MATLAB在模擬濾波器設計分析中的應用

北京林業大學理學院 王 浩 趙 睿 徐靜怡 周可欣 趙一寧 李冰琪

引言

模擬濾波器能有效地抑制頻帶噪聲,平衡各頻段的幅頻、相頻特性。因此,它在通信、控制、信號處理等領域發揮著重要的作用，被廣泛應用于通信、數據采集、控制等電子系統中。但實驗室中，在對儀器及系統測量過程中，市面上的模擬濾波器并不能很好地適用，因此許多情況下，用戶需要根據需求自己設計合適的濾波器。以此為需求，在MATLAB的GUIDE開發環境下，設計模擬濾波器的分析界面，借助MATLAB強大的計算與圖形工具幫助用戶對設計的濾波器特性進行分析，同時利用MATLAB編程計算電路參數，極大簡化了濾波器設計過程，減少了重新設計過程中繁瑣的步驟。

1.模擬濾波器分析界面設計基本內容

由于理想濾波器為物理不可實現系統，實際濾波器的頻率特性只能“逼近”理想濾波。且濾波器的幅頻響應在通帶內常出現波紋，阻帶內幅頻特性不能衰減到零，在通帶與阻帶之間存在過渡帶[1]。因此傳統人工設計模擬濾波器，首先根據技術指標包括濾波器的幅頻特性、相頻特性確定濾波器的系統函數H(s)，然后經過復雜計算設計出實際網絡來實現這一傳遞函數。雖然許多濾波器都有逼近函數，然而計算過程都極為繁瑣復雜。此外利用傳統方法設計高通、帶通、帶阻濾波器時，通常根據對高通、帶通、帶阻濾波器的特性指標要求,求出相應的低通原型的指標,然后再確定低通原型的系統函數H(s),依據一定變換關系得出其他通帶濾波器的傳遞函數。本文設計的模擬濾波器分析界面，通過MATLAB編程編寫相關回調函數，可有效避免上述問題，在模擬濾波器的設計和分析上有著簡單方便等優點，不僅可以作為研究設計模擬濾波器的輔助工具，還可作為相關課程的輔助教學軟件。該軟件具有以下特點：

具有數據輸入、修改、保存等功能，界面簡介明了，操作簡單，方便使用。

可以選擇多種類型的模擬濾波器，如巴特沃斯、切比雪夫I型，切比雪夫II型、橢圓型，還可以選擇低通、高通、帶通、帶阻四種通帶類型。

可以對相應的模擬濾波器的幅頻特性、相頻特性以及零極點進行分析，同時可得到濾波器的系統函數。

2.1 界面結構設計

在MATLAB圖形界面開發環境下，創建了主界面，并分成菜單區、濾波器參數設計區以及濾波器特性分析區三個部分，在每部分中分別編寫各個控件的回調函數，可以實現讀取數據、輸出結果等功能[2]。其中菜單區包括打開文件、退出、清除數據、運行等基本功能外，還增加了Circuit菜單，可以得到濾波器電路參數，幫助用戶進一步設計；以及增加了Compare Analysis(對比分析)菜單，使得用戶可以對多個濾波器特性進行同時分析；用戶也可選擇help(幫助)菜單，了解詳細的功能介紹。在濾波器參數設計區中，用戶可根據濾波器逼近函數選擇包括巴特沃斯、切比雪夫I型，切比雪夫II型、橢圓型在內的四種類型濾波器，其對應的特性區別可以在幫助菜單中查看，然后用戶需輸入相關參數，包括階數、特征頻率、衰減；運行之后，則可以在分析模塊選擇查看幅頻特性和相頻特性、零極點以及傳遞函數。

2.2 分析界面系統的具體實現

巴特沃斯濾波器特點是通頻帶內頻率響應曲線最為平坦，幅頻特性與相頻特性都是單調下降的，因此在處理信號過程中產生的幅值畸變和相頻畸變都相對較小[3]。這里以巴特沃斯低通濾波器設計分析為例，設計一款通帶截止頻率2kHz,通帶最大衰減1.5dB,阻帶截止頻率5kHz，阻帶最小衰減40dB的濾波器，介紹該分析界面各部分功能模塊的具體實現。

（1）Filter Design(濾波器參數設計區)，可分為System、Order、Frequency Specification、Magnitude Specification四塊。設計巴特沃斯濾波器的主要步驟就是根據設計指標求出階數和3dB截止頻率，進而確定相應的傳遞函數[4]。在System下，選擇要設計的巴特沃斯低通濾波器，并選擇其幅頻特性圖像以對數顯示（單位分貝，dB）；在Order下，可以選擇濾波器階數是用戶自定義或者最小階數，后者在軟件運行后，自動得出，這里選擇最小階數并計算得出最小階數為4階；在Frequency Specification中，輸入特征頻率，包括通帶和阻帶截止頻率；在Magnitude Specification中輸入通帶最大衰減和阻帶最小衰減。最后運行，設計結果如圖1所示。

圖1 巴特沃斯低通濾波器設計界面

Fig.1 The design interface of Butterworth low pass filter

運行后，在Filter Analysis(濾波器特性分析區)可以依次選擇查看所設計濾波器的幅頻和相頻特性、零極點圖，如圖2所示，以及可以得到濾波器的傳遞函數H（s）。

