基于粒子群算法的重型車輛懸架路面友好性非線性優(yōu)化

王陸峰

(內蒙古交通職業(yè)技術學院 科研處， 赤峰 024005)

車輛的道路友好性受到路面不平度、車輛速度及懸架系統(tǒng)性能的影響很大。由于改善路面的不平度存在極大的客觀困難，因此，在汽車行業(yè)中，對于車輛設計人員而言，設計一款具備良好振動性能的優(yōu)質懸架系統(tǒng)成為改善車輛路面友好性的主導理念。目前，重型車輛普遍采用的仍然是被動懸架系統(tǒng)。這種懸架系統(tǒng)的兩個主要設計參數是彈簧剛度和阻尼系數[1]。懸架系統(tǒng)阻尼過大雖然能夠提供更好的穩(wěn)定性但卻降低了乘坐舒適度，阻尼過小則情況恰好相反。最優(yōu)的懸架系統(tǒng)參數應該最大限度的調和這種矛盾，進而使懸架系統(tǒng)整體性能最優(yōu)[2-3]。

根據懸架設計準則,車輛的乘坐品質主要源于人們的乘車舒適度。另一方面，從輪胎和路面的成本效益角度考慮，作用在路面上的輪胎動載荷也是重要的性能指標，尤其是重型車輛[4]。長期以來，人們已經認識到路面破損與輪胎動載荷服從四次冪定律。也就是說，輪胎動載荷增加10%將造成路面破損增加大約50%[5]。考慮到路面維護成本巨大，一種以輪胎動載荷為設計準則的重型車輛懸架路面友好性優(yōu)化方法受到工程設計人員的重視。然而，懸架系統(tǒng)設計中的目標函數往往是高度非線性的，并且存在多極值情況[6]。經典優(yōu)化算法通過方向梯度確定迭代過程中的搜索方向，這種方法得到的“最優(yōu)解”往往只是局部最優(yōu)解[7]。因此，設計的懸架系統(tǒng)是次優(yōu)的。針對這種情況，研究人員將遺傳優(yōu)化算法應用于車輛懸架優(yōu)化設計[8-10]。然而，進一步的研究表明，雖然遺傳算法可以獲得全局最優(yōu)解，但是在使用時需要對大量優(yōu)化算法參數進行合理設置。顯然，這對于設計人員的使用要求過于苛刻。

粒子群算法最早是由Kennedy和Eberhart提出，源于對鳥群捕食行為的研究。它是一種群智能隨機搜索方法，其主要優(yōu)點是易用性、魯棒性和良好的收斂性。文獻[11-13]的研究發(fā)現，在參數設置方面，粒子群算法比遺傳算法更具控制魯棒性，而且更容易選擇參數。

本文以四分之一汽車模型為研究對象，以輪胎最大動載荷最小化為目標，以非簧載質量的固有頻率為約束條件，建立了改善被動懸架系統(tǒng)性能的優(yōu)化模型，提出了一種基于粒子群算法的懸架路面友好性非線性優(yōu)化方法。該方法的最大優(yōu)點是可以快速得到一個較好的優(yōu)化結果，為設計人員后續(xù)的修改設計提供重要參數。因此非常適合較短時間內獲得懸架系統(tǒng)優(yōu)化設計參數的情況。本文方法為解決含有非線性問題的新型懸架系統(tǒng)快速優(yōu)化設計提供了一種新的可行途徑。

1 車輛懸架系統(tǒng)問題描述

1.1 控制方程

為了方便問題描述，考慮被動懸架車身和非簧載質量垂向運動，建立一個含有2個自由度的1/4重型車輛模型，如圖1所示。車輛模型包括底盤、懸架系統(tǒng)以及車輪及其組件。

圖1 1/4重型車輛模型 Fig.1 Quarter vehicle suspension mode

根據牛頓第二定律，車身與非簧載質量垂向運動微分方程為：

(1)

式中:mb為車身質量；mw為非簧載質量；ks和cs分別為懸架的彈簧剛度和阻尼系數；kt為輪胎剛度，忽略輪胎的阻尼；xb為車身垂向位移；xw為非簧載質量垂向位移；xr為路面位移。

1.2 路面激勵模型

引起車體振動的主要原因是路面不平度，路面不平度作為車輛振動輸入，主要采用基于大量路面隨機測量數據獲得的路面功率譜密度來描述其統(tǒng)計特性。

在時域分析時，需要產生路面不平度時間輪廓。通常有兩種方法，即由白噪聲通過積分器產生或由白噪聲通過成形濾波器產生。為了方便比較，本節(jié)直接給出一種與現實世界非常接近的路面激勵模型[14]，如下：

