指標及權重均為混合數據類型的廣義灰靶決策方法

馬金山

（河南理工大學 能源科學與工程學院，河南 焦作 454000）

0 引言

自鄧聚龍提出灰靶決策方法以來[1]，許多學者對其進行了研究改進。隨著決策理論與方法研究的深入，決策方案的指標值也由單純的實數值拓展為混合屬性指標值。混合屬性灰靶決策方法也隨之產生，這進一步增強了該方法的適用性。灰靶決策方法的核心是求各決策方案對于靶心的靶心距，并以靶心距作為各方案優劣決策的依據。決策方案指標值為確定性實數的灰靶決策方法其對靶心距的獲取主要是采用距離法，如采用歐氏距離法或馬氏距離法[2,3]。而混合屬性灰靶決策方法對靶心距的獲取可以分為兩類：一類是采用距離的方法進行處理，主要是采用歐氏距離，也包括基于距離的變形方法求靶心距[4-9]；另一類是采用向量的方法進行處理，這稱為混合屬性廣義灰靶決策方法[10,11]。廣義灰靶決策方法是基于傳統的灰靶決策方法，在遵循其基本原理不變的基礎上提出的一種方法，其基本的計算過程與傳統方法有所不同[10-12]。以向量為基礎的混合屬性廣義灰靶決策方法，由于所采用的微小向量考慮了不確定數的不確定性信息，且在運算過程中信息的失真較少所以比前者更優。已有的混合屬性廣義灰靶決策方法所涉及的各指標權重值均為確定性的實數，不存在用不確定性數表示的權重。但當各指標屬性的權重含有不確定數表示的混合權重值時則更為復雜，主要體現在：一是權重數據本身含有的不確定性增加了決策的不確定性；二是如何將不確定性的權重值與各指標值進行綜合集成；三是如何使得均存在不確定性的權重和指標值在運算時信息失真少，決策結果更符合實際。

為此，對指標及權重均為混合數據類型（本文僅考慮實數、區間數、三角模糊數及梯形模糊數）的廣義灰靶決策方法進行研究。本文以二元聯系數向量為基礎，分別求各決策方案指標向量與靶心指標向量的接近度并經歸一化，待求出確定化后的權重再進行各單指標接近度的集成；而混合數據值的權重則統一轉化為二元聯系數向量后進行求模運算，并經歸一化后作為各指標的確定性權重。然后將確定化后的權重數據與已經求得的各單指標的規范化接近度進行集成，以綜合接近度進行最終的排序決策。

1 基本理論

定義1：記R為實數域，稱x?為一個模糊數，則[xL，分別為模糊數的區間數、三角模糊數和梯形模糊數的表現形式，其參數xL，xM，滿足

定義2：記R為實數域，稱A+Bi為二元聯系數，其中A，B∈R，i∈[-1,1]，A表示確定的項，B表示不確定的項，i是一個變動的項，它的存在統一了模糊數的確定和不確定性。

定義3：設xˉ和v分別是x?的p（p≥2）個參數值的平均值和偏差值，則稱：

為x?的p個參數的均值-偏差值聯系數，簡稱均值-偏差值聯系數。其中xˉ，S，ms以及v分別由式（2）至式（5）得到：

式（2）至式（5）中均值xˉ可以看作是關于x?的p（p≥2）個參數的相對確定性（集中性）的測度，標準差S或最大極差ms是關于x?的p個參數的相對不確定性（離散性）的測度，可以取其最小值代表x?的不確定性部分，記為v，稱為偏差值[10,15]。

定義4：均值-偏差值聯系數u(xˉ，v)中的均值xˉ和偏差值v的相互作用則可以反映到基于集對分析的二維確定-不確定空間（Determinacy-uncertainty，簡稱D-U空間）。當u(xˉ，v)=xˉ+vi表示D-U空間的向量時，“i”僅代表該項是不確定分量的符號，不再代表取值的變化[13,14]。

圖1是二維確定-不確定空間的示意圖，其中xˉ為確定性度量，v為不確定性度量，其中r是向量u(xˉ，v)的模，即有

圖1 確定-不確定空間[15]

2 決策方法

2.1 指標及權重均為混合數據類型的廣義灰靶決策難點

指標及權重均為混合數據類型的廣義灰靶決策的難點在于：一是不同類型的權重數值無法直接進行集成以獲得綜合的接近度；二是簡單地將不同類型的數據轉化為確定性的權重則容易產生較大的誤差，如僅取模糊數的參數的均值代表模糊數則容易造成信息的失真而影響決策的精度；三是如何采用一種統一、簡單的方法實現含有不確定性權重值融入綜合的接近度。因此指標權重為混合屬性值的wt(t=1，2，…，m)包含了不確定性的內容。其中wt可以為實數或模糊數，當其取值為模糊數時，其可為區間數、三角模糊數或者梯形模糊數形式，即有：

此時一般有下面的關系式成立：

2.2 指標及權重均為混合數據類型的廣義灰靶決策方法的求解思路

結合已有的研究，擬以二元聯系數作為混合屬性廣義灰靶決策方法的基礎，求解思路見圖2所示。

圖2求解思路

2.3 指標及權重均為混合數據類型的廣義灰靶決策方法的決策步驟[10]

2.3.1 所有方案指標及權重數據均轉化為二元聯系數向量

采用前述的公式（1）至公式（5）將不同類型的數據值的指標及權重統一轉換為二元A+Bi的聯系數形式，并認為每個聯系數是二維確定-不確定空間中的向量。其中實數認為是二元聯系數中的確定項為該數值本身，不確定項為0，即為A+0i的形式。設轉化后的各指標向量為Ust=Ast+Bsti(s=1，2，…，n;t=1，2，…，m)。

