基于輸入成形的太陽能帆板自適應滑模控制

周通， 郭宏， 徐金全

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院, 北京 100083)

作為在軌空間站的重要組件，太陽能帆板擔負著為整個空間站供電的任務。為提高太陽能轉化效率，太陽能帆板驅動系統(SADS)的角位置控制吸引了很多學者的深入研究。然而，太陽能帆板是柔性體，其動態特性包含了大量與剛體運動相耦合的弱阻尼柔性模態。該特性極易在系統的對日定向過程中引起太陽能帆板的柔性振動，進而影響空間站的運動與控制。因此,尋求一種角位置控制和振動抑制方法對于太陽能帆板驅動系統顯得尤為重要。

針對太陽能帆板的振動抑制問題，國內外學者做了大量研究。采用智能材料進行主動控制是一種有效抑制振動的方法。在基于智能材料的控制方法方面，提出了剛度控制[1]以及正位置反饋控制[2-3]。然而，這類方法需要在原結構上附加一系列的傳感器和作動器，增加了系統的質量，同時降低了可靠性，因此該主動控制方法在空間系統的實際應用中受到一定限制[4]。另一種抑制振動的方法是輸入成形，該方法將期望指令與脈沖序列在時域中進行卷積，所形成的新指令作為系統輸入來控制系統的運動以消除柔性模態的振動[5]。文獻[6]將輸入成形器(IS)應用于太陽能帆板驅動系統的振動抑制中，提升了系統的工作性能。然而，輸入成形器的設計依賴于太陽能帆板驅動系統的數學模型，由于系統存在不確定性，該數學模型難以準確建立[7]。不僅如此，輸入成形器是基于線性系統理論設計的，無法直接應用于非線性系統[8-9]。

太陽能帆板驅動系統的角位置控制同樣被廣泛研究。文獻[10]針對太陽能帆板驅動系統提出一種H∞魯棒控制。文獻[11-12]和文獻[13-14]針對剛柔耦合系統分別設計了自適應控制和滑模控制，文獻[15]基于耗散理論提出一種主動穩定器。以上控制方法都能在完成指定的角位置階躍響應的同時抑制柔性振動，并且縮短了過渡過程時間，提高了系統性能對參數攝動與外部干擾的魯棒性。然而，由于缺少對指令軌跡的設計，使得系統在瞬態過程中存在較大的柔性振動。文獻[16-18]針對剛柔耦合系統分別提出了帶自適應律和不帶自適應律的滑模控制，并且采用基于參考模型的輸入成形器設計了系統的指令軌跡。該方法通過滑模控制令太陽能帆板驅動系統表現得像參考模型。這種方法的參考模型屬于多維度系統，為獲得輸入成形器預期的振動抑制效果，滑模控制在保證系統角位置和角速度跟蹤參考軌跡的同時還要保證系統的模態坐標跟蹤參考模型的模態坐標，增加了控制設計的復雜性和計算成本。

基于上述討論，本文提出一種自適應滑模控制(ASMC)與輸入成形技術相結合的控制策略。該控制策略通過自適應滑模控制保證了系統在不確定性影響下的一致有界性和漸進一致有界性，從而提高了太陽能帆板驅動系統的角位置控制性能。同時，通過基于參考模型的輸入成形器規劃了系統的指令軌跡，進而抑制了太陽能帆板的柔性振動。本文首先建立了太陽能帆板驅動系統的數學模型，其次提出了包含輸入成形器、參考模型和自適應滑模控制的控制策略，最后給出了仿真結果。

1 太陽能帆板驅動系統數學建模

太陽能帆板驅動系統包含伺服電機、減速器、太陽能帆板等，其簡化結構如圖1所示。驅動系統的輪轂上固結了2個對稱配置的柔性帆板，電機產生力矩驅動柔性帆板旋轉[19]。將輪轂視為剛體且將太陽能帆板視為歐拉-伯努利梁，利用假設模態法，可以得到帆板的橫向彎曲撓度表達式如下：

(1)

圖1 太陽能帆板驅動系統結構Fig.1 Structure of SADS

(2)

(3)

i=1,2,…,n

(4)

需要指出的是，式(2)和式(3)構成太陽能帆板驅動系統的剛體子系統，式(4)為柔性體子系統。根據式(2)和式(3)可知，剛體子系統包含非線性項Td(θ,ω,t)，是一個非線性系統。根據式(4)可知，柔性體子系統是線性的。

當表貼式永磁同步電機(SPMSM)作為系統的伺服電機時，電機的轉矩方程和電壓方程可以寫為[21]

(5)

