帶隔板矩形貯箱俯仰晃動(dòng)研究

應(yīng) 磊， 周 叮， 房忠潔

(1. 南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 211816；2. 揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225000)

在工程實(shí)際中，貯液與貯液結(jié)構(gòu)之間的耦合振動(dòng)是非常重要的一個(gè)問(wèn)題。對(duì)于上述問(wèn)題，常采用有限元、邊界元等數(shù)值方法進(jìn)行求解，當(dāng)邊界規(guī)則時(shí)，可通過(guò)解析方法[1]求解。尹立中[2]、高索文等[3]運(yùn)用兩種不同的Lagrange函數(shù)，建立了液固耦合系統(tǒng)的耦合動(dòng)力學(xué)方程，分別研究了矩形貯箱在水平與俯仰運(yùn)動(dòng)下的動(dòng)力特性與響應(yīng)。杜永峰等[4]基于剪切懸臂梁理論，對(duì)鋼筋混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)的自振頻率與振型進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)液動(dòng)壓力對(duì)頻率影響不可忽略，對(duì)振型影響不大。程選生等[5]研究了帶彈性隔板的雙向壁式鋼筋混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，給出了液動(dòng)壓力計(jì)算的簡(jiǎn)化公式。

貯液的對(duì)流晃動(dòng)常常會(huì)引起貯液結(jié)構(gòu)的破壞，為抑制液體晃動(dòng)，隔板是工程中常用的防晃措施。因此有必要對(duì)帶隔板貯箱的晃動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析。王佳棟等[6-7]通過(guò)流體子域法，對(duì)帶隔板圓柱形貯液結(jié)構(gòu)的自振特性與動(dòng)力響應(yīng)做了系統(tǒng)研究。房忠潔等[8]對(duì)帶隔板矩形貯液結(jié)構(gòu)的自振特性做了相應(yīng)的研究。

本文假設(shè)流體為無(wú)黏、無(wú)旋、不可壓縮的理想流體、小震作用下液面做線性微幅晃動(dòng)、貯箱與隔板均為剛性的，首先建立了水平激勵(lì)下的帶隔板矩形貯液結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)方程，通過(guò)液動(dòng)剪力與液動(dòng)彎矩相等，建立水平激勵(lì)下的等效力學(xué)模型，并通過(guò)該等效力學(xué)模型研究了俯仰運(yùn)動(dòng)下的貯液晃動(dòng)響應(yīng)。

1 基本方程

1.1 流體控制方程

在水平地震作用下,只需考慮結(jié)構(gòu)沿縱向或橫向運(yùn)動(dòng)的情形, 因此可將矩形貯液結(jié)構(gòu)在地震作用下的反應(yīng)問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題而近似地求解，故將貯箱與流體之間的相互作用簡(jiǎn)化成圖1所示模型。貯箱底部寬度為B，貯箱內(nèi)充液高度為H，隔板長(zhǎng)度為a，隔板所處高度為h。貯液密度為ρf。由于隔板厚度h遠(yuǎn)小于其他尺寸，可忽略不計(jì)，按圖2將流體區(qū)域劃分成4個(gè)子域Ωi(i=1,2,3,4)，各個(gè)子域內(nèi)流體的速度勢(shì)為φi(x,z,t)。根據(jù)流體動(dòng)力學(xué)理論，流體運(yùn)動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)滿足Lapalce方程：

(1)

Ωi中任意一點(diǎn)的速度：

(2)

圖1 貯箱及隔板 Fig.1 Tank and baffle

圖2 液體子域及界面 Fig.2 Sub-domains and interfaces

1.2 邊界條件

(3)

(4)

(5)

式中：fi(x,t)為自由液面晃動(dòng)的波高方程且滿足：

(6)

1.3 流體子域間界面方程

設(shè)P為流體子域內(nèi)的任意一點(diǎn)，Ωi1和Ωi2(i1

φi1|P∈Γk=φi2|P∈Γk

(7)

設(shè)n為不同子域交界面的法向量，則Ωi1和Ωi2在交界面Γk處的速度連續(xù)條件為：

(8)

2 水平運(yùn)動(dòng)方程的建立

2.1 速度勢(shì)函數(shù)的分解

將速度勢(shì)函數(shù)拆分成脈沖速度勢(shì)φA和對(duì)流速度勢(shì)φB兩部分和：

(9)

φA(x,z,t)和φB(x,z,t)分別滿足如下方程

2φA=0,2φB=0

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

2.2 子域法求解自由晃動(dòng)模態(tài)