如圖2所示，巴特沃斯濾波器在通頻帶沒有波紋，在阻帶內逐漸衰減為零，但過渡帶較長，阻帶衰減特性較差，且由零極點圖和傳遞函數可以看出，巴特沃斯濾波器為全極點濾波器，不存在零點，或者說其傳遞函數零點在無限頻處，只有在無限頻處才能給出無窮大的衰減[5]。另外在設計過程中，確定階數及3dB截止頻率時，采用的是通帶指標剛好滿足要求而阻帶指標有富余的計算方法，因此圖中1kHz時衰減約為1.5dB，而5kHz時衰減則約為52dB。

圖2 巴特沃斯濾波器特性分析圖

（3）為了更好的對所設計的濾波器進行分析，可以選擇Compare Analysis菜單，其包含了Mag/Pha(幅頻/相頻特性)、Zero/Pole(零極點圖)兩大項。選擇Mag/Pha，可以查看四種濾波器在相同分析特征參數條件下，幅頻特性和相頻特性的不同；選擇Zero/Pole則可以得到四種濾波器的零極點圖。

（4）完成運行后，系統會自動將此次濾波器設計分析的相關參數生成txt文件，導出到桌面。為了進一步驗證設計，在仿真軟件中搭建由RC元件和放大器組成的有源濾波電路，電路元件參數可以通過選擇Circuit菜單獲得。RC有源濾波器避免了無源濾波器中電感器件的非線性特性，且由于運放的作用可以為輸入信號提供增益[6]。

（5）在第一次打開界面后，用戶可以選擇菜單欄中的help菜單，其中分為About 和Instructions兩項。在About中可以了解有關圖形界面的型號、設計時間、使用要求等；而Instructions中，則可以了解濾波器設計分析的基本知識，例如查看其它幾種類型濾波器的基本知識，切比雪夫I型濾波器屬于全極點濾波器，不過其在通帶內有波紋，而過度帶較窄，具有更陡的衰減特性[7]；而切比雪夫II型和橢圓型濾波器的傳遞函數既有零點也有極點，前者通帶平坦而阻帶等波紋，后者雖然在通帶和阻帶中均等波紋,但阻帶內的有限傳輸零點減少了過渡區，可獲得極為陡峭的衰減曲線，不過橢圓濾波器的相頻特性較差，失真嚴重[8]。

3.巴特沃斯低通濾波器電路仿真

巴特沃斯濾波器設計實例：

利用分析界面設計得到巴特沃斯低通濾波器階數和傳遞函數，運用MATLAB語言編程計算得到如圖3所示的巴特沃斯低通濾波器。

電路的元件參數。設計中采用的是Sallen-Key低通濾波電路，Sallen-Key結構由RC網絡和有源VCVS（電壓控制電源）共同組成，具有良好的反饋特性，適用于低頻范圍[9]。由于設計要求的是四階濾波器，這里將兩個二階濾波器電路級聯得到四階濾波電路，并分別計算每一級電路的元件參數[10]。由圖3電路分析，可得每級濾波器傳遞函數，第一級為：

第二級為：

其中fc為濾波器的3dB截止頻率，Q1、Q2則為兩級濾波器的品質因數，其描述了濾波器分離信號中相鄰頻率成分能力，通過查表可得四階巴特沃斯低通濾波器兩個品質因數為：Q1=1.307，Q2=0.5412。

圖3 巴特沃斯濾波器電路圖

圖3中的電路是在Tina-Ti軟件中搭建的，Tina-Ti 是德州儀器公司旗下一款易于使用、功能強大的電路仿真工具，基于 SPICE 引擎，可以很好的滿足仿真需求。圖4則為Sallen-Key型巴特沃斯低通有源濾波器的交流傳輸特性仿真圖，可以看到幅頻特性與相頻特性與通過分析界面得到的曲線相同，所設計的巴特沃斯低通濾波器電路滿足設計要求。

圖4 巴特沃斯濾波器交流傳輸特性

程序描述，給出了包括巴特沃斯濾波器階數和傳遞函數以及電路參數計算的部分程序。

4.結語

MATLAB在模擬濾波器設計中有著重要應用，利用GUIDE工具設計的這款分析界面簡潔方便，可以幫助用戶清楚的分析濾波器特性，且方便設計人員根據需求擴充完善程序，更可以在相關課程教學中作為教學軟件提高教學質量；利用MATLAB編程可以簡化運算，將濾波器電路設計程序化，設計程序完全開源，利于拓展，仿真結果符合預期要求。隨著MATLAB相關功能的不斷完善，MATLAB將在濾波器設計、信號處理等方面有著更多應用，為用戶帶來便利。

[1]費騰,張立毅．Matlab在模擬濾波器實驗教學中的應用[J]．高校實驗室工作研究,2015(04)∶52-54．

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[4]程佩青．數字信號處理教程(第四版)[M]．北京∶清華大學出版社,2013．

[5]董雷,張民,張煒．基于MATLAB巴特沃斯低通數字濾波器的設計與仿真[J]．科技視界,2016(21)∶96-97．

[6]丁宇,薛開昶,孫偉．有源模擬濾波器的MATLAB輔助設計方法[J]．計測技術,2015,35(05)∶31-34．

[7]王艷文,崔志娟,張靜．基于matlab的切比雪夫Ⅰ型數字濾波器設計[J]．科技信息,2013(17)∶386．

[8]周新．輕松學會濾波器設計與制作[M]．北京∶化學工業出版社,2014．

[9]趙普渡．基于MATLAB的有源RC雙二階濾波網絡仿真研究[J]．機械工程與自動化,2016(2)∶115-117．

[10]婁云永,程金宏,侯凱文．基于MATLAB的模擬濾波器改進設計[J]．電子世界,2014(20)∶185．