類比法教學的困難及對策

羌達勛

類比法是人們探索問題、發現問題、解決問題的一個非常有效的方法。學生在運用類比法解決相關問題時候，似乎駕輕就熟，但實質上存在許多盲區和錯誤。

類比法在學生中存在的主要問題

1.形式上的類比構成錯誤。如：在解分式不等式時，學生會把分式不等式類比為分式方程來解。

例1： 解不等式[2x+1x-2]>1

分析：分式問題整式化，不少同學會將不等式的兩邊同時乘以[x-2]，這樣就導致結果錯誤，因為我們沒有辦法明確[x-2]的正負。若[x-2]是正的，不等號不發生改變；如果[x-2]是負的，不等號要發生改變。

解：∵[2x+1x-2]>1

∴[2x+1x-2]-1>0

∴[x+3x-2]>0

∴（[x+3]）（[x-2]）>0

解得：[x]>2或[x]<-3

故原不等式的解集為：{[x]|[x]>2或[x]<-3}

如果學生類比方程的解法來解分式不等式，那么就會得到錯誤的結果。

2.學生沒有良好的認知結構，導致結論目標發生偏差。如：在平面中，我們有熟悉的結論——同一個平面內，一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必與另一條直線相交。如果類比到空間中，則顯然不成立。再如：在平面內，若兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行。類比到空間中，則此結論亦錯誤。

3.類比法是一種猜想，僅簡單地用類比的過程代替證明的過程，容易得到一個錯誤的結論。

例2：判斷下列橢圓和圓的交點個數：

2[x]2+[y]2=8，（[x+2]）2+[y]2=15

錯解：聯立方程

[2x2+y2=8（x+2）2+y2=15]

兩式相減消去y，得[x]2-4[x]+3=0

由△>0，得方程有兩個不同的解，則橢圓與圓有兩個交點。之所以會產生上述的錯誤，是因為學生在解題時“生搬硬套”，沒有認真考慮本道題的特點，盲目類比直線與圓錐曲線的位置關系造成的。

4.消極的定勢思維影響，引起負遷移效果，導致表面的類比錯誤。如許多學生會把求函數的“零點”與求函數與[x]軸“交點”坐標類比，從而導致結果錯誤。

類比法教學對策

數學家波利亞曾經說過，選出一個類似的、較容易的問題，去解決它，改造它的解法，以便它可以作為一個模型，之后，利用剛建立起來的模型，以達到原來問題的解決。如何有效解決數學中的類比問題，需要做到以下幾點：

1.要有正確的類比思維過程

（1）平面中的性質正確地類比到空間中

在運用類比法解決問題中，平面幾何與立體幾何作類比是常見題型。如何正確地進行類比呢？

例3：（2009年江蘇，8）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比是1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為 。

解：在空間，若兩個正四面體的棱長比為1：2，則它們的底面積之比為1：4，又它們的高之比為1：2，所以它們的體積之比為1：8。

教學中理清平面與空間基本元素、基本量之間，基本圖形之間的關系才能認識事物的性質與規律，注意善于運用類比的思想可以幫助學生復習舊知，鞏固新知，從而建立良好的認知結構。

（2）在代數中要有縝密的類比推理

例4：定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫作等和數列，這個常數叫作數列的公和。已知數列[an]是等和數列，且[a]1=2，公和為5，那么[a]15的值為 ，這個數列的前n項和Sn的計算公式為 。

分析：本題以“等和數列”為載體，解決的關鍵是類比所學的等差數列的相關知識及其解題經驗，突出創新能力的考察，根據事物之間共同的屬性來解決問題。

2.數學思想、方法的類比要合理有效

（1）公式、概念、定理的教學

數學中，有許多公式，概念、定理性質的教學，它們中許多可以相互之間找到影子或者痕跡，所以在授課的時候，教師設計問題必須層層深入，環環相扣，引導學生由表及里深入思考，讓學生類比猜出所學新知識的內容，使學生由被動學習變主動學習。如在學習等比數列相關知識的時候，可以類比等差數列學習過程，通過公式的結構相似來記憶等比數列中的公式。再如學習柱體體積公式，可以類比推導錐體體積公式，再如橢圓與雙曲線的教學等。

（2）運用生活中的事物或現象進行類比教學

在講分式不等式的性質“若[a]>[b]>0，[b+ca+c]>[ba]”時，我們用學生比較熟知的生活常識“糖水加糖甜又甜”來做類比，非常形象生動，學生也易理解，且記得住。但運用類比這種方法時，要正確掌握概念和性質的本質，有區別地認識他們的某種相似，如果上述題目中，把條件“[a]>[b]>0”去掉，就是一個錯誤的結論。

（3）“數”與“形”相互推測，做到合理類比

例5：已知[ab+c]=[bc+a]=[ca+b]=[K]，求[K]的值。

解：由已知，可設直線[l1]：[ax]+[by]+[c]=0和直線[l2]：（[b]+[c]）[x]+（[c]+[a]）[y]+[a]+[b]+0重合，從而（[a]+[b]+[c]）（[x]+[y]+[1]）=0

故當（[a]+[b]+[c]）=0時，[K]=-1；[a]+[b]+[c]≠0時，[K]=[12]。上述例題中，數與形相互類比，相得益彰，可以使問題迅速得到解決。

類比是數學發現和創造的一種思維方法，特別是在把已知事物的性質推廣到類似事物方面有重大作用。在教學中，類比法是一把雙刃劍，合理地運用類比法，對提高學生的學習興趣，思維的發展及能力的提高有著非常大的作用。

（本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃課題2016年度課題（課題立項號D/2016/02/07）“普通高中自主課堂的個性品質與文化境界”的研究成果。）

（作者單位：江蘇省南通市通州區金沙中學）