，去括號法則直線段的分類，點和線段位置關系，角的分類（以角的始邊和終邊位置關系）象限分類，等式性質，不等式性質 直線與直線的位置關系數的平方根、立方根，實數的分類兩條直線被第三條直線所截構成角的分類同底數冪除法，因式分解方法分類三角形按邊分類，三角形按角分類分式、二次根式的概念及 a2全等三角形判定條件分類正比例函數性質和一次函數性質姨 的化簡等腰三角形腰和底角不確定性引起的分類一元二次方程概念、根的判別式直角三角形直角的不確定性引起分類二次函數的圖像及其性質的分類平行四邊形判定和性質定理，特殊平行四邊形分類反比例函數圖像及其性質圓弧的概念，圓的有關性質，圓周角定理三角函數的概念 點和圓的位置關系，直線和圓的位置關系

當然對于分類思想，這里面要講清兩個要點.首先，要明白為什么要分類，分類的原因是什么？教材中有的是為了條理化進行分類，例如，有理數的概念，由于引進了負數，數的地盤擴大，如何把倉庫里的有理數進行條理化、秩序化，此時對有理數進行分類；有的是為了區別需要分類，例如，三角形中按最大的角進行分類；有的是數學運算引起的分類，如運算中除數為不零；有的是圖形位置、形狀變化引起的分類，如直線與直線的位置關系；此外還有具體問題等原因引起的分類.其次，在分類時，要正確選擇分類的標準，分類的標準是將數學對象不重復、不遺漏的劃分.

3.通過分類，有效地提升知識關聯度和遷移能力

讓學生用相同或相似的方法做事，是深刻體會數學思想方法、積累數學活動經驗的有效途徑.用相同的方法做相同的事情，是復習；用相同的方法做不同的事，則是遷移.“通過分類活動，可以提升知識結構的關聯度和遷移度，促進學生有效積累數學活動經驗、提升數學方法.［3］”代數式分為整式、分式和二次根式，式與式之間雖有不同，但也有著相同性，這就是用代數運算加以表達的問題，這里的運算指的就是加、減、乘、除、乘方和開方，代數學的基礎就是運算律，用運算律可以有效地解決各種各樣的代數問題.用字母表示數，數的一般化就是式，數式通性，因此在“有理數”一章進行了系統的“數及其運算”的學習，初步建立了研究數系擴張、運算法則和運算律的“基本套路”，為后續學習奠定了代數的基本思想和基本方法的基礎.在數的擴充過程中：引入一種新的數，先研究它的運算；定義一種運算，就要研究它的運算律.這是代數學的基本思路.同樣教材中整式、分式和二次根式也是先具體代數式的概念（定義研究對象）——具體代數式的性質——具體代數式的運算（運算法則和運算律的應用），其中概念、性質是運算的基礎，在運算中自然地提出“如何算”，并運用運算律得到相應的運算法則，從而有效地、系統地進行各類代數式的運算.

其實不僅僅是代數式，例如，函數、幾何圖形等在研究上都有著共同的“基本套路”，例如，通過對函數的分類，可以分成一次函數、二次函數和反比例函數，雖然一次函數和反比例函數在性質上有所不同，但是它們在研究的內容、思路、方法和結果上有著相似性，這就是學生在學習過程中用相同的方法做不同的事情，又如，對幾何圖形中三角形的研究，教材的知識結構是三角形→等腰三角形→直角三角形，體現了從整體到局部，從一般到特殊，從課程的整體結構上、知識的內在邏輯上提出問題，引導學生面對一個幾何對象，從構成的主要元素和相關元素進行探索.［5］這里做不同的事情就是基本活動經驗，相同的方法就是數學的思想和方法，數學思想方法就是在基本活動經驗中累積和提升.

參考文獻：

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2.李昌官.試論數學教學的結構性原則［J］.課程·教材·教法，2002（5）.

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4.張安軍.從概念教學幾個片斷談概念教學立意的三個層次［J］.中國數學教育，2017（9）.

5.張安軍.著名特級教師和優秀青年教師“同課異構”的比較與啟示［J］.中學數學（下），2017（3）.F