高速柔性轉子系統非線性振動響應特征分析

洪杰， 于歡， 肖森， 馬艷紅,*

(1. 北京航空航天大學 能源與動力工程學院, 北京 100083； 2. 先進航空發動機協同創新中心, 北京 100083)

航空發動機中，高速柔性轉子為工作轉速在彎曲振型臨界轉速之上的轉子系統，該類轉子系統往往采用多支點支承的方案，但受制造及裝配工藝的限制，往往存在支承不同心問題。與地面設備相比，航空燃氣渦輪發動機轉子具有工作轉速高、工作過程中除傳遞較大扭矩外還傳遞軸向力的特點，因此，多支點支承高速柔性轉子系統在支承不同心激勵下軸內部會產生交變應力，極易造成轉子產生疲勞破壞。

因此，為減小支承不同心的影響，多支點支承的高速柔性轉子可采取松動支承設計，即在支承結構中設計合理的間隙。但是，對于支承帶有間隙的轉子結構系統，轉子振幅變化時，支承的約束作用會產生突變，使得轉子系統支承剛度具有階躍的非連續特征。而航空發動機主軸承工作環境極其惡劣，因此，松動支承引起的支承剛度非連續特征可能會使轉子系統產生復雜的非線性響應，影響航空發動機轉子系統的動力特性穩定。尤其對于高速柔性轉子，由于該類轉子系統質量、剛度分布極為不均，彎曲臨界轉速低，工作在超臨界狀態下，使得松動支承對高速柔性轉子動力特性的不利影響更加突出[1]。而當轉子支承系統的結構參數如松動支承的位置、松動間隙、不平衡量等設計合理時，轉子系統非線性振動響應會受到抑制，所以多支點支承高速柔性轉子采用松動支承設計時保持良好的動力特性，需對其非線性振動響應特征進行研究。

Wang[2]及Hussien[3]等采用龍格庫塔法對非線性油膜力及非線性支承共同作用下的Jeffcott轉子的振動響應特征及其穩定性進行數值求解，將仿真結果和線性轉子系統振動響應對比發現，支承剛度改變時，在一定轉速范圍內轉子可產生擬周期運動；Goldman和Muszynska[4-6]考慮了支承結構的剛度、阻尼及切向摩擦，其研究結果表明松動支承激勵下轉子存在同步及次同步振動成分，同時存在高次諧波振動成分，一定工作狀態下混沌運動可能產生；Karpenko等[7-8]僅考慮了支承間隙及非連續支承剛度的影響，建立的多點法數值求解結果表明，當轉子與帶有間隙的支承之間產生頻繁碰撞時，可產生混沌運動；Kim、Noah[9]和Ehrich[10-11]綜合考慮了擠壓油膜和支承間隙對轉子振動響應的影響，分別通過數值仿真和實驗證明了松動支承的間隙是導致帶有支承松動的轉子系統產生復雜的非線性振動響應特征的原因；Kim和Noah[12]采用諧波平衡法研究了帶有間隙支承的轉子結構系統的分岔特性及其穩定性，發現轉子系統可通過Hopt分岔產生擬周期運動；Wiercigroch等[13-14]利用Jeffcott轉子研究了支承松動轉子系統通往混沌的途徑，發現間隙支承的轉子結構系統可通過切分岔、倍周期分叉的途徑通往混沌。

綜上，目前針對松動支承激勵下轉子結構系統非線性振動響應特征的研究，計算模型多采用簡單的Jeffcott轉子，且沒有綜合考慮非連續支承剛度、切向摩擦及擠壓油膜的影響，因而不能直接用于指導多支點支承高速柔性轉子的松動支承設計。本文參考上述工作，基于松動支承的力學特征，研究得到非連續支承剛度產生機理，分析松動支承對柔性轉子系統動力特性的影響，進而綜合考慮階躍的非連續支承剛度及油膜力的影響，建立帶有松動支承的多支點支承高速柔性轉子系統動力學模型，仿真研究得到了轉子的非線性振動響應特征。進而根據支承結構參數對多支點支承高速柔性轉子系統動力學特性的影響，對支承位置和支承剛度進行優化，以減弱非連續支承剛度對轉子動力特性的影響，進而根據轉子振動響應幅值隨轉速的變化設計松動間隙，使工作轉速區域遠離混沌響應區域，并具有一定的安全裕度，保證高速柔性轉子采用松動支承設計時具有穩健的動力特性，從而為多支點支承高速柔性轉子系統動力特性設計提供理論方法。

