一級倒立擺的μ分析和μ綜合研究

張義辰

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

0 引 言

單級倒立擺是倒立擺系統中形式最簡單的一種模型，具有非線性性、不穩定性等特性，常被作為研究非線性控制、魯棒控制、最優控制、自適應控制等問題的經典模型。魯棒控制問題作為先進控制問題的典型代表，其中的H∞控制理論、H2控制理論、滑模控制理論等都是解決這類問題的經典理論，近年來成為控制領域研究的熱點。

關于控制算法保守性問題的分析與處理，學術界做了相當多的研究。李煒等[1]在新模型中引入時延下界，并且在證明過程中略去了模型轉換和交叉項放大等環境，引入了適當的自由權矩陣，解決了魯棒控制結果的保守性，并與傳統的LMIs算法相比較，揭示了傳統方法的保守性；馬靜等[2-3]重點從原理分析與公式推導方面說明了由于尋求公共Lyapunov矩陣而帶來的魯棒控制的保守性，并分別基于積分滑?？刂坪投嗝骟w不確定性區間震蕩控制方法改進了魯棒H2/H∞控制的保守性；楊忠[4]從模糊時滯系統出發，重點研究了如何在穩定條件下降低保守性的問題，提出了保成本控制條件、針對時變時滯模糊系統的保守性減小方法和區間變時滯模糊系統H∞控制的保守性減小方法；林慶強[5]則研究了不確定線性時滯系統H∞控制的保守性減小修正方法；PFIFERH等[6]則使用積分二次型約束進行了線性時變系統低保守性魯棒性能分析，從實驗結果上證實了保守性的降低。這些方法的共同之處在于都是通過一種新的方法或理論來規避原方法的保守性，力求通過其他算法的優勢來彌補這一劣勢，但是都沒有真正從傳統算法本身來修正該算法，降低保守性。然而，從老方法入手解決保守性問題，使得修正方法的可操作性明顯增強，省去了新理論的理解和復雜公式的推導，降低了難度，提高了效率。因此，研究控制方法本身的保守性修正問題很有必要。

本文將提出應用結構奇異值的理論來解決H∞控制的保守性問題，即對一級倒立擺系統進行μ分析和μ綜合(對文獻[7-8]總結出的倒立擺模型作適當處理)。

1 系統描述

一級倒立擺系統的示意圖如圖1所示。

圖1 一級倒立擺系統

該系統的的輸入信號u包含倒立擺期望角位移和臺車期望水平位移兩部分；干擾w主要包含摩擦、振動、沖擊等；輸出信號y包含倒立擺的實際角位移、臺車的水平實際位移；驅動元件主要是臺車的驅動電機；力位轉換器主要負責將輸入的位移信號轉換成力或者力矩信號；反饋控制器為負反饋控制器，由具體的控制算法求得。整個系統實際為軌跡跟蹤系統，跟蹤性是它的重要性能指標。

簡化模型可以寫成如下的形式：

(1)

(2)

u=u(t),w=w(t)

(3)

時變系數矩陣A和B主要受極點摩擦系數c和倒立擺擺桿質心位置l的影響，這兩個不確定參數的攝動是有界的、隨機性的，按照不確定參數的標準形式可表達為：

c=c0+kcd,kc=cmax-cmin

(4)

l=l0+kld,kl=lmax-lmin

(5)

式(4～5)中：c—極點摩擦系數；c0—極點摩擦系數基準值；l—擺桿質心位置，m；l0—擺桿質心位置基準值，m；kc，kl—權重系數,kc、kl∈R;δ—不確定函數，δ∈[-1,1]。

為了進一步簡化模型，降低研究的復雜程度，特將參數l確定為基準值l0，參數c不變，那么原模型就變成了只含有一個攝動參數c的系統模型，矩陣A的變化和參數l無關，而矩陣B1和B2變為常數矩陣，具體的形式如下：

(6)

(7)

