基于曲率函數的簡支梁動撓度識別研究

耿棟，王樂，沙衛福

（1.安徽省公路工程檢測中心，安徽 合肥 230051；2.橋梁與隧道工程檢測安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230051）

0 前言

在橋梁健康監測中撓度作為監測的關鍵指標之一，可以反映橋梁的剛度，評價橋梁質量及運營狀態[1]。橋梁的動撓度，更是橋梁變形最為實時的體現，反映橋梁結構的動力特性和車輛荷載的沖擊效應等。在橋梁撓度測量方法中，經緯儀、水準儀、百分表等方法是傳統的方法，但這些傳統的測量方法只適用于橋梁人工的短期測量。為了實現橋梁撓度的自動化長期測量，連通管法、激光圖像法、GPS法等一些較新的測量方法逐漸涌現出來，并且已應用于橋梁撓度的測量中[2]。但是，這些較新的方法測量設備成本高昂，數據采集、存儲要求高，同時受環境影響因素多。

近年來，由于分布式光纖光柵傳感技術的成功應用，應變的測量效果得到了顯著提高[3]，因而使得基于應變測試的橋梁撓度測量方法獲得了廣泛關注和研究[4]。為了實現基于應變測量的橋梁動撓度識別，本文提出了一種基于曲率函數的簡支梁動撓度識別方法。其基本原理是通過安裝應變傳感器進行梁結構動應變測試，利用結構的應變-曲率-撓度關系來識別出動撓曲線，進而實現對梁結構動撓度的測量。為了驗證提出的方法的有效性及準確性，本文進行了數值算例模擬，對環境激勵及移動荷載作用下的簡支梁動撓度進行了數值模擬。數值算例的結果表明，基于曲率函數識別簡支梁動撓度是可行的，且具有較高的精度。

1 應變、撓度、曲率之間的關系

應變是指結構承受應力時局部單位長度產生的變形量，用ε表示。對于梁結構來說，撓度是指梁彎曲變形時軸線沿與軸線垂直方向的線位移，用v表示；其軸線在平面內彎成的一條連續的曲線稱之為撓曲線，如圖1所示；曲率則是用來度量梁彎曲變形的程度，用k表示。

圖1 梁結構撓曲線示意圖

圖2 梁微小單元體平面示意圖

梁結構在彎曲變形時，在梁上取出一微小變形單元體，平面形式如圖2所示。圖中梁中性軸為線段O1O2，長度為dx，y為中性軸距梁底面的距離，ρ為曲率半徑。根據材料力學知識可知，梁在發生彎曲時中性軸長度不變，而底面軸向長度lab將發生變化，變化量為Δs。

梁底面軸向單位長度的變形量，即應變ε大小為：

曲率半徑的倒數就是曲率，從公式（2）中看的出，在梁同一橫截面位置曲率與應變成線性比例關系。而彎曲變形的梁結構曲率又與撓度成一定的關系，具體的撓度與曲率關系可表示為：

公式（3）中，v表示梁上各橫截面的撓度，是以位置坐標x為自變量的函數，其表達式稱之為撓曲線方程，公式（3）也稱之為梁撓曲線的微分方程。由于日常研究的梁結構變形屬于小變形，撓曲線方程經兩次微分后數值可忽略不計，因此公式（3）可寫成下式：

從公式（4）中看出，對梁曲率函數二次積分可得到梁撓曲線方程，而梁結構上同一截面位置曲率又和應變成線性比例關系，因此不難發現，通過曲率可建立起撓度和應變之間的轉換關系。

2 基于曲率函數識別梁結構動撓度

假設梁結構彎曲變形時曲率沿縱向呈線性變化關系，各橫截面曲率值可通過在對應位置上安裝應變傳感器獲取應變數值，根據應變-曲率關系式即公式（2）計算得到。計算公式中應變測試位置距截面中性軸的距離是作為已知條件的，在實際操作中應變測試位置距中性軸的距離可通過有限元模型計算獲得。假設梁沿縱向曲率變化關系即曲率函數為一適當的多項式，計算出多個截面的曲率值之后，通過帶入數值可求解出曲率函數的表達式。

對于結構形式簡單的梁來說，如簡支梁，一般彎曲變形時曲率函數可假設為二次多項式，表達式如下：

公式（5）中，a、b、c為多項式的 3 個未知系數，求解至少需帶入3次數值，因此至少將梁劃分為3個單元進行應變測試。

在測試出3個單元中間位置橫截面的應變數值后，通過轉換關系得到相應位置曲率值，曲率函數多項式系數的求解按下式進行：

公式（6）中，k（xn）表示曲率函數在第 n 個單元中間截面位置曲率值，表示第n個單元的始末端橫坐標。

顯然，假設曲率函數為二次多項式存在著誤差，為減少誤差可適當的提高多項式的階次，階數越高，結果越準確。對于階次超過兩次時，即公式（5）的未知系數超過3個，此時需將梁劃分為多個單元進行應變測試，曲線擬合求解最優解[5]。

