基于競爭博弈的多目標可靠性優化設計方法

馮嘉珍， 張建國,*， 邱繼偉

(1. 北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院, 北京 100083；2. 北京航空航天大學 可靠性與環境工程技術重點實驗室, 北京 100083)

在實際工程問題當中，廣泛存在著不確定性因素，例如，材料特性、載荷、結構參數、邊界條件以及測量誤差等的不確定性[1-2]，使得設計會因為這些不確定性而發生改變，影響產品性能。對產品的優化設計已不再是單純的追求性能最佳或費用最小，而是需要在性能、可靠性以及經濟性等多種設計要求之間取得平衡。所以，產品的優化設計是一個多目標可靠性優化設計 (Multi-objective Reliability Design Optimization，MRDO)。

通常情況下，多個設計目標之間是相互沖突的，解決MRDO問題需要在各目標之間進行權衡和折中，使各目標盡可能達到最優[3]。當前，MRDO的傳統方法是按照重要程度賦予各目標權重，轉化為單目標可靠性優化設計(Single-objective Reliability Design Optimization，SRDO)問題之后，再結合一次二階矩(First Order Second Moment，FOSM)法等可靠性分析方法進行求解。Kogiso等利用加權法對汽車車身進行了基于可靠性的多目標優化設計[4]；張瑞軍等基于灰色理論確定各目標的權重，再采用加權法將機械產品的可靠性穩健優化設計問題轉換為單目標優化設計問題[5]；王若冰等將分層序列法應用于某型航空飛行器氣動、質量與性能的三目標可靠性優化設計[6]；于淼等采用物理規劃法構造各目標的偏好函數，在此基礎上通過非線性加權將MRDO問題轉化為SRDO問題，并應用于濕式多盤制動器的設計[7]。上述研究中，各目標的權重系數或偏好函數的選取體現了設計者的主觀意識，人為經驗性較大，優化結果客觀性較低。針對這一問題，后續研究產生了新的MRDO方法，例如，基于多目標粒子群優化(Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO)算法或多目標遺傳算法(Multi-objective Genetic Algorithm，MOGA)進行尋優，并利用FOSM等方法判斷尋優點是否滿足可靠性約束的要求。在巖土工程設計領域，Juang和Wang利用MOGA開展了擴展基礎的多目標可靠性優化設計[8]；張干清等則采用MOPSO算法對盾構機行星減速器進行了多目標可靠性優化設計[9]。但是，MOPSO等算法在處理MRDO問題時，需要求解大量Pareto非劣解，計算量巨大，收斂速度緩慢，這一問題隨著設計目標與隨機設計變量的增多會更加突出[10]。鑒于多目標優化設計與博弈之間的相似性，近年來，國內外不斷有研究將博弈論應用于求解工程中的多目標優化設計問題。Song等將競爭博弈模型應用于汽車懸架參數的多目標優化設計[11]；Desideri利用競爭博弈模型對某型機翼開展了外形與空氣動力學的優化設計[12]；Xiao等利用競爭博弈模型對小水線面雙體船進行了多目標優化設計[13]。基于博弈的方法無需人為設置目標權重，相較于MOPSO等算法顯著降低了計算量(無需求解Pareto非劣解集)，在求解多目標優化設計問題時有著獨特優勢。當前，該方法多針對確定性的多目標優化設計問題，將其應用于MRDO鮮有研究成果發表。

為解決權重法所帶來的優化結果客觀性不足的問題，本文提出基于競爭博弈求解MRDO問題的方法。首先，將各設計目標視為不同的博弈方；其次，通過隨機設計變量集映射(Random Design Variables Set Mapping，RDVSM) 技術，將隨機設計變量集分解為各博弈方所擁有的策略集；最后，各博弈方以自身收益最佳為目標，結合可靠性分析的性能測量方法(Performance Measurement Approach，PMA)在各自策略集中進行SRDO，由所有優化結果形成一輪博弈的策略組合，經過多輪博弈獲得均衡解(即MRDO問題的優化解)。通過2個案例驗證方法的有效性。