1 松動支承激勵的力學特征及動力學模型

1.1 松動支承激勵的力學特征

如圖1所示(圖中osi為各支點位置處轉子軸線位置)，工程中典型的松動支承設計是通過調整擠壓油膜阻尼器(Squeeze Film Damper，SFD)的間隙，加大轉子與支承之間的間隙，從而消除裝配時支承不同心對轉子的附加約束[1]。

圖2(a)為帶有擠壓油膜阻尼器的支承結構物理模型。轉子運動過程中，支承剛度主要由油膜壓力產生的油膜剛度及剛性支承的支承剛度Ks串聯而成，由于油膜壓力不同，因而在不同位置處擠壓油膜力在徑向方向r和切向方向t分量有所差異，因而當轉子振動位移與水平方向的夾角φ不同時，在水平和垂直方向分量也會隨之改變。對于油膜間隙較大的擠壓油膜阻尼器，轉子作微幅振動油膜不受擠壓時，支承不起約束作用。轉子振幅增加，轉子與油膜環內表面產生擠壓油膜作用時，會產生油膜力，為轉子提供油膜剛度，此時支承本身剛度與油膜剛度為串聯關系，油膜剛度起主要支承作用，在油膜受擠壓的擴張區內，靠近間隙小的一端阻力大，故而油壓升高大，靠近間隙大的一端阻力小，油壓升高小，從而會形成如圖2(a)所示的油壓分布。同時，由于油膜力除受振幅影響外，運動速度及進動角度也會改變油膜力大小，從而在振幅一定時，根據轉子運動軌跡的隨機性，油膜力具有區間分布特征，如圖2(b)陰影所示。轉子振幅繼續增加與油膜環產生碰撞時，油膜會破裂，油膜剛度消失，此時支承本身剛度起主要支承作用。據此繪制支承支反力隨振幅變化曲線，如圖2(b)所示，可以看出，松動支承可使轉子支承剛度產生突變，從而支反力隨振幅變化在油膜破裂點處導數不連續，具有非連續的力學特征，同時當轉子與帶間隙的支承之間產生頻繁碰撞時，轉子運動軌跡的隨機性導致支承剛度具有區間分布特征，使轉子系統具有非確定性特征。

圖1 采用松動支承設計的多支點支承柔性轉子模型Fig.1 Multi-supported flexible rotor model with bearing looseness design

圖2 加大油膜間隙的擠壓油膜阻尼器轉子模型Fig.2 Model of SFD rotor system with increased oil film clearance

支承剛度改變時，轉子系統固有頻率會隨之改變，進而轉子系統共振點會產生突變，使轉子系統振動響應較為復雜。當轉子動力特性對支承剛度敏感度較高時，支承松動可能會使轉子產生混沌[1]。所以，高速柔性轉子系統采用松動支承設計時，應對其支承方案及相應支承參數進行優化設計，以降低轉子動力特性對支承剛度非連續變化的敏感度，使工作轉速區域遠離混沌響應區域并具有一定裕度，以保證轉子動力特性穩定。

1.2 松動支承激勵下多支點支承高速柔性轉子系統的動力學模型

圖3 多支點支承高速柔性轉子系統力學模型Fig.3 Mechanical model of multi-supported high-speed flexible rotor system

忽略陀螺力矩和扭轉振動的影響，轉子系統橫向振動的運動微分方程為

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

(1e)

(1f)

式中：ω為轉子同步進動角速度；msi為支承質量；ki為轉子在輪盤i處的剛度；xsi、ysi為支承位置處轉子振動位移分量；xdi、ydi為輪盤振動位移分量；Fsix、Fsiy為松動支承支反力；2、3號支點采用支承松動設計，支承剛度為Ks2、Ks3。支承的支反力隨轉子振幅變化具有非連續特征，其表達式為

(2)

(3)

采用短軸承油膜理論，半油膜條件下油膜力的表達式為

(4)

式中：

(5)