(2)

式中:a=0.035 m為路面凸起幅值，d=0.8 m為路面凸起寬度，V=0.86 m/s為車輛行駛速度，ωr=2πV/d。如圖2所示。

圖2 路面位移 Fig.2 Road displacement

頻域分析時的路面激勵模型通常分為兩種：一種是離散的或者周期性的不規(guī)則路面，如坑洼、裂縫帶和障礙等，這種路面不平度一般由確定性方法描述；另一種是由于磨損或者環(huán)境因素造成的隨機路面，通常由平穩(wěn)隨機過程描述，本節(jié)給出一種頻域內的平穩(wěn)Gauss型隨機過程描述[15]：

(3)

式中:G為路面粗糙系數；V為車輛行駛速度；f為路面頻率；n為路面粗糙指數。對于典型的路面，路面粗糙系數一般為G=5×10-6，路面粗糙指數為n=2.5。本文假設車輛行駛速度為V=20 m/s，路面頻率為f=0.25 Hz。

2 懸架非線性優(yōu)化模型

2.1 設計變量

懸架系統(tǒng)優(yōu)化設計的任務是在參數設計可行域內，尋找合適的系統(tǒng)參數，使得懸架系統(tǒng)的某種性能最優(yōu)。針對具體的懸架系統(tǒng)，懸架彈簧具有支撐車身質量的作用并能緩和不平路面的沖擊；減振器阻尼主要起抑制振動的作用，阻尼力越大振動消失地越快，但卻使與之并聯(lián)的彈性元件不能充分發(fā)揮作用，同時較大的阻尼力可能損壞與之相連的零件和車架。好的懸架系統(tǒng)應該對彈簧剛度和阻尼器阻尼進行匹配設計，因此，對于上節(jié)中考慮的汽車模型，本文將懸架系統(tǒng)彈簧剛度和阻尼系數選為優(yōu)化設計變量，用向量簡記為：

X=(ks,cs)

(4)

式中:ks和cs分別為懸架的彈簧剛度和阻尼系數。

2.2 約束條件

約束條件是對懸架系統(tǒng)某些性能指標進行強制性約束和限制，以保障設計后的懸架系統(tǒng)具有合理性和可行性。本文涉及到的約束條件包括非簧載質量的固有頻率和設計變量的取值范圍。

2.3 目標函數

乘坐品質直接反映乘車人員的舒適性，它是懸架系統(tǒng)性能要求之一。相比之下，從輪胎—路面整體的成本效益來看，作用在路面上的車輪動載荷(Dynamic Tyre Load, DTL)也是懸架系統(tǒng)設計時需要考慮的重要性能要求，特別是重型載貨汽車，車輪動載荷尤為重要。由于車輪動載荷是導致路面破壞根本誘因，因此本文將車輪動載荷的最大值作為優(yōu)化目標函數，優(yōu)化目標是最小化車輪動載荷的最大值，即：

f(X)=max(DTL)

(5)

在正弦激勵下(xr=eiωt)，對懸架系統(tǒng)控制方程(1)進行拉普拉斯變換，可以得到非簧載質量mw的頻響函數，如下：

(6)

式中:

A=ω4-iαb(1+h)ω3-βb(1+h)ω2B=βwω2+iαaβbω-βwβb

(7)

h=mb/mw,αb=cs/mbβb=ks/mb,βw=kt/mw

(8)

在實際路面激勵下，車輪動載荷的功率譜密度函數為：

(9)

式中:Sr(ω)為實際路面激勵的功率譜密度，并且有：

(10)

(11)

(12)

(13)

車輪動載荷的方差反映了動載荷的波動情況，因此，可以利用標準差表征車輪動載荷的最大值。根據車輪動載荷的功率譜密度函數式(9)，車輪動載荷最大值的計算表達式為：

(14)

值得說明的是，衡量汽車懸架性能的指標是多方面的，如車身加速度(Body Acceleration, BA)和懸架動行程(Suspension Working Space, SWS)等。理論上講，最優(yōu)的懸架系統(tǒng)應該是所有性能指標協(xié)同最優(yōu)的結果。為了簡化問題的復雜性，本文僅優(yōu)化車輪最大動載荷，以方便與Sun的研究方法進行比較。