式中：m—擺桿質量，kg；M—臺車質量，kg；g—重力加速度，取9.8 m/s2；Ra—電樞電阻，Ω；KT—電機力矩系數，Nm/A；KE—反向電勢系數，Vs/rad；r—臺車驅動輪半徑，m；Kg—齒輪比；J—轉動慣量，kg·m2。

人為定義不確定參數c的范圍為[-0.6,0],基準值為-0.3,將此基準值代入式(6)中，并結合文獻[11]第4部分的已知參數，矩陣A的標稱矩陣A0、干擾輸入矩陣B1、輸入矩陣B2的具體形式為：

進一步可得到系統的標稱形式為：

(8)

2 無擾狀態下的標準H∞控制

H∞控制是通過控制系統在最壞情況下的最大幅值來增強不確定系統魯棒性的方法，這種方法的性能指標是不確定系統的最大奇異值，即系統的H∞范數。實際應用表明，幾乎所有的H∞控制問題都可以轉化為標準H∞控制問題[9]，并可遵照下述結構圖求解，模型如圖2所示。

圖2 系統的魯棒分析基本模型

標準H∞控制問題如圖2(a)所示。圖2(a)中的G和K為已知的控制系統和待求的控制器；w,u,z,y分別代表有限維的外部輸入、控制輸入、被調輸出和測量輸出。標準H∞問題就是要尋找一個控制器K，使得閉環系統內部穩定，并且讓被調輸出z和外部輸入w間的傳遞函數Tzw的H∞范數取得最小值，總的來說就是求解問題，即：

(9)

求解這一問題，具體可以通過求解代數黎卡提方程或者求解線性矩陣不等式組來完成。求解標準H∞控制問題，從另一個角度來考慮，主要是運用了小增益定理，即保證：

‖G(jω)K(jω)‖∞<1

(10)

本例中采用LMI方法求解這一問題，無擾狀態下控制器的具體求解過程可參見文獻[10],這里給出求解結果：

K0=[539.939 7,126.341 2,143.245 1,61.453 7]

(11)

需要指出的是，小增益定理(10)是使系統具有魯棒穩定性和魯棒特性的最低條件，這一條件實際上可以等效地表示成：

(12)

即系統的最大奇異值不超過1，這就使得算出的標準H∞控制器不一定是最優控制器，從而使結果產生一定的保守性，這種保守性會讓優化后的系統不能真正達到性能指標的最優值，影響最終的控制效果。因此就需要一種方法來直觀地描述這種保守性，同時需要另一種方法來降低或者消除這種保守性。

3 一級倒立擺μ分析

3.1 μ分析方法

一級倒立擺的μ分析是以系統的結構奇異值理論為基礎提出的，結構奇異值衡量系統結構不確定性大小的一種值。確切地說，它是對使反饋系統不穩定的最小結構不確定性的一種量化處理，也是反饋系統本身穩定裕度的倒數。對于具有如圖2(b)所示的系統結構，其結構奇異值μΔ[M(s)]的形式為：

(13)

式中：Δ—快對角結構不確定性。

與系統的最大奇異值σmax(M)相比，結構奇異值μΔ(M)介于譜半徑ρ(M)和σmax(M)之間，即：

ρ(M)≤μΔ(M)≤σmax(M)

(14)

用結構奇異值μ來分析系統魯棒性時，常常將系統的各個結構性的不確定量匯總在一起，形式如同圖2(b)中的不確定性Δ，是一個塊對角結構。其中，M通常為已知系統G和已求控制器K的線性分式變換，即：

(15)

式中：M，M11，M12，M21，M22—廣義系統及其子塊；G—已知系統的傳遞函數；K—反饋控制器；Fl(·,·)—下線性分式變換。

該式實際反映了系統本身的魯棒穩定性，而系統M與不確定性Δ之間的線性分式變換又實際反映了系統的魯棒性能大小，是魯棒穩定性與魯棒特性的統一：

Fu(M,Δ)=M22+M21Δ(I-M11Δ)-1M12

(16)