式中：ud、uq、id、iq、R和L分別表示電機在d-q軸系下的定子電壓、定子電流、定子電阻和定子電感；n為減速器傳動比；p為電機的極對數；kT為電機的轉矩常數。

2 控制系統設計

圖2 基于本文控制策略的太陽能帆板驅動系統控制結構Fig.2 Control structure of SADS based on proposed control strategy

的比例-積分(PI)控制策略[22]。由于在實際系統中電流環帶寬遠大于位置環帶寬，在位置環的控制設計中，電流環的影響將被忽略。

本文的動機是通過輸入成形器來抑制系統的柔性振動。然而，輸入成形器是基于線性系統理論設計的，它不能直接應用于非線性系統。為了解決這個問題，本文提出了一個線性的參考模型，并利用自適應滑模控制使得太陽能帆板驅動系統的剛體子系統式(2)～式(3)表現得像這個線性的參考模型。因此，閉環的太陽能帆板驅動系統可以由這個線性的參考模型和線性的柔性體子系統式(4)來代表。也就是說，閉環的太陽能帆板驅動系統表現得像一個線性系統。在此基礎上，輸入成形器可以根據線性的參考模型和線性的柔性體子系統式(4)來設計。

2.1 參考模型設計

(6)

式中：

(7)

根據以上分析，針對標稱系統

(8)

設計如下比例-微分(PD)控制：

Tc=KP(θr-θm)+KD(ωr-ωm)

(9)

式中：角速度指令ωr=0；KP為比例系數；KD為微分系數。將式(9)代入式(8)，可以得到參考模型如下：

(10)

2.2 輸入成形器設計

為了抑制系統的柔性振動，本節針對閉環太陽能帆板驅動系統設計了輸入成形器。

輸入成形技術的基本原理如下[25]：將脈沖序列與任意的輸入指令相卷積，所形成的新指令作為系統輸入來控制系統的運動，如圖3所示。相比于原指令，所形成的新指令將引起更小的柔性振動。其中，脈沖序列稱為輸入成形器。

圖3 輸入成形器原理圖Fig.3 Schematic diagram of IS

由于零振動(ZV)輸入成形器具有結構簡單的特點，本文采用考慮前兩階模態的具有4個時間脈沖的零振動輸入成形器，其表達式如下[26]：

(11)

式中：

(12)

其中：Ai和ti(i= 1, 2, 3, 4)分別為脈沖的幅值和作用時間；ωni和ζi(i=1, 2)分別為閉環太陽能帆板驅動系統的固有頻率和阻尼比，并將在本節下文中推導。

(13)

由于剛體子系統式(2)～式(3)表現得像參考模型式(10)，結合柔性體子系統式(4)，閉環太陽能帆板驅動系統的運動方程可以表示為

(14)

由于在實際系統中，高階模態不易被激發，因此通常對模態進行截斷，本文將取系統前兩階模態(即n=2)進行研究。在此基礎上，式(14)可以改寫成形式如下的狀態方程：

(15)

式中：

(16)

(17)

狀態向量為

(18)

輸入為

u=θr

(19)

根據式(16)，可得矩陣A的復共軛特征值為

因此閉環系統式(14)的固有頻率ωni=ωi，阻尼比ζi=ξi(i=1, 2)。

2.3 自適應滑模控制設計

為了保證剛體子系統式(2)～式(3)表現得像參考模型式(10)并改善角位置控制性能，本節設計了自適應滑模控制。

首先，對系統作如下假設：

定義角位置誤差eθ=θm-θ和角速度誤差eω=ωm-ω，并結合式(6)和式(10)可得

(20)

(21)

定義滑模函數為

(22)

因此，自適應滑模控制可以設計為

(23)

(24)

下面定理給出了所設計的自適應滑模控制對系統穩定性的影響。

定理1考慮控制系統式(20)～式(21)，在滿足假設1的條件下，所設計的控制律式(23)～式(24)能夠保證系統滿足以下性能。

證明本文利用Lyapunov minimax方法證明上述定理。

首先，選擇控制系統的Lyapunov函數為

(25)

對Lyapunov函數進行一次求導并代入式(20)～式(22)，可得

(26)

將式(23)和式(24)代入式(26)可得

(27)

根據式(27)和文獻[27-28]的結論可知，eθ和eω是一致有界和漸進一致有界的。因此，本文所設計的自適應滑模控制律式(23)～式(24)可以保證系統式(20)～式(21)在不確定性影響下的一致有界性和漸進一致有界性。

證畢

3 仿真結果

為了驗證本文所提出的控制策略的有效性，本節以國際空間站的太陽能帆板驅動系統為例進行了數值仿真。系統的主要參數如表1所示[29-30]。

本文用振動能量衡量振動的強弱，并將其定義為

(28)