綜合上述分析，可以得到懸架系統(tǒng)優(yōu)化設計模型：

(15)

式中:ω為非簧載質量的固有頻率；設計變量ks和cs的取值范圍與Sun的相同，ω的取值范圍參考文獻[14,16]。優(yōu)化模型中，車身質量、非簧載質量和輪胎剛度的取值分別為mb=4 450 kg，mw=550 kg和kt=1 705 449 N/m。

3 基于粒子群算法的懸架非線性優(yōu)化

3.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化設計主要包含以下流程：粒子初始化、目標函數評估與最優(yōu)值更新、速度更新、位置更新。結合式(15)建立的懸架系統(tǒng)優(yōu)化模型，可以得到基于粒子群算法的懸架優(yōu)化流程，如圖3所示。

在初始化粒子過程中，對群體中的每一個粒子逐一進行初始化，隨機生成其初始位置與初始速度。初始化后的粒子應該滿足約束條件中對可行解的要求，當粒子數量達到群體數量要求時，粒子初始化結束。

評估目標函數的主要工作是根據粒子所在位置對應的車輪動載荷最大值，分別將每個粒子所經歷的各位置中車輪動載荷最大值最小的一個位置向量保存為該粒子的個體最優(yōu)位置，用表示，并將所有個體最優(yōu)位置中車輪動載荷最大值最小的一個保存為群體最優(yōu)位置，用gbest表示。

粒子群中每個粒子的位置和速度根據式(16)更新：

(16)

圖3 優(yōu)化流程圖 Fig.3 Flow-chart of optimization procedure

在速度更新過程中，需要預先設定一個最大速度來控制粒子移動速度的范圍，當粒子某個維度的速度超出限制時，將其重置到與其相近的速度邊界上。對粒子的位置更新后，同樣需要對其驗證，只有當更新后的位置滿足所有約束條件，本次粒子的速度和位置更新才有效，否則就需要重新進行更新。

將所有的粒子都進行一次有效的更新之后，重新分析粒子的車輪動載荷最大值，并根據評估結果對個體最優(yōu)解和群體最優(yōu)解進行更新，至此，完成了粒子群優(yōu)化算法的一次迭代過程。重復過程直到迭代次數達到終止條件，優(yōu)化結束，此時的群體最優(yōu)解即為懸架優(yōu)化設計的最終結果。

3.2 優(yōu)化算法參數設置

由式(16)可知，粒子群優(yōu)化算法的主要參數包括粒子長度、慣量權重、加速系數、群體規(guī)模和迭代次數。根據懸架系統(tǒng)優(yōu)化問題的具體情況，本節(jié)對前三個參數進行設置。群體規(guī)模和迭代次數將在下節(jié)討論。

本文的懸架系統(tǒng)共有2個設計變量，即彈簧剛度和彈簧阻尼，因此每個粒子的位置向量y和速度向量v均為1×2維的數組。此外還需要保存粒子當前位置的車輪動載荷和歷史最優(yōu)車輪動載荷。綜合考慮每個粒子長度設置為6位，即1×6維的數組。該數組記錄了單個粒子的位置(彈簧剛度和彈簧阻尼)、速度(剛度增量和阻尼增量)、當前車輪動載荷和最優(yōu)車輪動載荷，如表1所示。

表1 優(yōu)化算法中粒子的參數設置Tab.1 Particle parameter setting of PSO

粒子群算法要求粒子在尋優(yōu)維度上取值是連續(xù)的，符合懸架系統(tǒng)設計變量取值要求。因此，設置粒子的1～2位取值范圍與實際取值范圍相同。在優(yōu)化過程中，為了避免粒子因搜索步幅過大而跳出設計可行域，將粒子的3～4位取值范圍統(tǒng)一設置為對應的位置變化范圍的10%，列于表1中。

慣量權重和加速系數影響粒子向最優(yōu)位置靠近的速度。一般將兩個加速系數設置為相等的值表示對個體和群體最優(yōu)位置兩個引導方向的同等重視。本文中，慣量權重設置為W=0.729，兩個加速系數都設置為c1=c2=1.494 45。根據更新公式(16)，結合表1中粒子的具體含義，可以很容易得到更新的粒子參數。