式中：Fu(·,·)—上線性分式變換；Δ—不確定塊。

此時判斷已知系統是否滿足小增益定理，只需保證：

supμΔ(M)≤1

(17)

該條件要比單純的使用‖G(jω)K(jω)‖∞<1，即系統的最大奇異值σmax≤1要嚴密的多，故而彌補了一般方法保守性的缺點。

對不確定系統進行μ分析，通常是結合系統的具體形式，繪制出系統的結構奇異值μ隨頻率ω變化的曲線，該曲線能直觀地反映系統結構不確定性因素的變化范圍，變化趨勢、平均變化水平等信息，對于判斷系統是否穩定、分析系統魯棒特性、評價控制方法優劣性很有幫助。

3.2 一級倒立擺的μ分析

鑒于μ分析方法在評價控制方法優劣性方面的優勢，本例嘗試采用該方法來分析倒立擺系統，以便確認H∞控制的保守性。本研究先利用Matlab中的frd函數(頻響函數)將系統改寫成頻響函數的形式；再使用函數mussv(計算結構奇異值)計算系統在不同頻率值下的μ值的上界和下界，然后提取上界值，繪制上界值隨頻率ω的變化曲線，即μ分析曲線；最后計算系統的H∞范數，將其作為常函數，和μ分析曲線畫在同一坐標系內。

繪制結果如圖3所示。

圖3 修正前后系統的μ分析圖帶“□”標記的實線—修正后系統的最大奇異值σ0max；“□”標記—修正后系統的結構奇異值μ0；帶“○”標記的實線—修正后系統的最大奇異值σ1max；“○”標記—修正后系統的結構奇異值μ1

由圖3可以看出：經標準H∞控制方法優化后的系統，其結構奇異值的峰值和最大奇異值直接存在一定的間距，這表明實際求出的控制器K0并不是問題真正的最優解，結果存在保守性。

4 不確定系統的μ綜合問題

文獻[9]表明：修正原算法以降低或消除保守性這一問題可以轉化為不確定系統的綜合問題。

D-K迭代法是解決系統綜合問題的一種有效方法，它的主要思路是運用矩陣對角放縮的方法來計算的上界，同時得到滿足這一上界的最優控制器。對于一個滿足式(7)的廣義系統M，首先固定一標度矩陣D,求解標準H∞控制問題[11]：

(18)

求取最優控制器K，再固定控制器K，求解關于D的凸優化問題：

(19)

獲得新的標度矩陣Dk再以此為起點進行迭代計算，直至計算前后的兩個標度矩陣差距足夠小，便可求出修正的最優控制器Kopt。在初次求解時，初始的標度矩陣D0可確定為單位矩陣I，求解過程中，需要在每一步迭代計算完畢后對修正系統進行分析，檢查結構奇異值是否滿足公式(17)，若條件滿足則繼續迭代，若條件不滿足，則表明原系統無解。

在Matlab中應用D-K迭代算法設計控制器，主要是LMI工具箱和最優化函數fmincon交替使用，具體步驟如下[12]：(1)設D0=I,使用LMI工具配合最優解函數mincx求解標準H∞問題，求出最優解K0，并使用mussv函數計算優化系統的結構奇異值μ0；(2)將K0固定，標度矩陣Dk定為未知量，使用fmincon函數計算最優解Dopt；(3)檢驗‖Dopt-Dk‖是否小于給定值，比如1e-7,若條件滿足則終止迭代，若不滿足則返回步驟(1)重新計算。

值得注意的是，雖然使用該方法求出的最優解K并非全局最優解，但它對控制器本身的修正效果以充分的降低了保守性?；谏鲜龇椒ǎ瑢Ρ纠械目刂破鱇0進行μ綜合修正，經過一次迭代，最終求出修正之后的控制器可行解矩陣：

Kopt=[466.47,93.97,117.96,52.30]

