引入地理回歸加權(quán)的非參數(shù)平滑改進(jìn)的非壽險(xiǎn)廣義線性模型

閆 春，董婷婷，邱藝偉，劉 倩

（山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590）

0 引言

未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估模型的平滑化研究始于上世紀(jì)70年代，早期指的是進(jìn)展因子的平滑處理，后來(lái)由于隨機(jī)模型框架的建立，又產(chǎn)生了模型參數(shù)的平滑與非參數(shù)平滑方法的研究。90年代，廣義線性模型被引入到精算領(lǐng)域，在非壽險(xiǎn)費(fèi)率厘定與準(zhǔn)備金估計(jì)方面都有廣泛的應(yīng)用。隨著研究的不斷深入，廣義線性模型在其應(yīng)用中也得到不斷改進(jìn)。

在準(zhǔn)備金評(píng)估方法中的隨機(jī)方法中，廣義線性模型應(yīng)用廣泛，且相對(duì)能夠較好的適用于實(shí)際的非壽險(xiǎn)評(píng)估中。但廣義線性模型存在著一些不足，在相當(dāng)多的實(shí)際案例中，其參數(shù)模型并不能夠充分的描述索賠數(shù)據(jù)。因此，本文將非參數(shù)引入廣義線性模型，通過(guò)多種平滑方法，將事故年和進(jìn)展年抽象為位置數(shù)據(jù)融入到廣義線性可加模型中，是將非參數(shù)方法與準(zhǔn)備金評(píng)估方法的一次結(jié)合，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)GLM準(zhǔn)備金評(píng)估模型的非參數(shù)平滑改進(jìn)。

1 廣義線性模型介紹

廣義線性模型（GAM）最早由Nelder和Wedderbum在1972年提出，是對(duì)線性回歸模型的推廣。GLM涵蓋了一大類(lèi)統(tǒng)計(jì)模型，不僅包括經(jīng)典的線性回歸模型和方差分析模型，還包括對(duì)數(shù)線性模型、泊松回歸模型、Logistic和Probit模型及多分類(lèi)反應(yīng)變量模型等。廣義線性模型可以有效處理各類(lèi)離散型的觀測(cè)數(shù)據(jù)，在生物醫(yī)學(xué)、社會(huì)調(diào)查和工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)估領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

1.1 廣義線性模型理論

廣義線性模型有三個(gè)組成部分：隨機(jī)部分、系統(tǒng)部分和聯(lián)結(jié)函數(shù)。

隨機(jī)部分。屬于指數(shù)分布族的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量yi，密度函數(shù)為：

其中θi和φ為參數(shù)，b和c為函數(shù)。yi的期望為μi，方差為均值的函數(shù)，即有θb′(θi)。其中b′(θ)和b′(θ)分別表示函數(shù)b的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

系統(tǒng)部分。假設(shè)x1，x2，…，xp為對(duì)應(yīng)于y1，y2，…，yn的p維自變量的值，存在某線性預(yù)估量η，是參數(shù)β1，β2，…，βp的線性函數(shù)，有：

聯(lián)結(jié)函數(shù)。聯(lián)結(jié)函數(shù)是指觀測(cè)值xi與指數(shù)散布族的期望μi之間的函數(shù)關(guān)系。隨機(jī)部分和系統(tǒng)部分通過(guò)ηi=g(μi)連接在一起，g(·)稱(chēng)為聯(lián)結(jié)函數(shù)。容易得到：

其中，β為未知實(shí)參數(shù)表示第i個(gè)觀測(cè)向量。

1.2 常見(jiàn)的指數(shù)型分布

前面提到，廣義線性模型的隨機(jī)部分屬于指數(shù)型分布。常見(jiàn)的指數(shù)型分布有正態(tài)分布N(μ，σ2)、二項(xiàng)分布B(1，p)、泊松分布P(λ)、伽瑪分布 Γ（μ，γ）和逆高斯分布IG(μ，σ2)等。這些分布如表1所示。

表1 指數(shù)型分布的幾個(gè)例子

1.3 準(zhǔn)備金評(píng)估的廣義線性模型

在準(zhǔn)備金評(píng)估的廣義線性模型中，觀測(cè)值通常是已知的賠案數(shù)據(jù)，此時(shí)的賠案數(shù)據(jù)稱(chēng)為反應(yīng)變量。反應(yīng)變量不同，模型也不同，如對(duì)案均賠款、索賠次數(shù)分別建模的兩階段廣義線性模型和對(duì)增量已決賠款、增量已報(bào)案賠款分別建模的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展模型。本文僅討論對(duì)已決賠款建立的廣義線性模型。