2.3.2 求出各指標屬性的靶心指標向量

確定了各屬性下各方案指標的向量Ust=Ast+Bsti(s=1,2，…，n;t=1，2，…，m)，則可以確定決策方案各指標屬性的灰靶靶心，見式（8）。

上述公式表明，對于效益型指標，即求指標向量模的值最大對應的指標向量為靶心，當有幾個向量的模相等時，選擇不確定性小的指標向量作為靶心；成本型指標即求向量模的值最小對應的向量為靶心，當有幾個向量的模相等時，則選擇不確定性小的指標向量為靶心。

2.3.3 決策方案各單指標接近度的求解

定義5：設rst為基準指標向量Yst的模，pst為指標向量Xst在Yst上的投影，則：

為投影值pst與基準指標向量Yst的模rst的距離，稱為接近度，pst和rst的計算公式可參考文獻[10]。

2.3.4 各屬性下單指標接近度的歸一化處理

前面所求出的各方案的各屬性指標向量與靶心指標向量的接近度彼此是不同的，屬性之間不具有可比性，因此，這里需要針對各個屬性下的單指標接近度（廣義靶心距）dst進行歸一化。歸一化的接近度zst的計算公式見（10）。

2.3.5 求各指標屬性的確定性權重

（1）計算各屬性權重的聯系數向量的模

已經確定了各個指標屬性的指標權重向量，則可以計算各指標權重向量的模。這里實際上是將各混合數據類型的指標權重的二元聯系數向量的模視為確定性的權重的代表值。因為所有的權重二元聯系數向量是在同一D-U空間內，而其模則代表了其各自在該空間中的重要性大小，故此可以認為各權重聯系數向量的模可以代表其確定的權重。而該確定性權重同時包含了不確定數的確定性和不確定性部分。

（2）指標權重向量模的歸一化處理

前述步驟所求出的各指標屬性的權重模未經規范化，與通常意義上的各指標權重有所差異。為此，對步驟（1）求出的權重數據運用公式（10）進行歸一化處理，得到通常意義下的權重值。

2.3.6 求得各決策方案加權的綜合接近度

已經獲得各個指標屬性的權重，那么可以求出各個方案的綜合接近度，即：

根據NEs的值由小到大的順序進行排序，即可得到各決策方案的優劣。

3 算例分析

3.1 數據來源

對戰術導彈進行評估，采用6個指標分別是命中精度（km）、彈頭載荷（kg）、機動性能（km.h-1）、價格（106g）、可靠性和可維護性，分別用A1至A6表示[8]。其中A1和A4為成本型指標，其余為效益型指標。4個方案分別用S1至S4示，數據見表1所示。

表1 各方案的指標值

3.2 決策過程

（1）計算各決策方案各指標的二元聯系數參數

由表1中數據采用公式（2）至公式（5）可以求出各指標的用于二元聯系數計算的參數見表2。

表2 均值、標準差和最大偏差

（2）將所有方案的指標均轉化為二元聯系數

根據公式（1）至公式（5），基于表2數據將表1所示的各指標值轉化為聯系數向量的形式見表3。

表3 轉化后的各指標二元聯系數向量

（3）求各指標屬性的單指標靶心向量

由于A1和A4為成本型指標，而其余為效益型指標，根據公式（8）可以得到各指標屬性的靶心向量為：C0=（1.8+0i 540+0i 55+5i 4.7+0.5i 0.7+0.1i 0.9+0.1i）

（4）求各單指標的接近度

采用公式（9）和公式（10）可以求得各決策方案各指標向量與靶心指標向量的單指標歸一化接近度見表4所示。

表4 各單指標的標準化接近度

（5）混合數據類型指標權重的確定化

設給定各個指標屬性的不確定性權重分別為:W=（[0.16 0.18 0.2]，[0.18 0.2 0.22]，0.1，[0.18 0.2 0.22 0.24]，[0.14 0.18]，[0.12 0.16]），其中不確定數表示的權重的數據的參數下限值的和為小于或等于1，而上限的參數值的和為大于或等于1。

首先，要計算各個混合數據類型權重的參數見下頁表5所示。

其次，將各權重表示為二元聯系數向量的形式如下頁表6所示。

表5 所有指標權重參數的均值、標準差和最大偏差

表6 指標權重的二元聯系數向量

然后，求出各個指標權重向量的模見表7。

表7 指標權重的二元聯系數向量的模

采用公式（10），可以對各指標權重的模進行歸一化處理即可得到通常意義下的各確定的指標權重W=（0.1818，0.2017，0.1004，0.2124，0.1618，0.1419）。

（6）獲得綜合接近度并進行決策

運用公式（11），采用確定化的權重 W=（0.1818，0.2017，0.1004，0.2124，0.1618，0.1419）可得到各決策方案綜合加權的接近度為：INE=（0.2023，0.2928，0.2354，0.2695）。

根據綜合接近度越小越優的原則，可以得到各決策方案的排序為：S1? S3? S4? S2。

4 結論

本文得到了如下結論：

（1）將混合屬性廣義灰靶決策方法的權重由確定性的實數擴展為含有不確定模糊數的混合數據類型，進一步增強了其適用性。

（2）基于二元聯系數向量分別對混合數據類型的指標和權重進行處理，待求出各決策方案歸一化單指標接近度及確定化權重后再進行決策方案的集成，具有決策思路清晰、計算方法統一、簡便的優點。

（3）以混合數據類型權重的二元聯系數向量的模作為其確定化權重的方法考慮了模糊數的確定性和不確定性方面具有信息失真少、決策準確的特點，但仍有進一步探討的余地。

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