1 基礎理論

1.1 可靠性分析的性能測量方法

考慮設計變量X={x1,x2,…,xn}的隨機不確定性，MRDO問題的數學表達式可以描述為

(1)

式(1)中可靠性約束的分析評估本身是一個優化迭代過程。因此，MRDO問題最直接的求解方法可以表示為一個雙層優化模型，外層為優化循環，里層為可靠性分析循環。高效、穩健的可靠性分析方法是求解MRDO問題的重要環節。針對這一要求，采用PMA進行可靠性分析[14]。該方法表述為功能函數的功能測量應不小于0，否則可靠性約束不滿足。功能測量是指在規定的可靠度目標值下的最小功能函數值，其求解可以表示為一個優化問題：

(2)

1.2 博弈理論

博弈論是一種應用于存在利益沖突場合的數學工具，為分析各博弈方彼此間決策會相互影響的問題提供了有效的解決方案[13]。用G代表一個博弈，如果G有m個博弈方p1，p2，…，pm，每個博弈方可選擇的全部策略的集合稱為策略集，分別用S1，S2，…，Sm表示，每個博弈方做出策略決策之后的收益分別用u1，u2，…，um表示，則博弈G可以表示為

G={p1,p2,…,pm;S1,S2,…,Sm;u1,u2,…,um}

(3)

博弈分為競爭博弈與合作博弈2類[11]。競爭博弈是指各博弈方以競爭的方式追求自身收益最佳為目標；合作博弈是指各博弈方以合作的方式追求整體收益最佳。對于MRDO問題，各目標之間相互沖突與競爭，某個目標的改善可能引起其他目標的惡化，與競爭博弈高度類似。將MRDO模型中的設計目標對應于博弈方；隨機設計變量集X對應于所有博弈方所擁有的策略集，并進一步將X分解為各博弈方所擁有的策略集S1，S2，…，Sm；目標函數的響應對應于博弈方的收益值；可靠性約束條件用于限制博弈方的策略取值。MRDO問題可以用博弈模型來描述，其中，S1={xi,xi+1,…,xj}，S2={xk,xk+1,…,xl}，…，Sm={xv,xv+1,…,xw}，滿足S1∪S2∪…∪Sm=X且Sc∩Sd=?(c,d=1,2,…,m且c≠d)；收益函數與目標函數之間的映射關系為ui(Si)=μfi(Si),i=1,2,…,m。

2 MRDO的競爭博弈方法

基于競爭博弈求解MRDO問題，包含2項關鍵技術：各博弈方策略集的分解技術，競爭博弈的求解算法。

2.1 基于RDVSM的博弈方策略集分解

通過RDVSM，隨機設計變量集X可以分解為各博弈方所擁有的策略集。RDVSM由影響因子集合構建、基于模糊聚類的策略集分解等2個部分組成。

1) 影響因子集合構建

構建影響因子集合用于形成分類樣本，然后通過模糊聚類方法對樣本進行分類處理以便獲得各博弈方的策略集。影響因子集合的構建步驟如下：

步驟3設λj為一常數，其由關于xj的所有靈敏度函數所決定，其數學表達式為

i=1,2,…,m

(4)

步驟5隨機設計變量集X對所有目標函數的影響因子集為η={η1,η2,…,ηn}。

2) 基于模糊聚類的策略集分解

對影響因子集η進行聚類，將關聯性和相似性較強的樣本劃分為同一類。由于xj與ηj之間的一一對應關系，η的聚類結果就代表了X的聚類結果。將待分類的對象嚴格地劃分到某個類中，存在不合理之處，為此采用模糊方法處理η的聚類。

① 構建模糊相似矩陣R。

在模糊聚類之前，首先需要建立η上的模糊相似關系，可以表示為一個模糊相似矩陣R=(γij)n×n，其中γij為任意2個影響因子ηi與ηj之間的相似度，且0≤γij≤1，數學表達式為[15]

(5)

式中：co為常數。

③ 模糊聚類。

2.2 競爭博弈的求解算法

步驟1通過RDVSM，得到隸屬于各博弈方的策略集S1,S2,…,Sm。

(6)

