有限時間絕對穩定的攻頂彈道設計*

王英煥，李錦，張銳

(北京電子工程總體研究所，北京 100854)

0 引言

隨著裝甲裝備防御能力的不斷提升，反坦克導彈必須充分發揮毀傷性能，導彈命中目標時，其彈軸方向若能大體上同裝甲的法線一致，則能取得最好的破甲效果[1-2]。考慮到坦克裝甲都具有一定的坡度，導彈若能從上向下攻擊，則將處于更優越的態勢。這就需要反坦克導彈，針對裝甲裝備防御最薄弱的頂部實施大角度乃至垂直的攻頂打擊[3-4]。某新型反坦克導彈，需要在全射程范圍內(1～25 km)實現對坦克類目標的有效打擊，這對制導控制系統設計提出了更高的要求，在確保制導精度的同時，要保證擊中目標時落角盡可能大，控制系統需綜合彈道過載能力、導引頭框架角約束、導彈飛行末速等進行拋物攻頂彈道設計，實現在1～25 km全射程范圍內對坦克類目標大入射角攻擊，即在保證制導精度的前提下，近距離1 km射程時實現40°攻頂角，其它射程實現不小于60°的攻頂角[4-11]。

本文將反坦克導彈制導控制系統用Lurie系統進行描述，給出該系統有限時間絕對穩定和剩余飛行時間之間的關系，以減小無效剩余飛行時間為宗旨，進行反坦克導彈全射程拋物攻頂彈道設計，并圍繞末端攔截時的攻擊角度進行仿真驗證，有效實現反坦克導彈拋物攻頂彈道設計。

1 彈目相對運動數學模型

以平面內制導為例, 目標-導彈相對運動的幾何關系[12]見圖1。由圖1可以導出如下方程:

經過一定的簡化，可以得到彈體和目標的加速度之間的關系：

式中：wt,wm分別為目標和導彈在視線方向的加速度分量;at,am分別為目標和導彈在視線法向方向上的分量。

2 制導控制系統的Lurie系統描述

本文重點對末端尋的制導控制系統進行研究。Lurie系統是一類典型的非線性系統，它包含一個線性的前向通道和一個位于有限扇形區間內的非線性反饋[13-14]。利用Lurie系統來研究尋的制導控制系統的末端穩定性，將其作為末端制導控制系統設計的基礎。

考慮制導盲區d為常值，τ為目標開始機動之后的尋的時間，Δt為盲區內飛行時間,N為導引系數。

由圖2,3可知，尋的制導回路可以表示為一個線性系統和時變單元的反饋連接，從而可以將其轉換成一個典型Lurie系統，如圖4所示。

其中各符號定義如下：

(1)

(2)

式中：φ(t,z)滿足不等式αz2≤zφ(t,z)≤βz2，屬于扇形區域D[α,β]。

對于圖4所示Lurie系統，根據圓判據[15],在扇形區域D[α,β]內，系統有限時間絕對穩定的充分條件為，存在H(s),使標量傳遞函數

(3)

嚴格正實。

考慮接近速度為常值的情形，對于有限區間

0≤α=1/tf≤φ(t,z)≤1/tg0=β，

(4)

考慮到α值比較小，有

1+αRe[H(jω)]>0.

(5)

根據定理1，式(3)嚴格正實，等價于M(s)是Huriwitz陣，且

(6)

(7)

tgo(min)=max{0,-min[B(jω)]}.

(8)

式(8)表明當剩余飛行時間tg0>tg0(min)時，尋的制導系統是有限時間絕對穩定的。

考慮彈體動態為

(9)

由于飛行時間tf值較大，根據式(7)，尋的制導系統有限時間穩定的邊界為

(10)

由式(10)知，導彈失穩時間主要取決于控制系統動態特性，在剩余飛行時間大于失穩時間時，系統是有限時間絕對穩定的。由此，可以在末制導控制系統設計時，從推遲無效剩余飛行時間角度出發進行末端導引方法和控制策略的優化設計，以實現希望的良好設計結果。

