彈性邊界徑向功能梯度壓電環板面內振動

胡統號， 沈紀蘋， 姚林泉

(蘇州大學 城市軌道交通學院， 江蘇 蘇州 215131)

板的振動分為面外振動(或橫向振動)和面內振動，許多學者從不同角度應用不同方法對板的面外振動做了大量研究，而對面內振動的研究較少。近年來，隨著板結構高頻振動在工程中的應用，如盤式剎車片、驅動器硬盤和軌道車輛輪對等結構在運行中產生噪聲的消除與振動的控制，故板結構面內振動的研究受到了更多的關注。面內振動作為板結構振動中的高頻成分，不僅在能量傳播中起主導作用，而且影響著低頻振動[1]，因此對板結構的面內振動特性的研究具有重要意義。

Ambatid等[2]利用薄板和薄壁環中波的傳動方程，求解了薄板和薄壁環面內自由振動頻率，并指出軸對稱薄板和薄壁環的面內振動包含面內純剪切振動和面內純徑向振動，而非軸對稱薄板和薄壁環的面內振動是純剪切振動和純徑向振動的組合。Irie等[3]利用狀態空間法獲得各向同性圓環板在四種邊界條件下的面內自由振動頻率的解析解，討論了環板內外徑比對頻率的影響。陳偉球等[4-5]利用狀態空間法分別求解了橫觀各向同性功能梯度矩形板和功能梯度壓電矩形板的自由振動問題，文中根據邊界將面內振動和面外振動分開，給出了各自求解頻率的特征方程。Zhong等[6]發展了該方法，將其用于四邊簡支的功能梯度壓電矩形板的自由振動和受迫振動問題。Farag等[7]利用Bessel函數和三角函數給出了外邊固定各向同性圓板的解析解，并給出了軸對稱和非軸對稱狀態下圓板的振型圖。Park[8]利用Hamilton原理，獲得了四周固定的非軸對稱各向同性圓板的面內振動耦合微分方程，并引入赫姆霍茲分解，將耦合的振動方程解耦，從而獲得了該問題的解析解。Bashmal等[9-10]基于二維平面應力假設，利用Rayleigh-Ritz法求得了經典邊界(自由，固定)和點彈性支撐邊界下各向同性環板面內自由振動的解析解。Hashemi等[11-12]基于一階剪切理論，求解了功能梯度圓環板和帶有壓電層的功能梯度圓環板的面內和面外耦合振動的解析解,并討論了不同邊界條件對頻率的影響。Kim等[13]利用三角函數和Bessel函數給出了外邊受彈性支撐的圓板面內自由振動的解析解，并通過討論彈性支撐的剛度給出了外邊自由和固定情況下圓板的振動頻率特性和模態特性。蒲育等[14]基于線彈性體理論，利用微分求積法求解了各向同性材料薄圓環板自由振動數值解,討論了四種邊界條件下圓環板面內振動的頻率特性。滕兆春等[15-18]在此基礎上,將該方法分別應用于功能梯度薄圓環板的面內自由振動、溫度影響下的功能梯度圓環板面內自由振動、厚度圓環板的面內自由振動和軟芯夾層圓環板的面內自由振動。Wang等[19]基于平面應力假設，求得了簡諧電壓作用下的徑向功能梯度壓電圓環傳感器共振與反共振頻率的解析解。蒲育等將微分求積法應用于矩形板，求解了彈性約束邊界下矩形板面內自由振動的無量綱頻率特性。

本文在前人的基礎上，考慮徑向功能梯度壓電環板的機電耦合作用，研究內外邊彈性約束下徑向FGPM環板的無量綱頻率特性。討論了內外徑比、梯度指數、彈性邊界的彈性剛度和壓電效應對頻率的影響；通過對徑向FGPM環板模態特性進行研究，揭示了面內振動中徑向振動和剪切振動的耦合特性，得到了具有普遍可遵循的規律，對工程實際應用具有指導意義。

1 基本方程

如圖1所示，考慮徑向功能梯度壓電薄環板，上下表面不受載荷作用，內外半徑分別為a和b，薄板厚度為l(遠小于b)，在環板內外邊界沿徑向和周向均勻分布的彈簧，則該板處于平面應力狀態。其彈性剛度分別為kni,kno,kτi和kτo，下標n代表沿法線方向，τ代表沿切向，i代表位于內徑處，o代表位于外徑處。

考慮材料為徑向功能梯度壓電材料，一般材料物性參數以冪函數或指數函數變化，假設材料徑向物性參數按冪函數變化

(1)