3 案例分析

3.1 壓力容器MRDO案例

1) 壓力容器MRDO數學模型

圖1為某型壓力容器的示意圖[16]。案例包含：3個正態分布的隨機設計變量，概率分布參數如表1所示；4個可靠性約束條件；2個設計目標，分別使得質量w(·)的期望最小，容積v(·)的期望最大。

圖1 壓力容器示意圖[16]Fig.1 Schematic diagram of pressure vessel[16]

變 量均 值變異系數均值范圍r/mm595．86110．05[2．54，914．4]l/mm999．77450．05[2．54，3556]t/mm62．45100．05[12．7，152．4]

壓力容器的MRDO數學模型如式(7)所示，w(·)和v(·)的表達式如式(8)所示：

(7)

(8)

式中:σc為圓周應力；σR=241.3 MPa為材料的許用抗拉強度；ρ=7 833.4 kg/m3為密度；p=26.8 MPa為壓強。

2) 基于RDVSM的策略集分解

首先，計算3個設計變量r、l和t對2個目標函數μw(·)和μv(·)的影響因子集分別為：η1={0.505 2,0}、η2={1,0}、η3={0.387 1,0}。然后，對集合η={η1,η2,η3}進行模糊聚類可得：策略集S1={r,t}隸屬于博弈方μw(·)，S2={l}隸屬于博弈方μv(·)。

3) 競爭博弈求解

4) 優化結果對比分析

表2 基于NSGA-Ⅱ的壓力容器部分優化結果

表3 基于加權法的壓力容器優化結果

3.2 減速器MRDO案例

1) 減速器MRDO數學模型

圖2為某小型航空發動機齒輪減速器傳動原理的示意圖[17]。案例包含1個確定性設計變量(齒輪1齒數)，6個正態分布隨機設計變量，概率分布參數見表4；6個可靠性約束條件，其中c1為輪齒彎曲應力約束，c2為輪齒接觸應力約束，c3和c4分別為軸1和軸2的橫向變形約束，c5和c6分別為軸1和軸2的應力約束；5個由經驗規定的確定性幾何約束c7～c11；3個設計目標分別使得減速器體積f1(·)、齒輪軸1及齒輪軸2的應力f2(·)和f3(·)的期望最小。f1(·)、f2(·)與f3(·)的表達式如式(9)所示，減速器的MRDO數學模型如式(10)所示:

圖2 減速器傳動原理示意圖[17]Fig.2 Schematic diagram of drive principle of reducer[17]

注：齒輪1齒數x3(取整數)均值范圍為[17,28]。

(9)

(10)

2) 減速器的博弈均衡解

3) 優化結果對比分析

表5 基于NSGA-Ⅱ的減速器部分優化結果

表6 基于加權法的減速器優化結果

4 結 論

1) 基于競爭博弈提出了一種解決MRDO問題的方法。通過RDVSM將隨機設計變量集轉換成策略集，所有博弈方均以自身收益為目標在各自策略集中進行SRDO，由優化結果構成一輪博弈的策略組合，然后經過多輪博弈獲得均衡解。2個案例設計結果表明了方法的可行性，所求博弈均衡解具有較高的客觀性。

2) 在利用PMA對MRDO模型中的可靠性約束進行分析評估時，只考慮了單一的隨機不確定性，工程實際當中有多種類型不確定性共存，應考慮在此基礎上對基于競爭博弈的MRDO求解方法做進一步的研究和改進。

參考文獻 (References)

[1] 許孟輝,邱志平.結構模糊非概率混合可靠性分析方法[J].北京航空航天大學學報,2014,40(2):222-228.

XU M H,QIU Z P.Reliability analysis of structures with fuzzy and non-probabilistic hybrid variables[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2014,40(2):222-228(in Chinese).

[2] 孟廣偉,馮昕宇,李鋒,等.基于降維算法和Edgeworth級數的結構可靠性分析[J].北京航空航天大學學報,2016,42(3):421-425.

MENG G W,FENG X Y,LI F,et al.Structural reliability analysis based on dimensionality reduction and Edgeworth series[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2016,42(3):421-425(in Chinese).