3 導引律及控制策略

對于末端落角約束問題，制導控制系統的目標是實現趨零脫靶和期望命中姿態角。

采用末段尋的導引方案的反坦克導彈，宜采用拋物彈道方案，文中所研究的彈道即為此類型彈道，采用拋物彈道可以保證遠界彈道落點處的末速。

導彈垂直發射轉彎后，按程序指令爬升，然后彈上根據數據鏈上傳信息及導彈自身飛行狀態對彈道進行修正，待彈目相對距離達到導引頭作用距離時，導引頭對目標進行搜索，當導引頭完成對目標的捕獲和跟蹤后，制導控制系統按一定的導引律和控制策略控制導彈實現對目標的攔截。

由于受到導彈可用過載的限制，當采用拋物俯沖攻頂方案時，射程的遠近對命中點落角的影響較大，射程越近彈道越低深，落角就會越小;遠界攻擊時，彈道高度若過高，導彈就有可能進入云層飛行，這又會影響導引頭的工作性能。因此在全射程拋物彈道設計時，在保證落角的同時不僅要兼顧可用過載，同時還要有效控制導引頭開機時刻的導彈飛行高度，導引頭的框架角也是彈道設計中必須要考慮的約束條件之一。

將導彈與目標的運動方程視為一組約束方程，以遭遇時刻彈體姿態角和導引頭框架角為終端約束，以脫靶量和能量消耗(需用過載不大于最大可用過載)為性能指標，來進行導引律設計。

本文設計一種導引律和一種末端控制策略：非線性攻頂導引律和基于有限時間絕對穩定的末端控制策略。非線性攻頂導引律在中制導階段使導彈趨向預測截獲點運動，導引頭捕獲并穩定跟蹤目標后控制導彈以一定的攻頂角對目標進行攻擊，當待飛時間tgo>tgo(min)時使用末端控制策略進一步抑制視線角發散，實現在保證一定末速的前提下，以給定攻擊角對目標進行攔截。

由第2節的證明過程可知，系統是絕對穩定的。

式中：K=fK(tgo,ΔR)，Δ=fΔ(tgo,ΔR)，K2=fK2(tgo,ΔR)，Δ_K2=fΔK2(flag_t,tgo,ΔR)，K3=fK3(tgo,ΔR)，K4=fK4(tgo,ΔR)均為待飛時間tgo和彈目相對距離ΔR的函數；ΔRm為末制導距離。

4 仿真結果及分析

仿真條件：導彈為垂直發射，全向調轉，射程分別為1，5，10，15，20，25 km目標不機動導引頭開機距離2 km。不同射程仿真的初始條件見表1。

彈道設計要求：近界1 km時攻頂角不小于40°，其他射程攻擊角不小于60°，導引頭框架角不大于18°，末速不小于180 m/s，需用過載不大于5。

表1 不同射程仿真初始條件

圖5為彈道R-t曲線，從圖5可以看出，為實現對目標的大攻擊角，拋物彈道的高度隨著射程的增加而有所增大，仿真中導引開機距離為2 km，所設計的遠界彈道(15 km以上)在導引頭開機時刻均已處于彈道俯沖段，有效末制導時間(除1 km彈道)均大于10 s。

圖6為不同彈道末端彈目遭遇時刻彈體指向角(俯仰角)曲線，從仿真結果看，所有彈道均實現末端指向角的要求。

圖7為末制導段導引頭框架角曲線，可見在所有進行的彈道仿真中，所設計的導引律和末端控制策略均有效的實現了系統對導引頭框架角不能大于18°的約束，解決了飛行過程中為實現大的俯沖角度而導致的導引頭框架角限幅的問題。

表2為末制導仿真設計實現情況和約束條件統計表。從表2的統計結果可以看出，最大過載和框架角均出現在近界彈道，為實現要求的攻擊角，近界彈道的曲率最大;本文所設計的導引方法和控制策略可以保證遠界攻擊目標時，導彈在遭遇時刻有足夠的飛行末速(不小于200 m/s)，實現對目標的有效攔截。

表2 設計實現和約束條件統計

5 結束語

本文在系統有限時間穩定的前提下，對某型反坦克導彈進行全射程內攻頂彈道設計，提出了基于落角約束、彈目相對距離、末端過載約束等條件下的導引律和控制策略設計，以實現1～25 km全射程內的導彈攻擊角要求，設計和仿真結果表明, 所提出的導引律和控制策略在導彈的全射程內可實現近界1 km時攻頂角不小于40°，其他射程攻擊角不小于60°的設計結果。

參考文獻：

[1] 蔡洪,胡正東,曹淵.具有終端角度約束的導引律綜述[J].宇航學報,2010,31(2):315-323.