觀測(cè)值Xi，j的分布可以由數(shù)據(jù)樣本分析得出，也可以由精算人員假定。精算人員通常在不同分布假設(shè)下分別建立不同的模型，再其對(duì)樣本的擬合效果結(jié)合實(shí)際進(jìn)行選擇。

聯(lián)結(jié)函數(shù)一般采用對(duì)數(shù)聯(lián)結(jié)，見(jiàn)England(2001)。此時(shí)未決賠款準(zhǔn)備金廣義線性模型為：

模型假設(shè)增量已決賠款Xi，j屬于指數(shù)分布族，mij為Xi，j的均值，方差函數(shù)為散度參數(shù)。p=0，1， 2， 3 時(shí)Xi，j分別對(duì)應(yīng)為正態(tài)分布、Poisson分布、Gamma分布和逆高斯分布。

在準(zhǔn)備金評(píng)估的廣義線性模型中，考慮不同的影響因素，線性估計(jì)量ηij也不同，主要有：

在模型求解時(shí)，不妨建立約束條件α1=β1=γ2=0，以保證參數(shù)估計(jì)的唯一性。在余下的模型參數(shù)中需要估計(jì)的變量數(shù)為3t-2個(gè)。由統(tǒng)計(jì)軟件得到各參數(shù)的估計(jì)值計(jì)算得到m?ij，則可求得準(zhǔn)備金的估計(jì)值。隨機(jī)部分是根據(jù)線性估計(jì)量選定的設(shè)計(jì)矩陣。

2 非參數(shù)平滑改進(jìn)廣義線性模型

2.1 廣義可加模型

在相當(dāng)多的實(shí)際案例中，參數(shù)模型并不能夠充分的描述索賠數(shù)據(jù)，因此非參數(shù)模型就被應(yīng)用到了索賠數(shù)據(jù)的評(píng)估中。通常將這種在傳統(tǒng)廣義線性模型中引入非參數(shù)部分的模型叫做廣義可加模型（GAM）。

這種非參數(shù)模型與廣義線性模型有著密切的聯(lián)系，但GAM改變了傳統(tǒng)GLM的線性預(yù)估量。對(duì)于模型（5）和（7），即不考慮通脹因素，GAM的預(yù)估量可以寫(xiě)為：

其中sθi(i)是與事故年有關(guān)的連續(xù)變量，sθj(j)是與進(jìn)展年有關(guān)的連續(xù)變量，θ是由精算人員確定的平滑因子。

GAM的預(yù)估量可以通過(guò)局部加權(quán)回歸平滑(LOESS)、平滑樣條函數(shù)或者核光滑來(lái)創(chuàng)建。三次平滑樣條可以通過(guò)最小化懲罰殘差的平方和來(lái)得到：

在該模型中，平滑參數(shù)θ取值越大，模型的方差就越小，但偏差會(huì)增加。若θ接近于零，函數(shù)完全擬合每個(gè)點(diǎn)，模型更像鏈梯估計(jì)。若θ接近無(wú)窮大，模型趨于線性，因此更像GLM。

sθ的LOESS估計(jì)能夠通過(guò)以下算法計(jì)算：

（1）定義N(x0)為區(qū)間(x0-k，x0+k)上數(shù)據(jù)的集合。

（3）對(duì)N(x0)中的每個(gè)點(diǎn)計(jì)算權(quán)重wi，有：

其中T為三次權(quán)函數(shù)：

（4）用權(quán)重{w1，w2，…，wm}作Y對(duì)N(x0)中X的回歸。

當(dāng)誤差服從非正態(tài)分布并且來(lái)自于一個(gè)指數(shù)類(lèi)，可以適用上述帶加權(quán)的公式。此外，GAM要求各列損失的和大于或等于零，如果不能滿(mǎn)足，可以添加常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。

