平面向量相關題目解題方法

魏玉婧

摘 要：平面向量既有大小又有方向，關于向量運算與代數運算差別很大，這一定程度上加大了向量題目的難度，但平面向量廣泛運用于物理學和數學，因此熟練掌握平面向量的解題方法必不可少。目前，各類教輔資料上所總結的解題方法魚龍混雜，讓處于學習階段的學生整理出適合自己的解題方法難度較大。針對這種現象，作者整理出四種常用且通俗易懂的解題方法，并以解題思路的形式來展現。

關鍵詞：平面向量;解題方法

一、坐標法

坐標法是所有方法中適用范圍最廣，最容易操作的方法。先建立一個平面直角坐標系，再利用已知條件構造一個圖形，標記圖中特殊點的坐標，用坐標表示出向量，根據已知條件列出方程進行計算。但其實較難的題目的方程并不可以直接得出答案，這就要求我們再次結合坐標系二次解答。值得一提的是，當題目中的三角形、四邊形等多邊形沒有規定圖形時，可以構造一個特殊的圖形。

例題1：已知點G是△ABC的重心，過點G作一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且■=x■，AN=y■，則■的值為（ ? ）

A.3 ? B.■ ?C.2 ? D.■

題目分析：本題的條件較少，若要在有限的的時間里取得更高的分數，可以選擇建立坐標系以及特殊三角形來“以偏概全”，因為這種類型的題目一般都是對于任何三角形都適用的結論。

解題過程：

設△ABC是正三角形，G是△ABC的重心，AB=AC=BC=2

∵■=（-1，■） ■=（1，■）

∴■、■、■共線

∵■=（-x，-■x） ■=（y，-■y） ■=（0，-■）

∴■=？姿■+（1-？姿）■

∴0=-？姿x+（1-？姿）y-■=--■？姿x-（1-？姿）■y ∴x=■yy=■

答案為B

二、合成法

合成法可以適用于有圖像的題目，兩個向量可以合成特殊的向量或圖中已知的向量，也可以適用于純向量計算，如向量AB與向量BC可以合成向量AC，首先可以減少題目中的向量數目，使題目更加簡潔，其次可以更清晰直觀的看出向量之間的聯系，是解決這一類題目很好的方法

例題2：如圖所示在正六邊形ABCDEF中，若AB=1，則|■+■+■|等于（ ? ）

A.1 ?B.2 ?C.3 ?D.2■

題目分析：因為是正六邊形，并且向量都是在圖中可以找到，所以利用合成的方法，將AB和FE合成，再用新的向量與CD合成，最后求模，如圖

解題過程：

已知AB=1，則DH=2DC=2AB=2，答案選B

三、圖像法

圖像法是最快的方法，因為所有的向量都是建立在圖像的基礎上，圖像可以清楚的展示出各個向量之間的聯系，同時也是判斷向量之間夾角大小的“捷徑”，利用圖像可以大致判斷夾角的余弦正負，以及夾角的位置

例題3：已知■⊥■，|■|=|■|=1，|■-■-■|=1，求|■|的范圍

題目分析：已知■， ■的夾角和模，且題目中隱含■+ ■的條件，可以使用圖像法

解題過程：

題目中的|■-■-■|可轉變為|■-（■+■）|，所以就轉變為求O點到圓上距離的范圍，半徑為1，取值范圍是（■-1，■+1）

四、分解法

分解法在數學題中一般以用不共線的兩個向量為基底來分解的形式出現，將不熟悉的向量分解為熟悉的兩個向量再來進行運算，思路會更清晰。在物理學中分解法又稱為正交分解，常運用于解決牛頓三定律相關問題，且經常是將一個力分解為水平與豎直，利用物體的運動狀態來確定該物體在水平和豎直方向的受力問題，從而列出相關方程解得答案。

五、結論

這四種方法常用于解平面向量問題，一個看似很難的題目，若選擇對的方法即可“化難為易”，再輔助一些其它定理如：重心比例、角平分線比例、正弦定理、余弦定理等方便解題的定理，一個難題就可成功解決。