式中：P為材料物性參數，包括彈性模量、壓電常數、介電常數和密度;Pi和Po分別表示內徑和外徑處的物性參數;p代表功能梯度冪指數;r代表徑向坐標。研究表明，泊松比的變化對于功能梯度板的力學性能影響較小[20-21]，可以忽略其變化，所以一般假設泊松比為常數，本文同樣假設泊松比為常數。

(a)

(b)圖1 彈性邊界上徑向功能梯度壓電環板 Fig.1 Radial FGPM annular plate resting on elastic foundation

在柱坐標(r,θ,z)中，徑向位移分量為ur=ur(r,θ,t)，周向位移分量為uθ=uθ(r,θ,t)，根據二維線彈體理論，幾何方程為

(2)

式中：εrr,εθθ和γrθ分別表示徑向正應變、周向正應變和切應變。

壓電材料的本構方程為

(3)

式中:σrr,σθθ和τrθ分別表示徑向正應力、周向正應力和切應力;Drr和Dθθ分別為徑向和周向電位移;Φ=Φ(r,θ,t)表示電勢;cij表示彈性模量;eij表示壓電常數;λii表示介電常數。

Maxwell電位移守恒方程

(4)

運動微分方程

(5)

式中:iir和iiθ表示對時間的二次導數，ρ為密度。

對于內外邊彈性約束下的環板，其力學邊界條件為

(6)

對于電場，考慮兩種電學邊界條件

電學開路：Φ|r=a=Φ|r=b=0 電學閉路：Drr|r=a=Drr|r=b=0

(7)

引入無量綱參數及變量

(8)

由式(2)和式(8)可得無量綱幾何方程為

(9)

由式(3)和式(8)可得無量綱本構方程為

(10)

由式(4)和式(8)可得無量綱Maxwell電位移守恒方程為

(11)

由(5)式和(8)式可得無量綱運動微分方程為

(12)

由式(6)和式(8)可得無量綱力學邊界條件為

(13)

由式(7)和式(8)可得無量綱電學邊界條件為

電學開路：φ|ξ=η=φ|ξ=1=0 電學閉路：Dr|ξ=η=Dr|ξ=1=0

(14)

將式(9)和式(10)代入式(12)和式(11)，可得用位移及電勢表示的平衡方程和Maxwell電位移守恒方程

(15)

系數中，□′表示變量對ξ的一階導數。

根據參考文獻[22],對于面內自由振動的環板，位移場可寫成時間分量和位移分量分開的諧波形式，當位移假設成諧波形式時，相應的應變也是諧波形式，因此，由應變產生的電勢也假設為諧波形式，具體表達如下

(16)

將式(16)代入式(15)，可得功能梯度環板面內自由振動振型的控制微分方程為

(17)

將式(9)和式(16)代入式(13)得用位移表示的力學邊界條件為

(18)

當Kni、Kno、Kτi和Kτo分別取不同的值時，可以得到不同的邊界條件：

自由邊界(F)：Kni=Kτi=0；

固定邊界(C)：Kni=Kτi=∞；

特殊邊界1(S1)：Kni=∞,Kτi=0；

特殊邊界2(S2)：Kni=0,Kτi=∞。

將式(9)和式(16)代入式(14)得用位移表示的電學邊界條件為

(19)

可以看出，式(17)是變系數二階耦合微分方程，直接求解是非常困難的，下面利用微分求積法(DQM)進行求解。

2 DQM離散化及特征值問題

微分求積法是將函數在求解區域內的每個點處的導數值用全部區域內若干個節點上的函數值的加權線性和來近似表示。因此，利用DQM可以將微分方程轉變為用節點處函數值表示的一組代數方程。在使用該方法時，有以下三個問題要確定:

(1)節點的選取，根據參考文獻[23]，FGPM環板在徑向上節點劃分采用如下公式

(20)

式中：N表示選取節點總數，η表示內外徑比。

(2)權系數矩陣的確定，根據文獻[24]，得到一階導數權系數矩陣顯示表達為

(21)

根據式(21)，二階導數權系數可用一階導數權系數求得

[Bij]=[Aij][Aij]=[Aij]2

(22)

根據式(20)～(22)，利用DQM對運動微分方程式(17)進行離散化，可得

(23)

其中：

(3)邊界條件的處理，二階微分方程求解每個端點只需一個邊界條件，引入邊界條件時直接將邊界條件節點坐標代入邊界條件即可。因此，用DQM分別離散邊界條件式(18)和式(19)，可得離散化的力學邊界條件為