模型的預(yù)估量由一個(gè)參數(shù)組合和一個(gè)非參數(shù)的函數(shù)組成：

其中，p為預(yù)估量的個(gè)數(shù)，r為預(yù)估量參數(shù)的個(gè)數(shù)。

2.2 GWR理論與位置加權(quán)廣義線性模型

在對(duì)有關(guān)位置的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，傳統(tǒng)的線性回歸模型是全局的空間回歸模型，通常假定模型參數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的位置無(wú)關(guān)，那么得到的回歸參數(shù)β?MLE既是該點(diǎn)的最優(yōu)估計(jì)，也是整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的最優(yōu)估計(jì)。然而在實(shí)際問(wèn)題中，回歸參數(shù)在不同位置上往往表現(xiàn)不同，回歸參數(shù)估計(jì)值就不能反映回歸參數(shù)的真實(shí)空間特征，也不能精確地探測(cè)研究對(duì)象在空間上的非平穩(wěn)性。

為了解決這一問(wèn)題，F(xiàn)oster&Gorr（1986）提出了空間變參數(shù)回歸模型，將數(shù)據(jù)的空間結(jié)構(gòu)嵌入到回歸模型中，使回歸參數(shù)變成有關(guān)觀測(cè)點(diǎn)地理位置的函數(shù)。Fortheringham等（1997）在此基礎(chǔ)上利用局部光滑的思想，提出了地理加權(quán)回歸模型（GWR）。對(duì)于全局的普通線性回歸模型：

GWR擴(kuò)展了傳統(tǒng)的回歸框架，引入了能夠估計(jì)每個(gè)樣本數(shù)據(jù)空間位置的參數(shù)值。有：

其中（ui，vi）表示位置i的坐標(biāo)。

這樣可以定義位置加權(quán)廣義線性回歸模型。設(shè)y1，y2，…，yn為因變量的n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)，概率密度函數(shù)為：

這樣，β（kui，vi）就是連續(xù)函數(shù)β（ku，v）在點(diǎn)i的值，從而參數(shù)值β（ku，v）表現(xiàn)為一個(gè)連續(xù)的空間平面。

2.3 GLM非參數(shù)平滑改進(jìn)模型

由GWR理論的思想，結(jié)合應(yīng)用非參數(shù)廣義線性模型評(píng)估準(zhǔn)備金的方法，對(duì)于模型（5）和模型（6）都可以由式（17）來(lái)假定評(píng)估模型的線性預(yù)估量。

對(duì)于最簡(jiǎn)單的模型（5），引入位置參數(shù)(u，v)，有：

對(duì)模型（6），有：

其中，wi為對(duì)角線參數(shù)。

由于位置加權(quán)廣義線性回歸模型中的回歸參數(shù)在每個(gè)數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)上都不同，因此其未知參數(shù)為n×(p+1)個(gè)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于觀測(cè)個(gè)數(shù)n，這樣就不能直接利用參數(shù)回歸估計(jì)其中的未知參數(shù)。Brunsdon等（1996）采用了一類(lèi)非參數(shù)光滑方法為該模型的擬合提供了一個(gè)可行的思路，即在局部多項(xiàng)式光滑的思想上提出了偏差和方差折衷的解題思路。假設(shè)回歸參數(shù)為一連續(xù)平面，以采樣點(diǎn)i和其鄰域采樣點(diǎn)上的觀測(cè)值構(gòu)成局域子樣，建立全局的線性回歸模型，然后采用最小二乘方法得到回歸參數(shù)估計(jì)。對(duì)于其它采樣點(diǎn)，采用另一個(gè)相應(yīng)的局域子樣來(lái)估計(jì)，以此類(lèi)推。

為了充分利用己有觀測(cè)值并減少子樣規(guī)模擴(kuò)大引起的偏差增加，后來(lái)Brunsdon又對(duì)這種方法進(jìn)行了修正。在估算采樣點(diǎn)i的回歸參數(shù)時(shí)，距離點(diǎn)i越近的觀測(cè)值重要性越大，越遠(yuǎn)的觀測(cè)值重要性越小，根據(jù)加權(quán)最小二乘方法（WLS），得到i點(diǎn)的回歸參數(shù)βi1，βi2，…，βip。根據(jù)上述思想，則第i點(diǎn)的回歸參數(shù)的估計(jì)方程為：

其中Wij(ui，vi)為位置 (ui，vi)的權(quán)重。解上述方程，矩陣形式表示的解為：

按上述方法逐點(diǎn)進(jìn)行回歸計(jì)算，得到所有點(diǎn)的回歸參數(shù)的估計(jì)值，不同采樣點(diǎn)上的估計(jì)值反映了對(duì)應(yīng)的變量間的關(guān)系在研究區(qū)域內(nèi)的變化情況。

