最小二乘配置法優化的REHSM模型及應用

王東東，張 俊，鄧小東，劉繼庚，趙旭坤

(貴州大學礦業學院，貴州 貴陽 550025)

自板塊構造運動理論提出以來，很多學者根據地球物理資料，基于歐拉定理，建立了一批全球板塊運動模型[1-3]。這些早期的模型大多是將板塊運動看作是一種剛性運動，認為板塊運動時，其內部不發生變形，或者認為變形只發生在板塊邊緣一定條帶范圍。20世紀90年代以來，有關研究已經發現，板塊邊緣是發散的，板塊具有彈塑性。地球物理學也表明，一點的運動或多或少都具有一定的彈性性質和塑性性質[1]，并且地球的巖石圈在幾年到幾十年的時間尺度上，表現為彈性性質，在這個時間尺度上進行研究，可以將塊體視為彈性介質[4]。目前，大地測量技術可在幾千千米的空間尺度中實現對地表位移的監測，精度達到毫米級[5]，可以精確地監測板塊運動狀況，使研究板內形變成為可能。一個板塊受周圍板塊的作用常常發生板內形變，板內形變長期積累是地震發生的原因[6]，因此，研究板內形變，對于研究地震的發震機制具有很強的現實意義。李延興等學者建立了板塊的整體旋轉與均勻應變模型(REHSM)[7]和整體旋轉與線性應變模型(RELSM)[4]，對板塊旋轉參數和板內應變參數進行了統一解算，改變了以往兩種參數分開解算的狀態，它們是真正意義上的綜合模型。由于顧及了板內形變，這兩種模型對地殼運動的速度場擬合精度明顯優于剛性運動模型[4]。但鑒于不同區域地質構造環境的差異和復雜性，簡單假設板內形變應變隨位置呈均勻或線性變化，可能與實際板塊運動難以達到最佳的符合。為此，本文提出一種利用最小二乘配置模型(LSC)對REHSM模型進行優化的方案，即仍然假定板內各點的形變應變隨位置大致呈均勻變化，但同時認為板塊運動除遵循整體剛性旋轉運動和均勻應變外，還存在板內非均勻應變。由于非均勻應變量級和形式都非常復雜，并受許多地質構造因素影響，故可利用LSC模型中的信號部分對偏離均勻應變的部分進行補償，而將REHSM模型表達為LSC的主項，即趨勢項，以此建立板塊運動及形變模型，稱為〗LSCREHSM模型。對最近幾期中國大陸構造環境監測網絡在環渤海區域的速度場數據進行擬合分析，結果表明LSCREHSM模型可以精確描述塊體的整體運動和板內應變情況，其擬合結果明顯優于REHSM模型。

1 剛性運動模型

傳統板塊構造理論認為板塊是一個剛體，其運動模型為

(1)

式中，VE、VN分別為板塊上任意一點在東西方向和南北方向的運動速率；λ、φ為經緯度；ωx、ωy、ωz為歐拉旋轉參數；r為地球平均半徑。

2 塊體運動的整體旋轉與均勻應變模型

在研究大范圍的塊體運動與應變時，常采用球面坐標系。以塊體的幾何中心(λ0，φ0)為坐標原點，以緯線為x軸、經線為y軸建立球面坐標系。其中，令塊體上一點沿緯線到y軸的平行圈弧長為x坐標，沿經線到x軸的子午圈弧長為y坐標，則有

(2)

一個塊體受到周圍塊體的碰撞和擠壓，會使塊體發生整體旋轉和板內形變。以往大多數建立的是塊體的剛性運動模型，認為形變只發生在塊體的邊緣，忽略了板內形變，這與塊體的實際運動情況不符。大地測量技術得到的塊體運動速率是塊體整體運動和局部板內形變的綜合。利用GPS速度場數據建立塊體的剛性運動模型，不能描述板內形變情況。李延興給出了顧及板內形變的塊體運動模型，將塊體的整體旋轉和板內應變統一起來進行參數求解。當假設板內的應變是均勻變化的，其模型為

(3)

式中，εE、εEN、εN為應變參數；其他參數含義同式(1)、式(2)。

3 塊體運動的整體旋轉與線性應變模型

若進一步假設塊體內部的形變是線性應變，則可得到塊體的整體旋轉與線性應變模型，其模型為

(4)

式中，第一項參數同式(1)；A0、B0、C0、A1、B1、C1、A2、B2、C2為應變參數。

4 最小二乘配置模型

最小二乘配置模型的一般形式為[5]

L=AX+Y+Δ

(5)

通過間接平差得到參數為

(6)

已測點和未測點的估值為

(7)

式中，Ds為已測點協方差陣；DS′S為已測點和未測點之間的協方差陣。

最小二乘配置的核心是協方差函數的確定和擬合，選擇合適的協方差函數是得到最優結果的保障。許多學者在板塊運動中使用LSC模型時，常常選擇高斯指數函數作為協方差函數模型，并取得了良好的結果[5，8-13]，詳見文獻[11]。