3.3 懸架優(yōu)化設計的粒子群算法實現

對于式(15)的優(yōu)化問題，求解時設置了不同的粒子群規(guī)模Np和迭代次數Ni，優(yōu)化結果列于表2。從表中可以看出，粒子群的規(guī)模和算法迭代次數對最優(yōu)解的影響較大，粒子群規(guī)模的增大或者優(yōu)化迭代次數的增加都會降低最大車輪動載荷。然而，由于在粒子群算法中，搜索向量是隨機產生的，因此，最優(yōu)解表現為輕微的上下波動。對于Np≥70，Ni=1 500的情況，最優(yōu)解比較穩(wěn)定。針對Np=100，Ni=1 500的情況，進行三次重復優(yōu)化求解，每次獲得的最優(yōu)解均相同，列于表中。

表2 不同粒子群規(guī)模和迭代次數的優(yōu)化結果Tab.2 Minimum values for the maximum DTL(kN) fordifferent Np and Ni

為了與遺傳算法進行比較，選定粒子群算法種群數量為100，進行1 500次迭代后，懸架系統(tǒng)設計參數的最優(yōu)解為：懸架剛度為123 817 N/m；阻尼系數為21 062 Ns/m。目標函數的收斂歷程如圖4所示。與此同時，圖5給出了遺傳算法的收斂歷程。

圖4 粒子群算法收斂歷程 Fig.4 The convergence of PSO

圖5 遺傳算法收斂歷程 Fig.5 The convergence of GA

對比兩種算法的收斂歷程可以發(fā)現，在同樣的種群規(guī)模和迭代次數情況下，粒子群算法中各粒子的最大動載荷最小值從13.69 kN變?yōu)?2.15 kN，下降了1.54 kN，車輪最大動載荷平均值從20.87 kN降低到13.79 kN，下降了7.08 kN；遺傳算法種群中個體的最大動載荷最小值從13.90 kN變?yōu)?2.73 kN，下降了1.17 kN，車輪最大動載荷平均值從20.10 kN降低到13.69 kN，下降了6.41 kN。顯然，無論從最大動載荷的最小值還是平均值，粒子群算法的降幅均超過了遺傳算法。

同時，從收斂歷程還可以看到，粒子群算法在第277次和909次迭代時均有一次明顯的降低，在1 130次和1 250次迭代過程中又有緩慢的下降，此后直到優(yōu)化結束一直保持不變，這表明算法已經找到了“最優(yōu)解”；遺傳算法的目標函數值則有多次緩慢下降過程，并且在1 500次迭代后仍有下降的趨勢，這表明程序此時仍有繼續(xù)搜索的空間，同時表現出搜索過程緩慢。

4 懸架性能分析及討論

為了說明粒子群優(yōu)化設計方法的有效性，本節(jié)分別計算了遺傳算法優(yōu)化設計的懸架系統(tǒng)與本文方法設計的懸架系統(tǒng)的時域性能和頻域性能，包括：懸架動行程和車輪動載荷。這些性能指標直接影響車輛的舒適性和平順性。

兩種優(yōu)化設計方法獲得的懸架系統(tǒng)參數列于表3，其中遺傳算法獲得的懸架系統(tǒng)參數來源于Sun的研究。

表3 最優(yōu)化懸架參數Tab.3 Optimum suspension parameters

4.1 時域分析與頻域分析

采用式(2)的路面模型作為激勵，對懸架系統(tǒng)進行瞬態(tài)響應分析。懸架系統(tǒng)的瞬態(tài)響應如圖6～7所示。與此同時，根據圖6～7的瞬態(tài)響應結果，表4列出了懸架系統(tǒng)性能評價指標峰-峰值(Peak-To-Peak, PTP)及性能提高百分比。

圖6 懸架動行程隨時間變化歷程 Fig.6 The time history of SWS

對懸架系統(tǒng)控制方程(1)進行拉普拉斯變換，可以得到懸架系統(tǒng)的頻響方程。采用式(3)的隨機路面模型作為激勵，在0.25～20 Hz范圍內對懸架系統(tǒng)的頻域響應進行分析，圖8～9為懸架系統(tǒng)性能指標的功率譜密度。在隨機路面激勵下，懸架系統(tǒng)通過性能指標的均方根值(Root-Mean-Square, RMS)評價，列于表4。

圖8 懸架動行程的功率譜密度 Fig.8 Power spectral density of SWS

圖9 車輪動載荷的功率譜密度 Fig.9 Power spectral density of DTL

根據懸架系統(tǒng)的響應結果，可以得到如下內容：

(1)針對輪胎動載荷指標，本文懸架系統(tǒng)具有更小的峰-峰值和均方根值。與遺傳算法設計的懸架系統(tǒng)相比，輪胎動載荷指標的峰-峰值和均方根值分別減小了58.3%和26.1%。然而，懸架動行程指標的峰-峰值和均方根值卻分別增大了55.3%和32%。