3 實(shí)證分析

本文用來(lái)實(shí)證分析的賠款額增量數(shù)據(jù)見(jiàn)表2，最早出現(xiàn)于Taylor和Ashe（1983）中。

采用表2中算例，使用R軟件中Chain Ladder包中的glmReserve()函數(shù)，對(duì)模型（5）可以得到本文數(shù)據(jù)樣本下GLM的相關(guān)估計(jì)結(jié)果，見(jiàn)表3。此時(shí)假設(shè)反應(yīng)變量為過(guò)度分散泊松分布。表4為各參數(shù)估計(jì)表。

表2 賠款額增量流量三角形

表3 過(guò)度分散泊松分布GLM的計(jì)算結(jié)果

表4 參數(shù)估計(jì)表

表4顯示，從第6個(gè)進(jìn)展年開(kāi)始，有Pr(＞|t|)＞0.1。分別考慮從第6個(gè)進(jìn)展年參數(shù)開(kāi)始平滑與僅平滑最后三個(gè)進(jìn)展年，取本年及其前1、2個(gè)進(jìn)展年參數(shù)的權(quán)重分別為、和，遞歸計(jì)算，得到的IBNR評(píng)估對(duì)比結(jié)果如表5

所示。

表5 IBNR評(píng)估結(jié)果對(duì)比表

可見(jiàn)，平滑3個(gè)進(jìn)展年參數(shù)的IBNR評(píng)估結(jié)果每一年都比傳統(tǒng)的廣義線性模型評(píng)估結(jié)果多，總準(zhǔn)備金比其多5.25%。而平滑6個(gè)進(jìn)展年參數(shù)的GLM評(píng)估結(jié)果要比傳統(tǒng)模型多14.3%，這都在可以接受的誤差范圍之內(nèi)。且后者每一事故年的IBNR評(píng)估結(jié)果都比前者多。因此要靈活選取需要平滑的參數(shù)。

分別把(1,8)、(5,4)、(7,2)位置的已決賠款擴(kuò)大10倍，以此來(lái)分析有異常值存在的情況，評(píng)估結(jié)果見(jiàn)表6。

表6 準(zhǔn)備金評(píng)估結(jié)果對(duì)比表

通過(guò)分析引入異常點(diǎn)與引入前的準(zhǔn)備金評(píng)估結(jié)果殘差，可知該方法對(duì)實(shí)現(xiàn)尾部數(shù)據(jù)的平滑有一定的效果。

引入位置參數(shù)(u，v)，做位置加權(quán)的GAM平滑，事故年和進(jìn)展年分別產(chǎn)生的影響如圖1所示。

圖1 事故年和進(jìn)展年因素?cái)M合情況

參數(shù)u的p值為0.11，v的p值為2.45e-15，可見(jiàn)進(jìn)展年的影響已經(jīng)非常顯著。其中，位置加權(quán)的GAM增量賠款下三角估計(jì)值見(jiàn)表7。

可以得到，總準(zhǔn)備金估計(jì)值為18417168。對(duì)100個(gè)增量賠款數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖可以清晰地看到擬合以及預(yù)測(cè)情況。圖2中的誤差范圍顯示，模型能較好地平滑評(píng)估結(jié)果。

表7 增量賠款額下三角估計(jì)值

圖2 事故年和進(jìn)展年因素總擬合情況

4 結(jié)論

在準(zhǔn)備金評(píng)估方法中的隨機(jī)方法中，廣義線性模型應(yīng)用廣泛，且相對(duì)能夠較好地適用于實(shí)際的非壽險(xiǎn)評(píng)估中。但廣義線性模型存在著一些不足，在相當(dāng)多的實(shí)際案例中，其參數(shù)模型并不能夠充分的描述索賠數(shù)據(jù)。因此，本文將廣義線性模型和地理回歸加權(quán)模型結(jié)合，在廣義線性模型引入非參數(shù)，通過(guò)多種平滑方法，將事故年和進(jìn)展年抽象為位置數(shù)據(jù)融入到廣義線性可加模型中，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)GLM準(zhǔn)備金評(píng)估模型的非參數(shù)平滑改進(jìn)，并利用R軟件對(duì)其平滑性作出了實(shí)證。通過(guò)實(shí)證結(jié)果可以看出，本文引入地理回歸加權(quán)的非參數(shù)平滑改進(jìn)廣義線性模型能夠較好地平滑評(píng)估結(jié)果，且對(duì)實(shí)現(xiàn)尾部數(shù)據(jù)的平滑也有一定的效果。

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