橋上無砟軌道豎向動力特性分析*

潘 鵬雷曉燕張鵬飛吳神花

（1.廣州地鐵設計研究院有限公司，510010，廣州；2.華東交通大學鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心，330013，南昌∥第一作者，助理工程師）

隨著我國高速鐵路的發展，橋上無砟軌道得到了廣泛應用。國內外有很多對橋上無砟軌道動力特性問題的研究：文獻［1］研究了鐵路橋梁動力學對線路上部建筑的影響；文獻［2-4］提出車輛-軌道單元，利用有限元法求解動力學方程；文獻［5-6］提出車橋振動理論，導出車橋時變系統的動力學方程；文獻［7-8］從車橋大系統角度研究了高速鐵路列車-軌道-橋梁動力相互作用問題。

本文為分析橋上無砟軌道的動力特性，提出了新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元，建立車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合動力模型，并利用MATLAB軟件編制計算程序，求解有限元數值方程。新型車輛單元在每個車輪下方附有一段鋼軌。該段鋼軌僅用于新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元的縱垂向耦合。無砟軌道-橋梁單元包含了鋼軌、軌道板、底座板、橋面板及其相互作用的4層梁模型。

1 有限元模型

運用有限元法和Lagrange方程，基于新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元，建立車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統動力分析模型。采用以下基本假設：

（1）僅考慮輪軌縱豎向動力效應。

（2）軌道和上部車輛結構沿線路方向左右對稱，可取其半結構研究。

（3）上部結構為附有二系彈簧系統的模型，車體和轉向架考慮伸縮振動、浮沉振動和點頭振動。

（4）輪軌間為彈性接觸。

（5）鋼軌被離散為二維梁單元，軌下墊層的豎向彈性系數和阻尼系數分別用ky1和cy1表示，縱向彈性系數和阻尼系數分別用kx1和cx1表示。

（6）預制軌道板被離散為連續黏彈性支承的二維梁單元，預制軌道板下瀝青水泥砂漿層的豎向支承彈性系數和阻尼系數分別用ky2和cy2表示，縱向支承彈性系數和阻尼系數分別用kx2和cx2表示。

（7）水硬性混凝土支承層被離散為連續黏彈性支承的二維梁單元，混凝土支承層下橋梁的豎向支承彈性系數和阻尼系數分別用ky3和cy3表示，縱向支承彈性系數和阻尼系數分別用kx3和cx3表示。

（8）橋梁被離散為二維梁單元。

1.1 無砟軌道-橋梁單元模型

無砟軌道-橋梁單元模型如圖1所示。圖1中：u1、u5為鋼軌的縱向位移，v1、v5為鋼軌的豎向位移，θ1、θ5為鋼軌轉角，u2、u6為軌道板的縱向位移，v2、v6為軌道板的豎向位移，θ2、θ6為軌道板轉角，u3、u7為底座板的縱向位移，v3、v7為底座板的豎向位移，θ3、θ7為底座板轉角，u4、u8為橋梁的縱向位移，v4、v8為橋梁的豎向位移，θ4、θ8為橋梁轉角。