(2)瞬態(tài)響應的弛豫時間(非穩(wěn)定狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的調整時間)也明顯不同。本文懸架系統(tǒng)的弛豫時間較短，瞬態(tài)響應的循環(huán)振動次數相對較少，振動更平緩。從功率譜密度分布來看，本文懸架系統(tǒng)輪胎動載荷的功率譜密度分布比較均勻，能量分布在較寬的頻帶上。然而，懸架動行程性能卻變差，其功率譜密度更集中，能量分布在很窄的頻帶上。

表4 懸架性能指標峰-峰值，均方根值及性能提高百分比Tab.4 PTP values, RMS values and improvement ratios ofsuspension under road disturbance excitation

4.2 本文方法與遺傳算法對比討論

根據4.1節(jié)的懸架系統(tǒng)分析結果可以發(fā)現，粒子群算法優(yōu)化設計的懸架系統(tǒng)，車輪動載荷性能優(yōu)于遺傳算法獲得的懸架系統(tǒng)，然而，懸架動行程性能不僅沒有提高反而降低了。上述結果歸因于單目標優(yōu)化模型。汽車懸架是一個復雜的結構系統(tǒng)。本質上，它是一個多目標優(yōu)化問題。然而，本文僅對車輪動載荷進行了優(yōu)化。由于沒有優(yōu)化懸架動行程，因此這方面性能的優(yōu)劣難以得到保證，既有可能變優(yōu)，也很可能劣化。從路面友好性角度出發(fā)，綜合考慮這兩個性能指標，本文懸架系統(tǒng)具有相對較好的性能。

此外，兩種優(yōu)化算法中目標函數的收斂歷程也表現出明顯的差別(參見圖4和圖5)。造成這種差別的原因是兩種算法搜索策略的不同。在遺傳算法中，遺傳信息是相互共享的，整個種群比較均勻地向最優(yōu)區(qū)域移動，而在粒子群算法中，信息是單向流動的，算法始終保存粒子的個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置，這兩個最優(yōu)位置同時影響粒子的搜索方向，因此粒子群算法會快速地朝向最優(yōu)解搜索。

值得提醒的是，一個實際懸架系統(tǒng)的設計最優(yōu)解空間是客觀存在的。兩種算法最終都可以收斂到“最優(yōu)解”。但是，由于遺傳算法中最優(yōu)個體只是被選擇的概率更大而已，因此搜索方向不如粒子群算法明確，造成遺傳算法的收斂速度相對較慢。在大多數情況下，粒子群比遺傳算法可以更快地收斂于最優(yōu)解，并且沒有遺傳算法繁雜的參數調節(jié)，易于編程實現。

綜上所述，根據懸架優(yōu)化問題的具體要求，如果需要快速地得到一個較好的結果，然后在此基礎上進行人工修改設計，則可以采用粒子群優(yōu)化算法，如果計算時間充足而又缺乏足夠的設計經驗，則可以采用遺傳算法直接得到“全局最優(yōu)解”。

5 結 論

本文從懸架系統(tǒng)的路面友好性出發(fā)，以車輪最大動載荷最小化為優(yōu)化目標，以非簧載質量固有頻率為約束條件，建立了重型車輛被動懸架系統(tǒng)的非線性優(yōu)化模型。利用粒子群優(yōu)化算法求解該優(yōu)化問題獲得了性能優(yōu)良的懸架參數。與此同時，結合粒子群算法和遺傳算法優(yōu)化設計的懸架系統(tǒng)性能對比分析，深刻討論了兩種優(yōu)化算法的本質區(qū)別。由于粒子群算法具有收斂性強、魯棒性好和編程簡單等優(yōu)點，因此非常適合較短時間內獲得懸架系統(tǒng)優(yōu)化設計參數的情況。注意的是，最優(yōu)的懸架系統(tǒng)應該是所有性能指標協(xié)同最優(yōu)的結果。本文僅以車輪最大動載荷為目標進行懸架參數設計，實際上限制了最優(yōu)解空間。為了得到性能全面的懸架系統(tǒng)，多目標優(yōu)化模型是必然選擇。

本文方法為解決含有非線性問題的新型懸架系統(tǒng)快速優(yōu)化設計提供了一種新的可行途徑。

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