具有運動速度的印刷紙板的穩定性分析

武吉梅， 邵明月， 王 硯， 武秋敏， 朱禮彬

(1.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院， 西安 710048； 2.西安理工大學 印刷包裝與數字媒體學院， 西安 710048；3.西安理工大學 土木建筑工程學院， 西安 710048)

印刷承印物種類日益多樣化，具有一定厚度并具有一定抗彎剛度的印刷紙板，如紙板，軟、硬煙標，壁紙，墻紙被廣泛的用做承印物來進行印刷。印刷機高速工作時，硬質薄板在印刷傳輸中由于橫向振動會產生撓度的彎曲變形[1]，從而引起印品的皺褶、劃傷等缺陷，嚴重影響印品的質量和精度。因此，研究運動印刷紙板的橫向振動問題對提高印品質量具有重要意義。

近年來，廣泛研究的包括弦線、梁，都已取得了較為成熟的研究成果。而對具有運動速度的印刷紙板承印物材料的研究還相對較少。近幾年，眾多學者也開始對印刷薄膜的振動和穩定性進行研究。Shin等[2]對軸向運動薄膜面外振動特性進行了研究，研究表明薄膜的固有頻率和振型與運動速度、邊界條件、薄膜張力比以及薄膜長寬比有關。Shin等[3]也在擴展的哈密頓原理的基礎上研究了軸向運動薄膜的面內及面外的振動問題。Kulachenko等[4-5]應用有限元法對由薄膜橫向振動所產生的褶皺及穩定性等非線性動力學問題作了研究。Vedrines等[6]用激光傳感器測量印刷薄膜的振動，并判斷出平面內的振動。Nguyen等[7-8]研究了軸向運動紙帶和薄膜在給定速度下的穩定性以及橫向振動控制問題。Banichuk等[9]研究了非均勻張力下運動紙帶的動態特性。吳曉[10]分析了具有中間支承薄膜的固有振動問題。王硯等[11]將伽遼金無網格法應用于壓電層的裂紋板的振動中，研究其振動及穩定性問題。趙鳳群等[12]對四邊固支矩形運動薄膜的非線性振動特性進行了分析。Wu等[13-16]對運動紙帶的橫向振動特性及橫向振動控制進行了研究。以上研究的薄膜橫向振動問題大多不考慮印刷承印物的抗彎剛度。

圖1為PRC250煙包專用機組式凹版印刷機。印刷過程中，具有較高軸向運動速度的紙板從各個印刷色組的印版滾筒和壓印滾筒之間通過，在二滾筒印刷壓力的作用下完成油墨圖文的轉移。論文的研究對象就是該設備的印刷運動紙板。機組式印刷機相鄰機組的印刷滾筒對印刷紙板的支承為邊界條件。應用運動薄板理論，建立印刷紙板的動力學模型。通過能量法及變分原理建立運動紙板的橫向振動微分方程，采用伽遼金無網格法求得紙板振動的復特征值方程。通過數值計算，確定不同邊界條件時印刷運動紙板的動力穩定區域。

圖1 陜西北人PRC250煙包專用機組式凹版印刷機 Fig. 1 Shaanxi Beiren PRC250 cigarette package special type of gravure printing unit

1 動力學模型的建立

圖2為PRC250印刷機紙板的印刷示意圖。相鄰的兩個色組(I1，P1)及(I2，P2)中，I1、I2分別為第一、二色組的壓印滾筒，P1、P2分別為第一、二色組的印版滾筒。紙板從兩組滾筒之間的接觸表面通過，兩組滾筒相對滾壓完成多色套印印刷。在工作過程中，高速運動的紙板作為運動薄板處理，其振動特性遵循薄板振動的理論和規律[17]。取印刷過程中兩對印刷副之間的紙板作為矩形薄板的研究單元，建立具有軸向運動速度v的印刷紙板的動力學模型如圖3所示。

圖2 PRC250印刷機紙板的印刷示意圖 Fig. 2 The paperboard printing diagram of the PRC250 press

圖3 具有軸向速度的紙板模型 Fig.3 The axial speed of printing paperboard

2 振動方程的建立

具有軸向運動速度的印刷紙板，其橫向振動方向的速度為:

(1)

具有軸向運動速度時，紙板的總動能是由兩部分組成的：一部分是由橫向振動產生，另一部分是由軸向運動產生，可表示為：

(2)

根據薄板理論的Kirchhoff假設，紙板彎曲時應變能為：

(3)

其中抗彎剛度D=Eh3/12(1-μ2)。

根據能量法可得具有運動速度的紙板的能量泛函[18]為：

(4)

對位移邊界條件直接引入罰函數，罰因子為α，其總能量泛函表達式可寫為

(5)

對具有軸向運動速度的紙板邊界引入罰函數后，其總能量泛函的一般變分式為：

(6)

將式(2)～(5)代入式(6)并通過變分原理得到具有軸向運動速度的紙板系統的變分式：

(7)

引入以下無量綱量

(8)

將式(8)代入式(7)中可得：

(9)

采用伽遼金無網格法對具有軸向運動速度的紙板系統進行振動分析時，根據移動最小二乘法，擬合得到近似無量綱橫向位移：

(10)

式中

Φ(ξ,η)=[φ1(ξ,η),φ2(ξ,η),φ3(ξ,η),…,φn(ξ,η)]