假設外界干擾力矩Td(t)由隨機干擾力矩Tr(t)和摩擦力矩Tf(t)構成，則

Td(t)=Tr(t)+Tf(t)

(29)

式中:

表1 太陽能帆板驅動系統仿真參數[29-30]

式中：Tu為作用在減速器輸出軸上的主動力矩之和。根據表1可知，最大靜摩擦力矩Tmax為404.54 N·m，滑動摩擦力矩Ts為324.31 N·m。將隨機干擾力矩Tr(t)的上界設為85 N·m[31]。此外，將轉動慣量不確定性表示為

ΔJ=0.1Jsin(4t)+0.1Jsin(8t)

(30)

為了說明本文所提控制策略的有效性，現對比例-積分-微分控制策略(PID)、自適應滑模控制策略、自適應滑模控制與輸入成形相結合的控制策略這3種情況進行仿真。其中，PID控制采用位置-轉速-電流三閉環控制結構，參數通過根軌跡方法設計；ASMC的參數通過經驗選取；控制器參數如表2所示。

為了公平對比，電流環控制參數和隨機干擾力矩Tr(t)波形(如圖 4所示)在3種仿真情況中保持不變，3個控制器采樣周期均設定為80 μs，系統的前向通道和反饋通道的時間延遲均設定為10 ms。

圖5為角位置階躍給定情況下分別采用PID控制、ASMC和ASMC+IS時的位置響應波形圖。由圖5可見，采用ASMC+IS時，系統調節時間為150.7 s，超調量為0.002 9 rad，超調過后，角位置軌線進入與位置指令最大偏差為0.000 1 rad的區域。采用ASMC時，超調量和最大偏差與采用ASMC+IS時相同，調節時間降低至149.6 s。采用PID控制時，調節時間和超調量分別為216.5s和0.23rad，當角位置軌線進入2%誤差帶后，軌線與位置指令最大偏差為0.004 5 rad。

表2 3種控制器的仿真參數

圖4 隨機干擾力矩波形Fig.4 Random disturbance torque waveform

圖6為采用3種控制策略時的角速度響應波形圖。由圖6可見，采用ASMC+IS時，轉速峰值為0.012 rad/s；采用ASMC和PID控制時，轉速峰值分別為0.012和0.041 rad/s。

圖 7為采用3種控制策略時的振動能量波形圖。由圖7可見，采用ASMC+IS時，振動能量峰值為0.01 J；而采用ASMC和PID控制策略時，振動能量峰值分別為0.033和0.235 J。

圖5 角位置響應波形圖及其局部放大圖Fig.5 Oscillogram of time response of angular position and its partial enlarged views

圖6 角速度響應波形圖Fig.6 Oscillogram of time response of angular velocity

圖8為采用3種控制策略時的驅動力矩波形圖。由圖8可見，采用ASMC+IS時，驅動力矩峰值為1 771 N·m；而采用ASMC和PID控制策略時，驅動力矩峰值分別為1 878和4 195 N·m。

綜上可知，相比于PID控制，ASMC+IS有效改善了調節時間、超調量、跟蹤誤差、轉速峰值和驅動力矩峰值，并將振動能量峰值降低了95.7%。因此，ASMC+IS比PID控制具有更強的角位置控制能力和振動抑制能力。相比于ASMC，ASMC+IS在超調量、跟蹤誤差和轉速峰值方面具有相同的性能。盡管采用ASMC+IS時調節時間增加了0.67%，但是振動能量和驅動力矩峰值分別降低了69.7%和5.7%。因此，在角位置控制和振動抑制方面，ASMC+IS比ASMC具有更好的綜合表現。

圖7 振動能量波形圖Fig.7 Oscillogram of vibration energy

圖8 驅動力矩波形圖Fig.8 Oscillogram of driving torque

4 結 論

1) 為提高太陽能帆板驅動系統的角位置控制性能和抑制太陽能帆板的柔性振動，本文提出了一種自適應滑模控制與輸入成形技術相結合的控制策略。

2) 理論分析表明，本文控制策略可以保證系統在不確定性影響下的一致有界性和漸進一致有界性。

3) 仿真結果表明，相比于PID控制，本文所提出的控制策略ASMC+IS在調節時間、超調量和跟蹤誤差方面具有更好的性能，并且降低了振動能量，有效抑制了柔性振動；相比于ASMC，ASMC+IS同樣有效降低了振動能量，而其他性能基本相同。因此，ASMC+IS能在保證系統角位置控制性能的同時抑制太陽能帆板的柔性振動。

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