5 驗證分析

修正控制器的驗證主要分3個方面：(1)通過μ分析檢驗標準H∞控制解的保守性是否得到了降低或者消除，評判標準主要是看修正后優化系統的μ曲線的峰值與最大奇異值是否重合或者距離在允許范圍內；(2)觀察控制器修正前后，優化后的倒立擺系統的控制性能有無變化，這主要從擺的鎮定性和擺連接體的位移跟蹤特性兩方面檢驗，若兩種特性無明顯變化，則說明修正方法對系統的控制性能無較大影響；(3)比較控制器修正前后，倒立擺系統的輸出信號的評價指標有無變化，若指標值變化不大或比修正前小，則說明修正后的控制器對系統控制無影響或有所改善。

5.1 有效性驗證

觀察圖3可以發現：修正前系統的最大奇異值和結構奇異值相差0.010 33，修正后這兩值相差0.003 81。以上結果表明：修正后的控制器，其保守性有明顯的降低，證明修正方法有效。

5.2 仿真輸出結果驗證

本研究利用Matlab/Simulink參照式(1)搭建仿真模型，使用與有關文獻中相同的輸入信號進行仿真，仿真系統結構圖和仿真結果如圖4所示。

圖4 仿真系統和仿真結果實線—輸入信號；點劃線—修正前系統的控制效果；虛線—修正后系統的控制效果

觀察圖4可以發現：修正后，擺的鎮定效果和擺連接件的位移調節效果略好于修正前，說明了修正后的方法保守性有了改善；這一結果在如表1所示的仿真實驗數據上也能得到體現。

對仿真原始數據進行抽樣后得到的數據如表1所示。

表1 優化前后的仿真實驗數據對比

由表1可以看出：優化后的擺角位移比優化前更接近0，擺的鎮定效果略有改善，進一步從仿真結果說明了原方法優化后保守性的改善。

計算文獻[7]第5部分提出的擺的鎮定和臺車位置調節兩個評價指標，當使用傳統方法的控制器K0優化系統時，擺的鎮定評價值V11=0.418,臺車位置調節的評價值V12=2.205 6;使用綜合方法的控制器Kopt優化系統時，擺的鎮定評價值V21=0.393 1,臺車位置調節的評價值V22=1.971 8。顯然，控制器修正后的輸出評價值略好于修正前，說明了新方法在降低保守性的同時對系統的輸出指標略有改善。

5.3 不同H∞算法的μ特性比較

本文研究的是H∞控制的最優算法，對該最優算法進行μ綜合保守性分析，還有一個重要的步驟就是將它們與不同干擾抑制水平γ的次優H∞控制算法作比較，重點觀察它們在μ曲線上的變化。為此，分別取γ=3、2、1、0.7設計倒立擺的H∞次優控制器，連入原始系統進行4次μ分析，繪制4條μ曲線，與μ綜合算法優化前后的兩個最優控制系統的μ曲線作比較。不同H∞算法的μ特性如圖5所示。

圖5 不同H∞算法的μ特性

觀察圖5(a)可以發現：隨著γ值的減小，系統在不同頻率下的μ值也相應下降，其中μ值的峰值下降最為明顯；次優算法與最優算法間更清晰比較可由圖5(b)看出：經過優化后的最優系統其μ值最小，與優化前的最優控制系統相比，對不確定因素的抑制水平更高，進一步揭示了優化前最優算法的保守性，證明了μ綜合方法對降低這一保守性所發揮的作用，該優化方法合理有效。

6 結束語

本文將μ分析和μ綜合理論應用在倒立擺的H∞控制問題中，從結構奇異值的角度來考慮這一問題，有效地修正了單純利用小增益定理來設計控制器的缺陷，彌補了傳統H∞最優控制方法的不足，降低了保守性，改善了系統的控制性能和輸出質量。

同時，在運用D-K迭代法求解μ綜合問題時，本文使用最優化函數fmincon來求解形如式(19)的凸優化問題，結果表明，該方法新穎、效果良好。

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