設(shè)Φ為流體自由晃動(dòng)的振型函數(shù)，Φi為各個(gè)子域?qū)?yīng)的振型函數(shù)。由文獻(xiàn)[8]可得：

2Φi=0

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(16)～(19)可以看出，Φi的控制方程為二階線性偏微分方程，其邊界條件均為線性邊界條件。顯而易見(jiàn)，可采用疊加原理來(lái)求解Φi。設(shè)Φi為：

(20)

(21)

利用分離變量法便可求得各個(gè)子域內(nèi)流體速度勢(shì)的各分量，并將之代入式(18)～(19)即得含待定系數(shù)的級(jí)數(shù)方程，將所有級(jí)數(shù)截?cái)嘀恋贜項(xiàng)，通過(guò)積分消元消除空間坐標(biāo)得到特征方程，使用Matlab編程求解得到第n階(n=1,2,…,N)晃動(dòng)模態(tài)Φn與頻率ωn。

2.3 動(dòng)力響應(yīng)方程的建立與求解

設(shè)水平激勵(lì)作用下的對(duì)流速度勢(shì)為：

(22)

將φA和φB代入式(14)與式(15)得：

(23)

兩邊同乘Φn(x,H)并對(duì)x在0到B上進(jìn)行積分，可得動(dòng)力響應(yīng)方程：

(24)

式中：

(25)

在建立動(dòng)力響應(yīng)方程時(shí)，由于忽略了隔板與流體的阻尼特性，實(shí)際高估了貯液的晃動(dòng)響應(yīng)，因此計(jì)算結(jié)果是偏于安全的。

3 等效力學(xué)模型的建立

3.1 等效力學(xué)模型

根據(jù)伯努利方程，液體晃動(dòng)產(chǎn)生的液動(dòng)壓力為：

(26)

沿側(cè)壁積分，得到水平動(dòng)水剪力(水平向右)為：

(27)

分別對(duì)側(cè)壁、底部及隔板進(jìn)行積分，得到對(duì)底部中心的動(dòng)水彎矩響應(yīng)(順時(shí)針)為：

(28)

(29)

(30)

式中：

(31)

(32)

(33)

(34)

將式(27)～(30)截?cái)嘀恋贜項(xiàng)，有：

(35a)

(35b)

(35c)

(35d)

對(duì)式(24)，兩邊同時(shí)乘以Tn/Mn得：

(36)

對(duì)式(35a)變換得：

(37)

結(jié)合式(36)和式(37)可知，流體的每一階晃動(dòng)分量皆可拆分成相應(yīng)的對(duì)流分量與脈沖分量，而每一階對(duì)流分量與脈沖分量的等效質(zhì)量可由剪力相等條件確定：

第n階晃動(dòng)分量中對(duì)流分量等效質(zhì)量：

Tn,n=1,2,…,N

第n階晃動(dòng)分量中脈沖分量等效質(zhì)量：

對(duì)式(35b)～ (35d)作類似變換可得：

(38)

(39)

(40)

由第n階晃動(dòng)分量產(chǎn)生的動(dòng)水彎矩可以確立對(duì)應(yīng)階對(duì)流與脈沖質(zhì)量的等效高度，則：對(duì)側(cè)壁作用彎矩提供的第n階晃動(dòng)分量中對(duì)流與脈沖分量的等效高度分別為：

(41)

對(duì)底部作用彎矩提供的第n階晃動(dòng)分量中對(duì)流與脈沖分量的等效高度分別為：

(42)

對(duì)隔板作用彎矩提高的第n階晃動(dòng)分量中對(duì)流與脈沖分量的等效高度分別為：

(43)

綜合考慮側(cè)壁、底部、隔板的動(dòng)水彎矩，第n階晃動(dòng)分量中對(duì)流分量與脈沖分量的等效高度Hn與H0n分別為：

(44)

如圖3(a)，對(duì)于水平激勵(lì)下的連續(xù)流體的動(dòng)力響應(yīng)求解，可等效為N組等效力學(xué)模型的響應(yīng)和問(wèn)題。將等效地震激勵(lì)轉(zhuǎn)換成等效荷載激勵(lì)，得到圖3(b)所示的靜止地基上的等效荷載激勵(lì)力學(xué)模型。等效荷載滿足：

(45)

圖3 等效力學(xué)模型 Fig.3 Equivalent mechanical model

3.2 水平俯仰耦合晃動(dòng)

假設(shè)貯箱繞底部中心做俯仰運(yùn)動(dòng)，根據(jù)等效力學(xué)模型，考慮水平俯仰耦合運(yùn)動(dòng)，對(duì)流等效質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)控制方程為：

(46)

圖4 耦合晃動(dòng)模型 Fig.4 Coupling sloshing model

前N階晃動(dòng)分量貢獻(xiàn)的液動(dòng)剪力與彎矩分別為：

(47)