其中：I1、I2、I3為Sommerfeld系數[15-16]。

2 松動支承激勵下的轉子系統動力學特性分析

2.1 非線性振動響應特征

根據松動支承激勵下多支點支承高速柔性轉子系統力學模型和動力學模型，參考渦軸發動機動力渦輪轉子結構，選取結構的各參數如表1、表2所示。

改變轉子轉速，仿真計算得到松動支承激勵下高速柔性轉子系統振動響應，如圖4～圖7所示。

從圖4、圖5可以看出，松動支承激勵下的柔性轉子，其振動響應具有如下特征：

1) 對于帶有間隙的2號支點位置處的振動響應，在10～1 200 rad/s轉速范圍內，隨轉速增加，其運動形式依次為周期—擬周期—混沌—擬周期運動。

表1 結構參數取值

表2 擠壓油膜阻尼器參數取值

圖4 振幅隨轉速變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of vibration amplitude changing with rotational speed

圖5 隨轉速變化的頻域瀑布圖Fig.5 Waterfall curve of frequency domain changing with rotational speed

如圖4所示，當轉速較低(ω<100 rad/s)時，由于轉子振幅很小，松動支承幾乎不起約束作用，輪盤1和2號支點振幅相同，此時轉子處于兩支點支承狀態，為線性系統，頻域響應僅為1倍頻，轉子做周期運動。

轉子轉速繼續增加，向臨界轉速靠近，在不平衡力作用下，轉子振幅增加使轉子與松動支承之間的油膜受到擠壓時，油膜的剛度和阻尼會抑制轉子的振動，此時輪盤1和2號支點振幅出現差異，在非線性油膜力作用下，頻域響應為1倍頻和3倍頻成分的疊加，轉子產生擬周期運動。

轉子轉速繼續增加，逐漸遠離共振轉速，不平衡激振力加大，當振幅下降至與松動支承之間產生頻繁碰撞時，整個系統可看成2個系統的耦合：①固有非線性系統，即無不平衡激振作用下的松動支承轉子系統；②不平衡激振力作用下的線性振動系統。其中，不平衡激振力可代表2個系統的耦合程度[16]。當不平衡激振力很小時，線性系統的振動很弱，對應非線性系統的作用也很弱。系統的運動便可近似看成是2個獨立運動的疊加，即整個系統的運動是圍繞平衡點之一的線性振動。此時根據初始條件不同，系統會繞不同的平衡點運動，從而在相平面上形成不同的流域。由于不平衡激振很小，振動很弱，系統的振動才不會越出既定的流域而趨近于另一平衡點。

圖6 2號支點位置轉子的振動響應Fig.6 Vibration response of rotor at position of Support 2

根據圖4和圖6(c)的相圖所示，當轉速增加至580 rad/s左右時，受松動支承的影響，頻域響應為1倍頻、3倍頻、5倍頻及多種其他頻率成分的疊加，運動形式為混沌運動。這是由于不平衡激振力增加，使得2個系統的相互影響增強到使振動可以超過初始流域的界限，從而可從初始的流域轉到新的流域，將向其他平衡點靠近。同時，系統振幅也可能增大到超過新流域的界限而趨近于初始流域，此時系統會繞初始的平衡點運動。而系統在自發隨機性的影響下會從一個流域進入另一個流域，系統在不同流域之間產生跳動而具有隨機的特點，從而產生混沌運動[17-18]。

轉速繼續增加，不平衡激振力增大，使得線性系統的振動處于主導地位，振幅繼續下降，在非線性油膜力作用下，轉子運動狀態為擬周期運動。

圖7 輪盤1位置轉子的振動響應Fig.7 Vibration response of rotor at position of Disk1

當不平衡激振力很大時，線性系統完全處于支配地位，松動支承引起的非線性影響極弱。此時，整個系統便按線性系統的運動方式運動，變為周期運動[16-17]。

2) 圖7為松動支承激勵下輪盤的振動響應，運動形式主要為擬周期和周期運動。2號支點位置處存在混沌運動時，對應輪盤振動響應以轉速1倍頻為主，同時包含其他頻率成分，呈擬周期運動；2號支點位置為擬周期和周期運動時，對應輪盤振動響應僅為1倍頻，呈周期運動。