圖1 無砟軌道-橋梁單元模型

無砟軌道-橋梁單元共有24個自由度，其單元結點位移定義為：

al=｛u1v1θ1u2v2θ2u3v3θ3u4v4θ4

u5v5θ5u6v6θ6u7v7θ7u8v8θ8｝T（1）

橋上CRTSⅡ型無砟軌道-橋梁單元的剛度矩陣kle表示為：

kle=kre+kse+kfe+kbe+k1ce+k2ce+k3ce（2）

式中：

kre——鋼軌彎曲勢能產生的剛度矩陣；

kse——預制軌道板彎曲勢能產生的剛度矩陣；

kfe——混凝土支撐層彎曲勢能產生的剛度矩陣；

kbe——橋梁勢能產生的剛度矩陣；

k1ce——離散支撐彈簧的剛度矩陣；

k2ce——第一層連續彈性支撐彈簧的剛度矩陣；

k3ce——第二層連續彈性支撐彈簧的剛度矩陣。

橋上CRTSⅡ型無砟軌道-橋梁單元的質量矩陣mle表示為：

mle=mre+mse+mfe+mbe（3）

式中：

mre——鋼軌彎曲動能產生的質量矩陣；

mse——預制軌道板彎曲動能產生的質量矩陣；

mfe——混凝土支撐層彎曲動能產生的質量矩陣；

mbe——橋梁彎曲動能產生的質量矩陣。

橋上CRTSⅡ型無砟軌道-橋梁單元的阻尼矩陣為：

cle=cbe+c1ce+c2ce+c3ce（4）

式中：

cbe——比例阻尼；

c1ce——離散支撐彈簧的阻尼矩陣；

c2ce——第一層連續支撐彈簧的阻尼矩陣；

c3ce——第二層連續支撐彈簧的阻尼矩陣。

1.2 新型車輛單元模型

新型車輛單元模型見圖2。圖2中：Mc和Jc分別為1/2車體的質量與轉動慣量；Mt和Jt分別為1/2轉向架的質量與轉動慣量；Mwi（i=1，2，3，4）為第i個車輪的質量；kc為輪軌間赫茲接觸剛度；ks1和ks2分別為1/2車輛的一、二系懸掛剛度；cs1和cs2分別為1/2車輛的一、二系懸掛阻尼；uc、vc和 θc分別為車體縱向伸縮位移、沉浮振動的豎向位移和點頭振動的角位移；utj、vtj和θtj（j=1，2）分別為轉向架j的縱向伸縮位移、沉浮振動的豎向位移和點頭振動的角位移；uwi和vwi分別為第i個車輪的縱向伸縮位移和豎向位移；vci分別為在第i個車輪的輪軌接觸處鋼軌豎向位移；urn、vrn和θrn（n=1，2，…，8）分別為鋼軌第n個結點的縱向伸縮位移、豎向位移和角位移。

圖2 新型車輛單元模型

新型車輛單元共有41個自由度。定義新型車輛單元的節點位移向量為：

新型車輛單元的剛度矩陣為：

式中：

kve——車輛一、二系彈簧產生的剛度矩陣；

kc——位移差值函數產生的剛度矩陣。

新型車輛單元的質量矩陣為：

新型車輛單元的阻尼矩陣為：

式中：

cve——車輛一、二系彈簧產生的阻尼矩陣。

2 車輛-無砟軌道-橋梁耦合系統有限元方程

運用Lagrange方程，建立高速列車通過無砟軌道時的動力特性有限元方程，即：

式中：

L——Lagrange函數，L=T-Π，其中T為動能，Π為勢能；

R——耗散能。

車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統有限元方程包含兩個單元，即新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元。新型車輛單元的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣分別見式（6）、（8）和（10）；無砟軌道-橋梁單元的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣分別見式（2）、（3）和（4）。利用標準有限元“對號入座”的方法可形成車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統總剛度矩陣、總質量矩陣和總阻尼矩陣。從而得到該系統動力有限元方程為：

車輛-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統動力有限元方程數值解，可通過直接積分法（如Newmark積分法）實現。

針對上述列車-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合系統動力分析模型，運用MATLAB編制計算程序并進行檢驗計算。

3 橋上無砟軌道豎向動力特性分析

橋上無砟軌道結構動力特性按軌道平順和軌道不平順（德國低干擾譜）兩種工況分別分析。

因本文所用模型考慮了伸縮振動、浮沉振動和點頭振動，同時縱向振動與豎向振動兩者之間互不影響，所以此模型可分別分析軌道結構縱向及豎向的受力特性。分析豎向動力特性時，縱向參數取值和豎向保持一致。

計算時，車輛選用CRH3型和諧號動車組，軌道結構選用橋上CRTSⅡ型軌道結構。具體相關參數見文獻［4］。計算線路總長度為162.5 m，5跨橋梁，共劃分250個有限元單元，每跨端部添加零位移豎向約束；取一節車輛，車速為250 km/h；計算的時間步長為10-3s。得到軌道不平順譜如圖3所示，輪軌相互作用力如圖4所示。

