整式乘法與因式分解的起承轉(zhuǎn)合

◎顏廷亮

學(xué)習(xí)并回顧整式乘法與因式分解的過程，就像我們逐步認(rèn)識(shí)、走近一位朋友的過程：相見之前的“起”——你是誰，初見的“承”——原來（果然）是你，加深認(rèn)識(shí)后的“轉(zhuǎn)”——究竟是怎樣的你，回想時(shí)的“合”——是這樣的你！

一、起——解題前要想

本單元首先學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，題型是整式乘法的運(yùn)算；緊接著學(xué)習(xí)了特殊的整式乘法——乘法公式，題型是乘法公式的考查；最后學(xué)習(xí)了對(duì)“單乘多”“多乘多”（包括乘法公式）的逆用——因式分解，題型應(yīng)該是因式分解及應(yīng)用.

二、承——找題時(shí)要全

例1 （2017·常州）先化簡，再求值：（x+2）（x-2）-x（x-1），其中x=-2.

【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、乘法公式.

【解】當(dāng)x=-2時(shí)，原式=x-4=-6.

變式1 （2015·內(nèi)江）（1）填空：（a-b）（a+b）=_______；（a-b）（a2+ab+b2）=_______；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=________.

（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=________（其中n為正整數(shù)，且n≥2）.

（3）利用（2）猜想的結(jié)論計(jì)算：29-28+27-…+23-22+2.

【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式、找規(guī)律.

【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；

（3）原式=［2-（-1）］［29+28×（-1）+27×（-1）2

例2 （2017·盤錦）下列從左到右的等式變形中，屬于因式分解的是（ ）.

A.x2+2x-1=（x-1）2

B.（a+b）（a-b）=a2-b2

C.x2+4x+4=（x+2）2

D.ax2-a=a（x2-1）

【考點(diǎn)】因式分解的意義.

【解】因式分解的要求是“和化積”，且要求分解完全，所以選C.

例3 （2017·蘇州）分解因式：4a2-4a+1=________.

【考點(diǎn)】用公式法因式分解.

【解】（2a-1）2.

三、轉(zhuǎn)——解題時(shí)要思

經(jīng)歷“相識(shí)”之后，我們加深了解，達(dá)到“相知”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也應(yīng)該經(jīng)歷量變到質(zhì)變的過程，透過現(xiàn)象看本質(zhì).首先乘法公式的圖形解釋，讓我們知道在解決問題的時(shí)候，往往要“數(shù)形結(jié)合”；其次，學(xué)以致用，我們經(jīng)歷了從一般到特殊，再到因式分解的逆用，可以用所學(xué)知識(shí)來解決許多問題.

例4 （2017·寧夏）如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的矩形.根據(jù)圖形的變化過程寫出一個(gè)正確的等式是（ ）.

A.（a-b）2=a2-2ab+b2

B.a（a-b）=a2-ab

C.（a-b）2=a2-b2

D.a2-b2=（a+b）（a-b）

【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景.

【解】第一個(gè)圖形陰影部分的面積是a2-b2，第二個(gè)圖形的面積是（a+b）（a-b）.則a2-b2=（a+b）（a-b）.故選D.

變式 （2013·常州）有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a、b（b＞a）的矩形紙片，5張邊長為b的正方形紙片，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為（ ）.

A.a+b B.2a+b C.3a+b D.a+2b

【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景.

【解】3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，

∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴拼成的正方形的邊長最長可以為（a+2b），正確答案為D.

例5 用簡便方法計(jì)算20042-4008×2005+20052.

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【解】原式（2004-2005）2=1.

變式1 （2016·宜昌）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：昌、愛、我、宜、游、美，現(xiàn)將（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（ ）.

A.我愛美 B.宜昌游

C.我愛宜昌 D.美我宜昌

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【解】原式=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）·（a+b）（a-b），所以選C.

變式2 （2017·河北）設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)的中間一個(gè)為n，寫出它們的平方和，并說明是5的倍數(shù).

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【解】（n-2）2+（n-1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2=

5n2+10=5（n2+2），又n是整數(shù)，所以5個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和是5的倍數(shù).

四、合——解題后要?dú)w

回顧我們和整式乘法與因式分解的“相識(shí)”“相知”，我們還要學(xué)會(huì)總結(jié)，一是對(duì)知識(shí)發(fā)展的過程多多回顧，二是對(duì)題型的歸納要完整，三是對(duì)能夠鍛煉我們思維的東西要足夠重視，四是做好易錯(cuò)題的總結(jié).