(48)

4 模型驗(yàn)證

A1=1，A2=0時(shí)，系統(tǒng)受水平激勵(lì)。圖5分別給出了x=1/3、2/3處的液面波高時(shí)程曲線的本文解與有限元軟件ADINA計(jì)算結(jié)果之間的時(shí)程對(duì)比曲線，由圖可知，兩者吻合良好。當(dāng)x=1/3時(shí)，兩者的峰值分別為0.030 6 m與0.030 0 m，峰值相對(duì)誤差為1.71%。當(dāng)x=2/3時(shí)，兩者的峰值分別為0.030 8 m與0.030 0 m，峰值相對(duì)誤差為2.36%。從而驗(yàn)證了本文建立的帶隔板貯箱在水平激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)相關(guān)理論的正確。

圖5 x=1/3、2/3處的液面波高時(shí)程曲線 Fig.5 Time history of height of wave at x=1/3、2/3

圖6分別給出了在不同激勵(lì)頻率ω=2和ω=5下，由等效力學(xué)模型與有限元軟件ADINA求解得到的水平動(dòng)水剪力時(shí)程對(duì)比曲線。當(dāng)ω=2時(shí)，ADINA解與本文解的峰值分別為1143.6 N和1 130.4 N，兩者峰值相對(duì)誤差為1.15%。當(dāng)ω=5時(shí)，ADINA解與本文解的峰值分別為4 264.9 N和4 317.1 N，兩者峰值相對(duì)誤差為1.22%。由圖6可知，兩者整體吻合良好，從而驗(yàn)證了水平激勵(lì)下等效力學(xué)模型的正確性。

圖6 ω=2、5時(shí)動(dòng)水剪力時(shí)程曲線 Fig.6 Time history of hydrodynamic shear when ω=2, 5

圖7 俯仰激勵(lì)下動(dòng)水剪力時(shí)程曲線 Fig.7 Time history of hydrodynamic shear under pitching loads

A1=0，A2=1時(shí)，系統(tǒng)受俯仰激勵(lì)。文獻(xiàn)[9]采用Housner模型[10]在SSI問(wèn)題中研究了矩形儲(chǔ)液結(jié)構(gòu)在水平與搖擺耦合運(yùn)動(dòng)下的動(dòng)力響應(yīng)，圖7給出了H=0.5，a=0.1，h=0.1時(shí)，本文等效力學(xué)模型同Housner模型在不同頻率(ω=30、2)的俯仰激勵(lì)下的水平動(dòng)水剪力對(duì)比時(shí)程曲線。當(dāng)隔板較短時(shí)，有隔板與無(wú)隔板兩者動(dòng)力響應(yīng)應(yīng)該一致。由圖可知，兩者雖有出入，但大體走勢(shì)一致，吻合良好，從而驗(yàn)證了用等效力學(xué)模型近似考慮平仰耦合運(yùn)動(dòng)的合理性。

5 參數(shù)分析

取A1=A2=1，同時(shí)考慮渡槽的水平運(yùn)動(dòng)與俯仰運(yùn)動(dòng)。定義俯仰因子β=[max(ShearP)-max(ShearL)]/ max(ShearL)。

圖8(a)給出了ω=2時(shí)，不同儲(chǔ)液高寬比(γ=H/B=0.5、1、1.5)下的平仰耦合動(dòng)水剪力時(shí)程曲線，其俯仰因子β分別為0.536 2、0.618 9、0.810 4。圖8(b)給出了不同高寬下的平仰耦合相對(duì)于各自的僅平動(dòng)下的動(dòng)水剪力的對(duì)比時(shí)程曲線。由圖8可知，相對(duì)矮胖的儲(chǔ)液結(jié)構(gòu)受俯仰晃動(dòng)影響較小，相對(duì)高瘦的儲(chǔ)液結(jié)構(gòu)則受俯仰晃動(dòng)影響明顯。

(a)

(b)圖8 不同H/B下的動(dòng)水剪力時(shí)程曲線 Fig.8 Time history of hydrodynamic shear under different H/B

圖9 隔板長(zhǎng)度及高度對(duì)俯仰因子β的影響 Fig.9 Influence of length and height of baffle on β

圖9(a)和圖9(b)給出了在ω=2時(shí)，不同隔板長(zhǎng)度a/B與高度h/H對(duì)β的影響。隔板高度一定時(shí)，隔板越長(zhǎng),β越大。隔板長(zhǎng)度一定時(shí)，隔板所處位置越高，β越大。且當(dāng)隔板較長(zhǎng)或所處位置較高時(shí)，增高或增長(zhǎng)隔板對(duì)β加劇最為明顯。