求解出梁的曲率函數，根據公式（4）可知，通過對曲率函數進行二次積分，并考慮邊界條件，可計算得出梁的撓曲線方程，具體計算公式如下：

公式（7）中，v（x）為撓曲線方程；C1和 C2為常數，可通過考慮梁的邊界條件計算得出。如若不考慮梁邊界條件的變化，C1和 C2按公式（8）、公式（9）進行計算：

基于曲率函數識別梁結構動撓度，則對梁結構進行動應變測試，利用上述應變-曲率-撓度的轉換關系識別出橋梁的動撓曲線，從而實現對動撓度的測量。

3 數值模擬

為了驗證本文提出的方法在識別梁結構動撓度的有效性和準確性。本小節對移動荷載作用下的簡支梁動撓度進行數值模擬。為模擬實際梁結構所受環境激勵影響，數值模擬中對梁結構施加了白噪聲激勵。模擬梁為工字型簡支梁，長500cm，高5cm，密度為2.7g/cm3，截面面積 2.52cm2，截面慣性矩 10.8cm4，彈性模量為70GPa。在對梁施加移動荷載之前，對梁施加一個均值為零，標準差為0.25g（g為重力加速度）的白噪聲激勵，移動荷載大小為10N，速度為1 m/s，作用時間為第3s開始，第8s結束。圖3所示為數值模擬梁的平面示意圖。

圖3 數值模擬梁的平面示意圖（單位：cm）

圖4 梁底1/3跨位置的應變響應

圖4所示為數值模擬梁底1/3跨位置的應變響應。利用梁底間距均勻的測點即1/6跨、1/3跨、1/2跨、2/3跨、5/6跨位置共5個測點的動應變數據進行基于曲率函數的簡支梁動撓度識別，識別過程中假設曲率函數為四次多項式，將上述5個測點的應變數據轉換為曲率數據，帶入求解并積分獲得梁動撓曲線，從而獲得梁上每個位置的動撓度。圖5所示為梁底1/4跨位置動撓度的識別值與理論值對比，圖6所示為梁底跨中位置動撓度的識別值與理論值對比。按照公式（10）進行誤差計算，結果如圖7所示。通過圖7可看出，利用本文提出的方法識別簡支梁在移動荷載作用及環境激勵下的動撓度誤差在3%以內，具有較高的精度。

圖5 移動荷載及環境激勵作用下梁1/4跨位置動撓度識別值與理論值對比

圖6 移動荷載及環境激勵作用下梁跨中位置動撓度識別值與理論值對比

圖7 移動荷載及環境激勵作用下簡支梁動撓度識別誤差

4 結論

本文提出了一種基于曲率函數的簡支梁動撓度識別方法。其基本原理是通過安裝應變傳感器進行梁結構動應變測試，利用結構的應變-曲率-撓度關系來識別出動撓曲線，進而實現對梁結構動撓度的測量。為了驗證提出方法的有效性及準確性，本文對簡支梁的動撓度進行了數值模擬。根據數值模擬的結果，得到以下幾點結論：

①利用本文提出的方法識別簡支梁在移動荷載及環境激勵作用下動撓度誤差在3%以內，具有較高的精度；

②根據理論推導可知，應變測點的布設位置及數量會對動撓度的識別結果產生影響。簡支梁數值模擬結果表明，按均勻設置原則，利用5個測點動應變足以較精確識別出簡支梁動撓度。

[1]孫鴻敏，李宏男.土木工程結構健康監測研究進展[J].防災減災工程學報，2003，Vol.23:38-44.

[2]楊建春，陳偉民，橋梁結構撓度自動監測技術的現狀與發展[J].傳感器與微系統，2006，Vol.25:1-3.

[3]沈圣，吳智深，楊才千等.基于分布式光纖應變傳感技術的改進共軛梁法監測結構變形分布研究[J].土木工程學報，2010，Vol.43:63-70.

[4]楊才千，陳紫妍，吳智深，洪萬.基于分布式光纖光柵傳感的結構變形監測研究[J].第四屆大跨徑橋梁結構損傷預警及狀態評估技術研討會，南京，2012，172:-179.

[5]徐文華，孫學棟.奇異值分解求線性最小二乘解的理論分析[J].貴陽學院學報，2009，Vol.4 No.4.