5 塊體運動的LSCREHSM模型

空間大地測量技術得到的數據是塊體的整體運動與板內形變的綜合，其中必然包含擴張形變的影響[14]。REHSM假設塊體內部形變是均勻應變，而這種擴張形變必然會影響板內應變，破壞其對板內形變的均勻應變的假設，在塊體運動活躍區域將會表現得更加明顯。這種情況下建立的模型既不能精確描述塊體的整體旋轉運動，也不能精確描述板內形變情況。因此，采用最小二乘配置模型中的信號部分來描述板內應變偏離均勻應變的部分，從而建立一種改進模型，其形式為

(8)

6 環渤海區域地殼形變分析

本文采用中國大陸構造環境監測網絡在環渤海區域的GPS觀測速度場數據。監測站空間分布范圍為30.96°N—42.54°N、111.48°E—128.11°E，共有482個監測站，其中包括基準站32個，區域站450個。基準站數據采集時間為2010—2014年；區域站數據采集時間為2009年、2011年和2014年3期觀測數據，每個測站連續觀測3 d，采樣間隔為30 s。通過對監測站觀測資料的處理，得到環渤海區域統一速度場數據，精度優于2 mm/a。

鑒于塊體運動整體上具有長期穩定性，其主要規律應遵循歐拉剛體整體旋轉運動規律，為此，需要對明顯偏離塊體整體運動趨勢的測站進行剔除。具體做法為：利用式(1)計算塊體在東方向和北方向運動速率的殘差，以塊體測站速率分量標準差平均值的2倍作為選站的限差，逐步剔除那些明顯偏離塊體整體運動趨勢的測站，直至剩余測站的速率殘差絕對值均小于限差為止。經過以上方法對環渤海482個測站進行篩選，共剔除測站48個。

為驗證本文方法，分別采用RRM、REHSM、RELSM和LSCREHSM這4種模型及擬合方案對環渤海區域GPS速度場進行擬合分析，結果列于表1，同時給出了4種模型解算的速度殘差圖，如圖1所示。表中SΔv利用式(9)計算。

(9)

式中，ΔvEi、ΔvNi分別為塊體第i個測站在東西方向和南北方向運動速率的殘差；R為未知參數的個數；n為測站個數。

圖1

塊體名稱模型歐拉運動參數λ/(°)φ/(°)ω/(°)速率殘差標準差SΔv/(mm/a)環渤海區域RRM-127.0±3.3370.6±0.830.332±0.0041.32REHSM-120.8±2.9868.8±1.000.324±0.0041.28RELSM-119.6±3.3668.2±1.270.322±0.0051.28LSCREHSM52.1±0.00257.4±0.0020.11±0.00000.49

對計算結果進行分析如下：

(1) 從圖1(a)—(c)可以看出，塊體在東西方向和南北方向運動速率的殘差均在4.5 mm以內，且圖1(a)速率殘差的波動要略微大于圖1(b)和圖1(c)；圖1(b)和圖1(c)中速率殘差的波動相似；由圖1(d)也可以看出，在東西方向和南北方向的運動速率殘差均小于2.5 mm/a，表明了4種模型在描述板塊長期趨勢性運動都是有效的。從4種模型解算的運動速率殘差可以得出，LSCREHSM模型擬合的效果明顯優于其他3種模型。

(2) 從表1可以看出，RRM模型處理的效果最差，由于RRM模型只考慮到塊體的整體旋轉運動，沒有顧及板塊內部形變，其處理效果最差是可以預見的；REHSM模型和RELSM模型分別假設板內應變是均勻和線性的，其數據處理結果的精度相當，均優于RRM模型處理的結果，說明假設具有一定的合理性。

(3) 從表1也可以看出，LSCREHSM模型解算的效果優于REHSM模型和RELSM模型。這是因為環渤海區域塊體運動活躍，呈現擴張狀態，且有部分區域是陸地和海洋相接，其地質情況復雜[15]，在該區域對板內運動情況作任何假設都難以符合實際情況。在環渤海區域，假設板內應變是均勻應變或線性應變，顯然很難描述板內實際應變狀態。

(4) 本文假設板內應變以均勻應變為主，其次板內還存在偏離均勻應變的其他應變，將其看作信號。采用LSC模型對信號加以描述，試驗結果表明LSC模型對偏離均勻應變的部分，處理是有效的，得到的結果更加符合本區域塊體運動的實際情況。說明該模型不僅可以精確描述塊體的整體旋轉運動，而且還可以精確描述塊體內部應變情況。

7 結 語

RRM模型僅能描述塊體長期運動的平均趨勢性運動，不能顧及板內形變。REHSM和RELSM模型雖然顧及了塊體的內部形變，但這兩種模型分別假設塊體內部形變為均勻應變和線性應變，仍然具有相當的局限性。本文提出利用LSC中信號對偏離REHSM的板內形變進行補償，建立了LSCREHSM地殼形變分析模型，取得了良好的效果，為地殼形變分析提供了一種新的思路。

利用LSCREHSM模型進行地殼形變分析涉及協方差函數的構建，協方差函數的好壞將直接影響形變分析結果。本文采用高斯指數函數進行協方差函數擬合，取得了較好的結果。說明假定地殼運動速度場各點間的聯系隨距離衰減是基本符合實際的。但在不同區域，因地質構造情況差異性較大，LSCREHSM模型的適用性尚需進一步驗證。

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