(11)

w(τ)=[w1(τ),w2(τ),w3(τ),…,wn(τ)]

(12)

將式(10)代入式(9)中，其中δw=δ(ΦT(ξ,η)×w(τ))， 由于變分δW的任意性，即可得到具有軸向運動速度紙板的無量綱形式的橫向振動方程:

(13)

其中質量矩陣M與剛度矩陣K是對稱矩陣。

3 復特征方程

設無量綱位移向量

w(τ)=Wejωτ

(14)

式中：ω表示具有運動速度的印刷紙板的橫向振動的無量綱頻率，W=[W1,W2,W3,…,Wn]T是n維列向量。

將式(14)代入式(13)中，可得齊次方程組：

KW+jωCW-ω2MW=0

(15)

W存在非零解的充分必要條件為：

|K+jωC-ω2M|=0

(16)

式(16)即為具有軸向運動的印刷紙板的復特征方程，它是ω的2n次代數方程。

4 計算分析

分別對四邊簡支及對邊簡支對邊自由兩種邊界條件下，具有軸向運動速度的印刷紙板的振動特性及穩定性進行計算和分析[19]。

4.1 四邊簡支的運動紙板

四邊簡支邊界條件為：

(17)

圖4 前三階無量綱復頻率實部和虛部隨無量綱速度的 變化曲線 Fig.4 The first three dimensionless complex frequency varied with the dimensionless axially moving speed

如圖4所示，得到四邊簡支邊界條件下，具有軸向運動速度的印刷紙板的第一、二、三階無量綱復頻率實部和虛部隨無量綱軸向運動速度c的變化曲線。從圖4可以看出，當無量綱速度c為0時，無量綱復頻率虛部為0。當逐漸增大到c=6.47時，此時第一階模態的復頻率實部減小為0，虛部不再為0，而是出現了正和負的兩個分支，此時印刷紙板處于發散失穩狀態。當c增大到c=7.78時，此時無量綱復頻率虛部變為0，紙板重新趨于穩定狀態。即c在(0, 6.47)區間時，紙板處于穩定狀態；c在(6.47, 7.78)之間時，紙板狀態為發散失穩。當c繼續增大到c=8.3時，此時虛部又變為正和負的兩個分支，第一、二階模態發生耦合，此時紙板發生耦合顫振。

4.2 對邊簡支對邊自由的運動紙板

對邊簡支對邊自由邊界條件為：

(18)

如圖5所示，得到對邊簡支對邊自由邊界條件下，具有軸向運動速度的印刷紙板的前三階無量綱復頻率實部和虛部隨無量綱軸向速度變化的曲線。

圖5 前三階無量綱復頻率實部和虛部隨無量綱 軸向運動速度的變化曲線 Fig.5 The first three dimensionless complex frequency varied with the dimensionless axially moving speed

由圖5可知：當c為0時，無量綱復頻率虛部為0，此時第一、二、三階無量綱頻率為實數。隨著c的增大，無量綱復頻率的實部減小，此時虛部一直保持為0。當c增大到c=5.54時，此時第一階模態的無量綱復頻率實部減小為0，虛部出現了正和負的兩個分支，此時印刷紙板發散失穩。當c增大到c=7.51時，此時無量綱復頻率虛部變為0，說明紙板又趨于穩定狀態。即無量綱速度c在(0, 5.54)區間時，紙板處于穩定狀態；c在(5.54, 7.51)之間時，紙板處于發散失穩狀態。

4.3 凹版印刷機印刷紙板穩定性分析

根據實際印刷工況，對PRC250機組式凹版印刷機的承印物紙板進行研究。表1為取兩滾筒之間的紙板的基本參數。

表1 PRC 250印刷機紙板的基本參數Tab.1 The basic parameters of the printing paperboardof PRC 250 press

(19)

在實際印刷中，PRC 250煙包專用機組式凹版印刷機的紙板對應邊界條件為對邊簡支對邊自由。當無量綱速度c=5.54時紙板處于發散失穩狀態。將c=5.54代入式(19)中，可得v=27.55 m/s，即印刷紙板的失穩臨界速度為27.55 m/s。在印刷過程中，達到該速度之前，印刷紙板一直會處于穩定的工作狀態。由于忽略周圍空氣阻力，此結果會比實際結果偏大。當實際印刷速度接近失穩臨界速度時，紙板會產生劇烈振動，從而影響套印精度及加工質量。

5 結 論

本文研究了具有軸向運動速度、具有一定抗彎剛度的印刷紙板的穩定性，得出如下結論：

(1)根據能量法及變分原理建立了具有軸向運動速度的印刷紙板的橫向振動微分方程，應用伽遼金無網格法對微分方程進行離散，得到了其動力學方程。

(2)通過數值求解，討論了不同邊界條件對紙板振動特性及穩定性的影響，同時得到具有軸向運動速度的紙板的前三階無量綱復頻率與無量綱軸向運動速度的關系。對邊簡支對邊自由邊界條件時，無量綱速度c在(0, 5.54)區間時，紙板處于穩定狀態；c在(5.54, 7.51)區間時，紙板處于發散失穩狀態。

(3)計算確定了PRC250機組式凹印機印刷運動紙板的失穩臨界速度為27.55 m/s，該結論為進一步優化印刷機結構，提高設備的工作穩定性提供了理論依據。

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