(24)

離散化的電學邊界條件為

(25)

將微分方程式(23)與邊界條件式(24)和式(25)對應聯立便構成了不同邊界條件下功能梯度環板面內振動的邊值問題，該問題可用分塊矩陣的形式表示

(26)

式中:Kbb和Kbd為由運動方程導出的剛度矩陣，Kdb和Kdd為由邊界條件導出的剛度矩陣，M表示(3N-6)階矩陣，0表示各階零矩陣，具體表達如下

(27)

式中：I表示(2N-4)階單位陣；0表示各階零矩陣；qb和qd分別為環板內部和邊界處的節點位移列向量，具體表示為

qb=[Un2,Un3,…,Un(N-1),Vn2,Vn3,…,Vn(N-1),Ψn2,Ψn3,…,Ψn(N-1)]T

qd=[Un1,UnN,Vn1,VnN,Ψn1,ΨnN]T

由式(26)消去qd，可得功能梯度環板面內自由振動的特征值方程為

(28)

3 算 例

3.2 非壓電FGM環板的頻率

對于徑向功能梯度壓電環板自由振動的文章未見報道，因此沒有參考文獻來驗證本文獲得結果的有效性。但是對于非壓電功能梯度環板的面內自由振動已有報道[14]。因此。首先驗證該方法對于非壓電材料的面內自由振動特性求解的有效性。通過編寫Matlab程序可獲得方程(27)特征值問題的無量綱頻率(以下簡稱頻率)。算例中，節點數N=18，環向波數n取1和2，內外徑比η取0.2，0.4，梯度冪指數p取1和5。表1給出了內邊自由外邊加緊(F-C)和內外邊加緊(C-C)邊界條件下前3階頻率Ω,并將得到的結果與文獻[14]的結果對比,本文和文獻[14]采用相同的DQM數值方法和材料，但是文獻[14]假設泊松比是功能梯度變化的，而表1給出的本文數據假設泊松比為常數μ=(μm+μc)/2=0.294 4，其中μm和μc參考文獻[14]。從表1數據可以看出，泊松比對環板面內自由振動頻率影響很小，可以忽略不計，這與文獻[20-21]的結論相同。

表1 FG環板面內自由振動無量綱頻率Tab.1 FGM annular plate dimensionless frequency ofin-plane free vibration

3.2 徑向FGPM環板面內自由振動

3.2.1 徑向FGPM環板面內自由振動頻率特性分析

對于徑向FGPM環板的面內自由振動，在進行數值計算時徑向節點數N=18，討論F-C,C-F,C-C,S1-S2四種邊界條件下徑向FGPM環板的頻率特性，討論內外徑比η，功能梯度冪指數p、彈性約束的剛度系數以及壓電效應對頻率的影響。內外徑處的壓電材料分別采用鋯鈦酸鉛PZT-4和無鉛壓電陶瓷Ba2NaNb5O5，表2給出了這兩種壓電材料的一些常數。

表2 壓電材料常數Tab.2 material constant of some piezoelectric materials

(1)梯度冪指數p對頻率Ω的影響

圖2給出了FGPM環板在F-C,C-F,C-C三種邊界條件下，前5階面內自由振動頻率Ω隨梯度冪指數p的變化曲線，其中徑向節點數N=18,內外徑比η=0.4，周向波數n=1，梯度冪指數p取值范圍為[0,100]。從圖中可以看出，前5階頻率Ω隨p的增大而減小，最后趨于一個穩定值，這是因為當η一定時，p越大，FGPM環板的體積分數越小。因此，當p趨于無窮大時，PZT-4體積分數趨于零，根據式(1)，P(r)=Po為常數，得到的頻率為均勻壓電材料(Ba2NaNb5O5)的頻率。

(2)彈性邊界的彈性剛度對頻率Ω的影響

圖3給出了當n=1，p=1，η=0.4時，假設同一邊界上切向剛度等于法向剛度，內邊分別自由和固定情況下，外邊彈簧剛度系數kno和kτo與頻率之間的關系曲線，從曲線可以出，隨著外邊彈簧剛度系數kno和kτo的增大，前五階頻率逐漸增大，最后趨于一個穩定值。具體而言，對于內邊自由時，該穩定值為F-C邊界條件下對應的前5階頻率；而對于內邊固定時，該穩定值為C-C邊界條件下對應的前5階頻率。