2.2 參數影響規律

為了研究松動間隙、非連續支承剛度、不平衡量大小及松動支承位置對轉子響應的影響，以轉子系統的加速過程為例，分析不同參數下的松動支承激勵的轉子系統響應分岔圖。

2.2.1 松動支承位置影響

改變松動支承位置，將2號、4號支點處設計松動間隙，其物理模型如圖8所示。得到2號、3號支點位置處及輪盤2位置處轉子振幅隨轉速變化的分岔圖。根據圖9，改變輪盤2位置處松動支承的位置，對2號支點位置處轉子的振動響應影響較小，混沌響應區域稍有偏移。如圖10所示，松動支承位置改變對輪盤2及其支承位置處振動響應影較大，4號支點采用松動支承設計時，輪盤2在共振點處的峰值略有降低。根據圖11可知，隨轉速增加，不平衡激振力增加使得轉子與松動支承之間存在碰撞沖擊時，松動支承位置處響應幅值對轉速變化較敏感，因而在2號、3號支點位置設計松動間隙時，3號支點位置處轉子響應幅值對轉速變化較敏感。同時由于3號支點靠近轉子質心，其振幅變化在非連續支承剛度影響下對轉速變化敏感時，不利于轉子動力特性穩定，因此，優先選擇2號、4號支點采用松動支承設計。

圖8 2號、4號支點采用松動支承設計的多支點支承柔性轉子系統Fig.8 Multi-supported flexible rotor system with bearing clearance designed at Support 2 and Support 4

圖9 松動支承位置不同時2號支點振幅隨轉速變化的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of vibration amplitude of Support 2 changing with rotational speed when location of bearing looseness is different

圖10 松動支承位置不同時輪盤2振幅隨轉速變化的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagram of vibration amplitude of Disk 2 changing with rotational speed when location of bearing looseness is different

圖11 松動支承位置不同時3號支點振幅隨轉速變化的分岔圖Fig.11 Bifurcation diagram of vibration amplitude of Support 3 changing with rotational speed when location of bearing looseness is different

2.2.2 不平衡量影響

如表3所示，改變輪盤1、2的不平衡量，得到輪盤1及2號支點位置處轉子振幅隨轉速變化的分岔圖，如圖12所示。可以看出，轉子不平衡量增加時，混沌響應的轉速區域向高轉速區偏移。

表3 輪盤不平衡量取值

圖12 不平衡量不同時2號支點振幅隨轉速變化的分岔圖Fig.12 Bifurcation diagram of vibration amplitude of Support 2 changing with rotational speed when unbalance value is different

這是由于當松動支承處的間隙保持不變時，只有當振幅達到0.4×10-3～0.9×10-3mm時，2號支點位置處轉子才會與支承發生頻繁碰撞，從而產生混沌運動。由于轉子不平衡量增加時，轉子振幅隨轉速變化會整體增加，因此與不平衡量小的情況相比轉子在更高的轉速范圍內，2號支點位置處轉子的振幅才會減小至0.4×10-3～0.9×10-3mm，與支承產生頻繁碰撞，從而產生混沌運動，且由于該振幅范圍對應轉速范圍較寬，因此，對應混沌響應的轉速范圍較寬廣。

2.2.3 非連續支承剛度影響

如表4所示，為研究支承剛度非連續的影響，改變松動支承位置處的支承剛度變化的區間范圍，得到2號支點位置處轉子振幅隨轉速變化的分岔圖，如圖13所示。可以看出，松動支承位置處支承剛度變化范圍增大時，混響應區域稍有擴大。

表4 支承剛度變化區間

2.2.4 松動間隙影響

如表5所示，改變松動支承位置處的間隙，得到2號支點位置處轉子振幅隨轉速變化的分岔圖，如圖14所示。可以看出，松動支承的間隙加大時，松動支承位置處轉子振幅需增加至可與支承產生頻繁碰撞才能引發混沌運動產生，所以產生混沌運動的轉速區域向共振區域靠近，且混沌運動振幅隨之增加。

圖13 支承剛度不同時2號支點振幅隨轉速變化的分岔圖Fig.13 Bifurcation diagram of vibration amplitude of Support 2 changing with rotational speed when bearing stiffness is different

松動間隙c′2/mmc′4/mmc2/mmc4/mm小松動間隙1．4×10-38×10-42×10-42×10-4大松動間隙7×10-34×10-32×10-32×10-3

圖14 松動間隙不同時2號支點振幅隨轉速變化的分岔圖Fig.14 Bifurcation diagram of vibration amplitude of Support 2 changing with rotational speed whenbearing clearance is different

3 結 論

松動支承激勵下多支點支承柔性轉子的運動狀態具有非線性特征，其非線性振動形式主要為擬周期和混沌運動：

1) 在一定不平衡量下，轉子與松動支承之間產生頻繁碰撞時，松動支承位置處轉子的運動形式為混沌運動。對應輪盤處運動形式為擬周期運動。

2) 非線性油膜力作用下，松動支承位置處轉子的運動形式為擬周期運動，對應輪盤處運動形式為周期運動。

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