由一道復習題引發的思考

袁啟云

中考復習階段，在總結復習“等腰三角形的性質”時，一類題目引起了我的注意。歸納匯總了類似題目后，我決定作為專題上一次復習課。

原題：如圖1，在△ABC中，AB=AC，點P是底邊BC的中點，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥AC，垂足是F，CD是高。猜想PE+PF與CD的數量關系并證明你的結論。

巡視之后，我發現大多數學生都這樣想：在△DBC中，由三角形中位線定理可知，PE=[12]CD；易證△EBP≌△FCP，從而發現PE+PF=CD。

本題并不復雜，學生很容易找到解題思路，但對本題的探討是否僅止步于此呢？我進一步啟發學生探究：當點P是底邊BC上任意一點或底邊BC延長線上任意一點（如圖2），其他條件不變，PE、PF與CD的數量關系改變了嗎？若不變請證明；若改變請說明理由。

搜集學生思路發現，學生一般用截長法或補短法解答，鮮有其他思路。當在延長線上時，學生也能發現結論改變為PE-PF=CD。

教學反思：解答本題也可以使用面積法，但學生鮮有用面積法證明，說明學生對面積法不熟，思路寬度不夠。

我要求學生用一句話歸納自己得到的結論，并用結論解決下列問題：

練習1：如圖3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一動點，PF⊥BD于F，PE⊥AC于E，則PE+PF的值為（ ）。

A .[125] B.[135] C.[52] D.2

隨后，我又將題目做了變式處理：將等腰三角形改為等邊三角形，將底邊上一點移到內部或外部時，結果有沒有變化呢？

練習2：如圖4，△ABC為正三角形，點P是△ABC內任意一點，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥AC，垂足是F， PD⊥BC，垂足是D， CH是高，猜想PE，PF，PD與CH有何數量關系？并證明你的猜想。

如圖5，當這一點在等邊三角形外部時，這一點到三邊的距離與等邊三角形的一邊上的高有何關系？并證明你的猜想。

觀察發現：由于學生對面積法不熟，思路寬度不夠，所以連結論都猜不出，不知從何下手，也想不起與例題（等腰三角形）的結論有何關系。

教學反思：因為前面學生鮮有用面積法證明，故展示的例題功能沒有發揮出來，無法借鑒思路，此時，教師需要再補充例題面積法的講解。

練習3：如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是下底BC上任意一點，PE⊥AB，垂足是E，PF⊥CD，垂足是F。求證：PE+PF是一個定值。

圖6

我啟發學生從以下幾方面去思考：①想想此圖與等腰三角形有何聯系？②四邊形是多邊形，解決多邊形的問題常用什么方法（割、補法）？由等腰梯形如何得到等腰三角形？并追問：當點P在BC的延長線上時，其他條件不變，試求│PE-PF│的值。學生嘗試用面積法解決，大大加快了解題進度。

（作者單位：襄陽市南漳縣九集中學）