圖3 德國低干擾譜高低不平順時程曲線

圖4 輪軌相互作用力

3.1 梁端軌道結構動力特性

列車通過橋梁，其梁端位置處的鋼軌、軌道板、底座板的豎向位移、速度、加速度如圖5所示。在軌道平順和不平順兩種工況下，梁端處軌道結構響應幅值見表1。

圖5 梁端處不同狀態下軌道結構動力特性時程曲線

表1 梁端處軌道結構豎向動力響應幅值

從圖4、圖5和表1可知：①每種工況下，梁端處鋼軌、軌道板以及底座板的豎向位移、豎向加速度都是逐漸遞減的；②軌道不平順主要影響軌道結構的豎向位移和豎向加速度，其中對豎向加速度的影響尤為顯著，比如鋼軌的豎向加速度增加了6.5倍；③軌道不平順對鋼軌速度影響相對較大，而對軌道板和底座板基本沒有影響；④由輪軌作用力圖可知，軌道不平順對輪軌作用力影響也比較大，幅值增加了50%左右。

3.2 跨中軌道結構動力特性

列車通過橋梁時，跨中處的鋼軌、軌道板、底座板及橋面板的豎向位移、速度和加速度見圖6。

在軌道平順和不平順兩種工況下，跨中處軌道結構響應幅值見表2。

表2 跨中處軌道結構豎向動力響應幅值

圖6 跨中處不同狀態下軌道結構動力特性時程曲線

從圖6和表2可以看出，①每種工況下，跨中位置處軌道結構以及橋梁的豎向位移、豎向加速度都是逐漸遞減的；②軌道不平順對豎向加速度影響很大，比如鋼軌從10 m/s2增加到30 m/s2，軌道板增加了11倍；③橋梁跨中的動力響應較小，不平順下加速度的幅值為0.4 m/s2；④與表1相比較，不平順狀態下鋼軌、軌道板和底座板在梁端處的加速度更大，梁端鋼軌、軌道板、底座板的豎向加速度分別是跨中的2.50倍、1.55倍、1.30倍左右。

4 結論

（1）本文運用新型車輛單元和無砟軌道-橋梁單元，建立列車-無砟軌道-橋梁縱垂向耦合動力分析模型時，只需將列車-無砟軌道-橋梁耦合系統離散成車輛單元和無砟軌道-橋梁單元。計算時只需要形成1次無砟軌道-橋梁系統的總剛度矩陣、總質量矩陣和總阻尼矩陣。在以后每一步計算中，僅組裝車輛單元的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣即可。如此，大大提高了程序的運行速率。

（2）平順狀態下，運用本文建立的模型分析豎向動力特性，計算結果表明該模型及程序能夠反映軌道結構的豎向振動響應，說明該方法的可行性。同時，該模型還考慮了伸縮振動，同時縱向、豎向兩者之間互不影響，因此該模型可以分別分析軌道結構縱向、豎向的受力特性。

（3）軌道不平順對軌道結構的加速度和輪軌作用力的影響較大，輪軌作用力增大了50%左右，梁端處鋼軌的豎向加速度增加了6.5倍左右，跨中鋼軌的豎向加速度從10 m/s2增加到30 m/s2。

（4）每種工況下，梁端和跨中位置處軌道結構的豎向位移、豎向加速度分別逐漸減小，梁端處軌道結構的振動及其位移變化都比跨中處大。

［1］ ZACHER M.鐵路橋梁動力學及其對線路上部建筑的影響［J］.鐵路工程師，2001，7（2）：29.

［2］ 雷曉燕.有限元法［M］.北京：中國鐵道出版社，2000：167.

［3］ 雷曉燕，張斌，劉慶杰.軌道過渡段動力特性的有限元分析［J］.中國鐵道科學，2009（5）：15.

［4］ 陳松.高架無砟軌道交通引起的環境振動研究［D］.南昌：華東交通大學，2012.

［5］ 曾慶元，楊平.形成矩陣的“對號入座”法則與桁梁空間分析的桁段有限元法［J］.鐵道學報，1986（2）：48.

［6］ 曾慶元，周智輝，赫丹，等.列車-軌道（橋梁）系統橫向振動穩定性分析［J］.鐵道學報，2012（5）：86.

［7］ 翟婉明，夏禾.列車-軌道-橋梁動力相互作用理論與工程應用［M］.北京：科學出版社，2011：173.

［8］ 翟婉明，蔡成標，王開云.高速列車-軌道-橋梁動態相互作用原理及模型［J］.土木工程學報，2005（11）：132.