(a)F-C (b)C-F (c)C-C圖2 F-C,C-F,C-C邊界條件下梯度冪指數p與無量綱頻率Ω之間的關系曲線(n=1,η=0.4) Fig.2 Graded index p vs dimensionless natural frequencies Ω with F-F,F-C,C-F,C-C boundary conditions(n=1,η=0.4)

(a)內邊自由 (b)內邊夾緊圖3 彈簧剛度系數Kno和Kτo與前五階無量綱頻率Ω之間的關系曲線(n=1，p=1，η=0.4) Fig.3 Spring stiffness coefficient Kno and Kτo vs dimensionless natural frequencies Ω(n=1，p=1，η=0.4)

圖4給出了當n=1，p=1，η=0.4時，一種特殊邊界條件S1-S2的剛度系數與基頻Ω1的關系曲線。其中Kni=Kτo=∞，而Kτi和Kno在區間[0,104]之間變化，且采用對數坐標。從圖4(a)可知，當切向剛度Kτi取定值時，當Kno∈[0.1,100]時，基頻Ω1隨著法向剛度Kno的增大而增大，增長趨勢較為明顯；而當Kno>100時，基頻Ω1隨著法向剛度Kno的增長趨勢趨于平緩，當法向剛度系數Kno增大到一定值時，基頻基本保持不變Ω1。從圖4(b)可知，當法向剛度Kno取定值時，基頻Ω1隨切向剛度Kτi的增大具有類似圖(a)的變化趨勢。事實上，圖3和圖4表明，當彈簧剛度系數增大到一定值時，彈性過渡到“剛性”狀態，彈性剛度對基頻的影響就非常小了，彈性剛度越大，頻率越高。當Kτi=Kno=1 000時，Ω1=3.177，這與C-C邊界條件下的計算結果(Ω1=3.179)非常吻合，此時S1-S2邊界條件下的環板可視為內外固定C-C環板。通過對比圖4(a)和(b)，可以看出法向剛度Kno比切向剛度Kτi對基頻Ω1的影響更為顯著。

(a)Kno與Ω1關系 (b)Kτi與Ω1關系圖4 S1-S2邊界條件下剛度系數Kno和Kτi與基頻Ω1的關系曲線(n=1，p=1，η=0.4) Fig.4 Spring stiffness coefficient Kno and Kτi vs dimensionless fundamental frequencies Ω1(n=1，p=1，η=0.4)

(a)F-C (b)C-F (c)C-C圖5 F-C,C-F,C-C邊界條件下內外徑比η與一階無量綱頻率Ω1之間的關系曲線(n=1) Fig.5 Radius ratios η vs the 1st dimensionless natural frequencies Ω1 with F-C,C-F,C-C boundary conditions(n=1)

(3)內外徑比η對頻率Ω的影響

圖5給出了FGPM環板面內自由振動在F-C,C-F,C-C三種不同的邊界條件下，一階頻率Ω1隨內外徑比η的變化曲線，其中徑向節點數N=18，周向波數n=1，內外徑比η取值范圍為[0.2,0.8]。從圖中可以看出：當p一定時,一階頻率Ω1隨著內外徑比η的增大而增大，當η一定時，一階頻率隨著梯度冪指數p的增大而減小。

(4)壓電效應對頻率Ω的影響

假設表2中兩種壓電材料常數中的彈性模量保持不變，而各壓電系數和介電系數變為零，從而得到兩種非壓電材料組成的徑向功能梯度(FGM)環板。圖6給出了F-C,C-F,C-C邊界條件下，周向波數n=1，內外徑比η=0.4時，材料的壓電效應對頻率的影響曲線，其中虛線和實線分別代表徑向FGPM環板和徑向FGM環板第一、三和五階頻率隨梯度冪指數的變化曲線。

(a)F-C (b)C-F (c)C-C圖6 F-C,C-F,C-C邊界條件下壓電效應與無量綱頻率Ω之間的關系曲線(n=1,η=0.4) Fig.6 Radius ratios η vs the 1st dimensionless natural frequencies Ω with F-F,F-C,C-F,C-C boundary conditions(n=1, η=0.4)

從圖6(a)～(c)可以看出：壓電效應使各階環板的面內自由振動頻率有不同程度的增大，且對于高階頻率的影響相對顯著。

3.2.2 徑向FGPM環板面內自由振動模態特性分析

由蒲育等研究可知，面內自由振動分為面內徑向振動和面內剪切振動，尤其在軸對稱情況下面內徑向振動和面內剪切振動是獨立存在的，僅從頻率數值上無法區分這兩種振動成分，為了區分這兩種頻率，有必要對面內振動的模態特性進行研究。