[3] GARG H,RANI M,SHARMA S P,et al.Intuitionistic fuzzy optimization technique for solving multi-objective reliability optimization problems in interval environment[J].Expert Systems with Applications,2014,41(7):3157-3167.

[4] KOGISO N,KODAMA R,TOYODA M.Reliability-based multi-objective optimization using the satisficing trade-off method[J].Mechanical Engineering Journal,2014,1(6):1-12.

[5] 張瑞軍,邱繼偉,賈慶軒.灰色系統理論的多目標可靠性穩健設計[J].北京郵電大學學報,2014,37(3):23-26.

ZHANG R J,QIU J W,JIA Q X.Multi-objective robust design for reliability based on grey system theory[J].Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications,2014,37(3):23-26(in Chinese).

[6] 王若冰,谷良賢,龔春林.隨機-區間混合不確定性分層序列化多學科可靠性分析方法[J].西北工業大學學報,2016,34(1):139-146.

WANG R B,GU L X,GONG C L.A stratified sequencing multi-disciplinary reliability analysis method under random and interval uncertainty[J].Journal of Northwestern Polytechnical University,2016,34(1):139-146(in Chinese).

[7] 于淼,石博強,姜勇.基于物理規劃的濕式多盤制動器不確定性優化設計[J].農業機械學報,2011,42(4):22-26.

YU M,SHI B Q,JIANG Y.Application of physical programming in uncertainty optimization design of multi-disc wet brake[J].Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery,2011,42(4):22-26(in Chinese).

[8] JUANG C H,WANG L.Reliability-based robust geotechnical design of spread foundations using multi-objective genetic algorithm[J].Computers and Geotechnics,2013,48(4):96-106.

[9] 張干清,龔憲生,王歡歡,等.基于可靠灰色粒子群算法的盾構機行星減速器輪系的多目標優化設計[J].機械工程學報,2010,46(23):135-145.

ZHANG G Q,GONG X S,WANG H H,et al.Multi-objective optimization design on gear train of planetary reducer in shield tunneling machine based on reliably grey particle swarm optimization[J].Journal of Mechanical Engineering,2010,46(23):135-145(in Chinese).

[10] 龍騰,李學亮,黃波,等.基于自適應代理模型的翼型氣動隱身多目標優化[J].機械工程學報,2016,52(22):101-111.

LONG T,LI X L,HUANG B,et al.Aerodynamic and stealthy performance optimization of airfoil based on adaptive surrogate model[J].Journal of Mechanical Engineering,2016,52(22):101-111(in Chinese).

[11] SONG C Z,ZHAO Y Q,WANG L.Tri-objective co-evolutionary algorithm and application of suspension parameter design based on lizard behavior bionics[J].Journal of Mechanical Science and Technology,2014,28(12):4857-4867.

[12] DESIDERI J A.Cooperation and competition in multidisciplinary optimization application to the aero-structural aircraft wing shape optimization[J].Computational Optimization and Applications,2012,52(1):29-68.

[13] XIAO M,SHAO X Y,GAO L,et al.A new methodology for multi-objective multidisciplinary design optimization problems based on game theory[J].Expert Systems with Applications,2015,42(3):1602-1612.

[14] YAO W,CHEN X Q,OUYANG Q,et al.A reliability-based multidisciplinary design optimization procedure based on combined probability and evidence theory[J].Structural and Multidisciplinary Optimization,2013,48(2):339-354.

[15] 曲福恒,崔廣才,李巖芳,等.模糊聚類算法及應用[M].北京:國防工業出版社,2011:57-66.

QU F H,CUI G C,LI Y F,et al.Fuzzy clustering algorithm and its application[M].Beijing:National Defense Industry Press,2011:57-66(in Chinese).

[16] RAO J R J,BADHRINATH K,PAKALA R,et al.A study of optimal design under conflict using models of multi-player games[J].Engineering Optimization,1997,28(1-2):63-94.

[17] GOLINSKI J.Optimal synthesis problems solved by means of nonlinear programming and random methods[J].Journal of Mechanisms,1970,5(3):287-309.