6 結(jié) 論

本文建立帶隔板矩形截面渡槽在水平激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)方程，然后構(gòu)造等效力學(xué)模型，通過(guò)等效力學(xué)模型考慮水平與俯仰耦合運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力響應(yīng)，對(duì)隔板長(zhǎng)度與高度、充液高寬比等參數(shù)進(jìn)行參數(shù)分析，得到如下結(jié)論。

(1) 高寬比較大時(shí)，考慮平仰耦合相對(duì)于純平動(dòng)下的動(dòng)力響應(yīng)放大明顯，應(yīng)予以考慮，相對(duì)矮胖的結(jié)構(gòu)，平仰耦合對(duì)動(dòng)力響應(yīng)影響較小，可按平動(dòng)考慮。

(2) 隔板越長(zhǎng)，所處位置越高，平仰耦合動(dòng)力響應(yīng)峰值越大，俯仰運(yùn)動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)峰值越大。

[ 1 ] 茍興宇, 王本利, 馬興瑞, 等. 液固縱向耦合系統(tǒng)的受迫響應(yīng)[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 1998, 11(2): 31-37.

GOU Xingyu, WANG Benli, MA Xingrui, et al. Forced response of vertical liquid-solid coupling system [J]. Journal of Vibration Engineering, 1998, 11(2): 31-37.

[ 2 ] 尹立中, 劉敏, 王本利, 等. 矩形貯箱類液固耦合系統(tǒng)的平動(dòng)響應(yīng)研究[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2000, 13(3): 113-

117.

YIN Lizhong, LIU Min, WANG Benli, et al. Study on dynamic response of the liquid-solid coupling system with the liquid in a rectangular container under horizontal excitation [J]. Journal of Vibration Engineering, 2000, 13(3): 113-117.

[ 3 ] 高索文, 尹立中, 王本利, 等. 矩形貯箱類液固耦合系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)特性分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2000,19(3): 19-21.

GAO Suowen, YIN Lizhong, WANG Benli, et al. Analysis on dynamic characteristics of the liquid-solid coupling system with liquid in a rectangular container under pitching excitation [J]. Journal of Vibration and Shock, 2000, 19(3): 19-

21.

[ 4 ] 杜永峰, 史曉宇, 程選生. 鋼筋混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)的液固耦合振動(dòng)[J]. 甘肅科學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 20(2): 45-49.

DU Yongfeng, SHI Xiaoyu, CHENG Xuansheng. Vibration of reinforced concrete rectangular liquid-storage structures with liquid-structure interaction [J]. Journal of Gansu Sciences, 2008, 20(2): 45-49.

[ 5 ] 程選生, 杜永峰. 彈性壁板下鋼筋混凝土矩形貯液結(jié)構(gòu)的液動(dòng)壓力[J]. 工程力學(xué), 2009, 26(6): 82-88.

CHENG Xuansheng, DU Yongfeng. The dynamic fluid pressure of reinforced concrete rectangular liquid-storage tanks with elastic walls [J]. Engineering Mechanics, 2009, 26(6): 82-88.

[ 6 ] 王佳棟, 周叮, 劉偉慶. 帶環(huán)形隔板圓柱形儲(chǔ)液罐中液體晃動(dòng)的解析研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2010, 29(2): 54-59.

WANG Jiadong, ZHOU Ding, LIU Weiqing. Analytical solution for liquid sloshing with small amplitude in a cylindrical tank with an annual baffle [J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(2): 54-59.

[ 7 ] 王佳棟, 周叮, 劉偉慶. 水平激勵(lì)下帶環(huán)形剛性隔板圓柱形儲(chǔ)液罐中流體的晃動(dòng)響應(yīng)[J]. 力學(xué)季刊, 2011,32(2): 166-172.

WANG Jiadong, ZHOU Ding, LIU Weiqing. Sloshing response of liquid in cylindrical tank with a rigid baffle under horizontal loads [J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2011, 32(2): 166-172.

[ 8 ] 房忠潔, 周叮, 王佳棟, 等. 帶隔板的矩形截面渡槽內(nèi)液體的晃動(dòng)特性[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2016, 35(3): 169-175.

FANG Zhongjie, ZHOU Ding, WANG Jiadong, et al. Sloshing characteristics of liquid in a rectangular adequate with baffle [J]. Journal of Vibration and Shock , 2016, 35(3): 169-175.

[ 9 ] LIVAOGLU R. Investigation of seismic behavior of fluid-rectangular tank-soil/ foundation systems in frequency domain [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2008, 28: 132-146.

[10] HOUSNER G W. Dynamic pressures on accelerated fluid containers [J]. Bulletin of Seismological Society of America, 1957, 47(1): 15-35.