圖7 F-C邊界條件下徑向FGPM環板面內自由振動振型圖(p=1，η=0.2，n=1～4) Fig.7 Mode shapes for in-plane free vibration of radial FGPM annular plate with F-C boundary condition (p=1，η=0.2，n=1～4)

圖8 C-F邊界條件下徑向FGPM環板面內自由振動振型圖(p=1，η=0.2，n=1～4) Fig.8 Mode shapes for in-plane free vibration of radial FGPM annular plate with C-F boundary condition (p=1，η=0.2，n=1～4)

圖9 C-C邊界條件下徑向FGPM環板面內自由振動振型圖(p=1，η=0.2，n=1～4) Fig.9 Mode shapes for in-plane free vibration of radial FGPM annular plate with C-C boundary condition (p=1，η=0.2，n=1～4)

圖10 S1-S2邊界條件下徑向FGPM環板面內自由振動振型圖(p=1，η=0.2，n=1～4) Fig.10 Mode shapes for in-plane free vibration of radial FGPM annular plate with S1-S2 boundary condition (p=1，η=0.2，n=1～4)

圖7～圖9給出了三種經典邊界條件(F-C,C-F,C-C)下，梯度冪指數p=1，內外徑比η=0.2，環向波數n=0～4時，徑向FGPM環板前四階模態圖，左下角數字是該模態對應的頻率值。從圖7～圖9可以看出：其中當n=0時，FGPM環板處于軸對稱狀態，面內自由振動中的徑向和剪切振動獨立存在，僅發生徑向振動稱為純徑向模態，僅發生剪切振動稱為純剪切模態[12]；當n≥1時，面內自由振動中的徑向振動和剪切振動耦合，即同時存在這兩種振動成分，這種模態被稱為混合模態[13]。

圖10給出了S1-S2邊界條件下，梯度冪指數p=1，內外徑比η=0.2，環向波數n=0～4時，徑向FGPM環板前四階模態圖。從圖中可以看出：在內徑處，僅存在切向位移，而無法向位移；相反在外徑處，只存在徑向位移，而無切向位移。這一特性與特殊邊界S1(Kn=∞,Kτ=0)和特殊邊界S2(Kn=0,Kτ=∞)的假設一致。同理，從圖7～圖9可以看出：對于自由邊界，同時存在切向位移和法向位移；而對于固定邊界，既無切向位移，也無法向位移。

4 結 論

基于二維線彈性體理論研究了徑向FGPM環板的面內自由振動，得到FGPM環板面內自由振動的運動微分方程，用DQM求解得到了FGPM環板面內自由振動的頻率。將材料退化為非壓電材料時，本文得到的結果與已有的FGM環板面內自由振動結果相當吻合，驗證了泊松比對FGM板的力學性能影響較小的結論；在徑向節點數N=18時，所求結果就具有很高的精確度顯示了DQM法的精確性和高效性。

文中考慮了彈性邊界和兩種電學邊界條件組合情況下FGPM環板的面內自由振動特性。根據內外邊彈簧的剛度系數取值的不同可以將環板分為自由(F)、固定(C)、特殊邊界1(S1)和特殊邊界2(S2)四種不同的邊界形式。當有一邊固定(F-C,C-F,C-C)時，前五階頻率表現出一定的規律性，對工程應用具有一定的參考價值。本文考慮兩種情況下彈性邊界的彈性剛度對頻率的影響，一是假設切向剛度Kno和法向剛度Kτo相同時，當內邊分別自由和固定時，FGPM環板面內振動頻率隨著外邊彈簧彈性剛度Kno和Kτo的增大而增大，并最終趨于穩定值；另外討論了特殊邊界(S1-S2)下，基頻Ω1隨內邊切向剛度Kτi和外邊法向剛度Kno的變化規律，結果顯示，彈性邊界的彈性剛度越大，頻率越大，當剛度大到一定值后，彈性邊界過渡為剛性邊界，基頻趨于穩定值，根據該特性，工程中可以通過改變彈性邊界的剛度獲得所需頻率。因此，本文的研究對工程應用提供參考依據。

通過對徑向FGPM環板面內自由振動模態特性的分析，充分說明了在軸對稱狀態下，面內徑向振動和面內剪切振動獨立存在，并且區分了這兩種模態成分，給出了相對應的頻率值；而非軸對稱狀態下，面內徑向振動和面內剪切振動耦合存在，這一規律對于進一步了解徑向FGPM環板面內自由振動具體形式具有指導意義。

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