CAI Hong,HU Zheng-dong ,CAO Yuan.A Survey of Guidance Law with Terminal Impact Angle Constraints[J].Journal of Astronautics,2010,31(2):315-323.

[2] RYOO C K,CHO H,TAHK M J.Optimal Guidance Laws with Terminal Impact Angle Constraint[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2005，28(4)：724-732.

[3] LIU Da-wei,XIA Qun-li,WU Tao,et al.Trajectory Shaping Guidance Law with Terminal Impact Angle Constraint[ J].Journal of Beijing Institute of Technology,2011,20(3):345-350.

[4] 席杰,楊軍,朱學平.帶落角和導引頭視角約束的制導律設計[J].光電與控制,2014,21(9):26-29.

XI Jie,YANG Jun,ZHU Xue-ping.Guidance Law Design with Impact Angle and View Angle Constraints[J].Elecrtonics Optics & Control,2014,21(9):26-29.

[5] 郭建國,周軍.一種新的具有攻擊角度約束的末制導律設計[J].計算機仿真,2013,30(8):70-73.

GUO Jian-guo,ZHOU Jun.Adaptive Robust Guidance Law Design for Air-to-Ground Missile with Impact angle Constraint[J].Computer Simulation ,2013,30(8):70-73.

[6] 李憲強,周軍.可攔截機動目標的終端角度約束制導律[J].固體火箭技術,2015,38(5) :614-621.

LI Xian-qiang ZHOU Jun.Guidance Law with Angle Constraint used to Intercept Maneuvering Targets[J].Journal of Solid Rocket Technology ,2015,38(5):614-621.

[7] 劉大衛,杜運理,溫求遒，等.侵徹制導武器終端多約束最優制導律[J].固體火箭技術,2015(2):166-171.

LIU Da-wei,DU Yun-li,WEN Qiu-qiu.Optimal Guidance Law with Multiple Terminal Constrains for Penetrating Guided Weapon[J].Journal of Solid Rocket Technology,2015(2):166-171.

[8] 張旭,周軍,呼衛軍.雙紅外導引頭信息融合三維角度約束制導方法[J].航天控制,2014,32(3):12-17.

ZHANG Xu,ZHOU Jun,HU Wei-jun.The Three-Dimensions Angle Constraint Guidance Law Based on Dual-Detectors Information Fusion[J].Aerospace Control,2014,32(3) :12-17.

[9] 周華,卓佳,王長慶，等.基于角度約束的彈道仿真研究[J].計算機仿真,2014,31(10):76-79.

ZHOU Hua,ZHUO Jia,WANG Chang-qing,et al.Study on Ttrajectory Simulation with Impact Angle Constraint[J].Computer Simulation,2014,31(10):76-79.

[10] 張意，馬清華.反坦克導彈近距離攻頂彈道設計[J] .彈箭與制導學報，2010，30(2)187-189.

ZHANG Yi,MA Qing-hua.Short Range Top Attack Trajectory Design for Anti Tank Missile[J].Journal of Projectiles,Rockets,Missiles and Guidance,2010,30(12)：1432-1435.

[11] 韓艷鏵，徐波.攻擊地面機動目標的一種擊頂制導策略[J].兵工學報,2009,30(3)：324-328.

HAN Yan-hua ,XU Bo.A Guidance Law for Overhead Attacking Surface Maneuver Target[J].Acta Armamentarii,2009,30(3)：324-328.

[12] 季登高,姚郁,賀風華.基于穩定性分析的尋的制導約束問題研究[J].哈爾濱工業大學學報,2007,39(5):678-681.

JI Deng-gao.YAO Yu,HE Feng-hua.Research on Design Constraints of Homing Guidance System Based on Stability Analysis[J].Journal of Harbin Institute of Technology,2007,39(5):678-681.

[13] TESIA,VOCOMPA.Robust Stability of Lurie Control Systems in Parameter[J].Automatica,1991,27(1):147-151.

[14] 周曉航.兩類Lurie時滯系統的穩定性分析與濾波器設計[D].杭州：杭州電子科技大學，2014.

ZHOU Xiao-hang.Stability Analysis and Filter Design for Two Class of Lurie Systems With Time-Delays[D].Hangzhou:Hangzhou Dianzi University,2014.

[15] KHALIL H K.Nonlinear Systems[M ].3rd ed.NJ:Prentice Hall,2002.