間歇過程的灰色迭代學(xué)習(xí)控制

吳曉威， 趙 芳， 連 蓉， 楊會敏

（中車永濟(jì)電機(jī)有限公司研發(fā)中心， 陜西 西安 710018）

引言

在間歇過程中，安全性、穩(wěn)定性和高質(zhì)量的產(chǎn)品是對生產(chǎn)所提出的最基本的目標(biāo)。由于存在著模型不確定性、時變、非線性、反應(yīng)機(jī)理復(fù)雜等特點(diǎn)，要求控制器不僅能有效克服純滯后而且具有抗強(qiáng)干擾的能力還要對時變特性的適應(yīng)能力和對非線性現(xiàn)象的控制能力，只有這樣才能保證間歇過程控制系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)精度。文獻(xiàn)【1】指出，對于間歇過程，迭代學(xué)習(xí)控制是一種有效的先進(jìn)控制方法。文獻(xiàn)[2]提出一種反饋—前饋迭代學(xué)習(xí)算法，該方法在開環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)中引入反饋環(huán)，利用迭代偏差當(dāng)前時刻的歷史數(shù)據(jù)更新對象當(dāng)前前饋輸入。然而，實(shí)際的間歇過程控制系統(tǒng)或多或少的存在滯后和干擾，只采用迭代偏差的歷史數(shù)據(jù)更新對象當(dāng)前前饋輸入的算法，導(dǎo)致迭代偏差較大，會破壞控制的魯棒性，使得被控參數(shù)波動較大，有時甚至?xí)瓜到y(tǒng)失去穩(wěn)定性。

為了解決迭代學(xué)習(xí)算法收斂性的問題，本文提出一種新的基于灰色預(yù)測的迭代學(xué)習(xí)算法，在原有的反饋—前饋迭代學(xué)習(xí)算法的基礎(chǔ)上，引入灰色預(yù)測的思想，用預(yù)測迭代偏差代替當(dāng)前輸出與期望的偏差。用灰色系統(tǒng)模型GM（1，2）預(yù)測系統(tǒng)輸出，從而求出預(yù)測偏差。

1 基于灰色預(yù)測的迭代學(xué)習(xí)控制算法

基于灰色預(yù)測的迭代學(xué)習(xí)控制器，采用簡單的PID型控制，對實(shí)時過程進(jìn)行控制；采用迭代學(xué)習(xí)的方法偏差消除級，同時為了保證迭代學(xué)習(xí)的收斂性，反饋—前饋迭代學(xué)習(xí)算法中采用灰色預(yù)測得到預(yù)測偏差，如圖1所示。

圖1 基于灰色預(yù)測的迭代學(xué)習(xí)控制結(jié)構(gòu)圖

1.1 灰色預(yù)測模型

文獻(xiàn)【3】講述了灰色系統(tǒng)模型 GM（1，2）建模方法以及該建模方法的優(yōu)點(diǎn)。

設(shè)可測得其輸入和輸出時間序列如下：

對該序列（1）和（2）進(jìn)行一次累加生成1-AGO得:

利用一次累加生成數(shù)據(jù)列（3）和（4），可建立GM（1，2）微分方程：

其中，系數(shù)a和b有下式估計(jì)：

其中：

將式（5）其離散化得到：

式中：T為采樣周期。

將式（5）乘以差分算子的平方Δ=1-z-1（z-1為滯后算子），經(jīng)整理得：

將式（10）化簡為：

式中：α=1-Ta，β=Tb。

系統(tǒng)估計(jì)模型傳遞函數(shù)為：

1.2 基于灰色預(yù)測的迭代學(xué)習(xí)算法

文獻(xiàn)【4】采用迭代前饋和PID反饋相結(jié)合的迭代學(xué)習(xí)控制算法，

式中：t0，k為第k次循環(huán)的初始時間；ta為運(yùn)行時間，為當(dāng)前的迭代輸入值；為反饋項(xiàng)，

Uf為迭代的前饋項(xiàng)，

其中kp為學(xué)習(xí)增益矩陣。

為了保證迭代學(xué)習(xí)的收斂性，在當(dāng)前控制輸入中引入未來時刻的迭代偏差，該偏差是未來時刻的預(yù)測輸出與給定的期望輸出之差。

2 收斂性研究

對于系統(tǒng)Y=GU，采用本文方法描述的迭代學(xué)習(xí)控制算法。若滿足

3）過程零輸入響應(yīng)是不變的，即 y（0）（s）則當(dāng) k→∞時，系統(tǒng)迭代輸出yk（t），收斂于期望軌跡yd（t）。

則由式（14）和（15）得到：

由式（16）得到：

由此可見，基于灰色預(yù)測的迭代學(xué)習(xí)算法是收斂的。

又由于

3 魯棒穩(wěn)定性研究

若yd（s）-y0（s）∈H2，E（s）∈H2并滿足估計(jì)模型與實(shí)際模型完全匹配G=G^，換句話說

由式（25）得：

由式（25）和式（26）得

由此可以證明系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性。

4 仿真研究

4.1 系統(tǒng)辨識

采用等維新息滾動的灰色預(yù)測模型GM（1，2），建模維數(shù)選為5。圖2中給定輸入信號為。從圖3可以看出，等維新息滾動的灰色預(yù)測模型GM（1，2）得到的系統(tǒng)輸出與實(shí)際非線性系統(tǒng)輸出非常接近，辨識誤差非常小。利用公式求出總平均殘差為 0.004 8，預(yù)測精度由（1-e（avg））×100%得為99.52%。圖4為參數(shù)a與b的變化曲線圖。由此可知，系統(tǒng)的估計(jì)模型與實(shí)際系統(tǒng)幾乎完全匹配，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的前提假設(shè)。

4.2 輸出跟蹤研究

給定參考輸入 r（k）=sin（2×pi×k/50），在仿真中，比例系數(shù)kp=0.2；積分時間常數(shù)Ti=1；微分時間常數(shù)Td=0.5。迭代學(xué)習(xí)算法中，kp的作用是減少預(yù)測偏差和加快響應(yīng)速度。通過多次試驗(yàn)研究及分析，建立kp的變化規(guī)律為

采用自適應(yīng)調(diào)整kp參數(shù)，明顯優(yōu)于固定kp的學(xué)習(xí)效果。從圖5可以看出，隨著分批數(shù)k增加，跟蹤效果明顯變好。圖6為各批次輸出誤差曲線。圖7為以過程輸出變量的泛化均方根誤差：RMSEk=為標(biāo)準(zhǔn)的各批次跟蹤情況。從圖6可以看出，隨著批次數(shù)的增加，輸出誤差的RMSE值總體趨勢是逐漸減少。

圖2 灰色系統(tǒng)辨識圖

圖3 預(yù)測輸出與實(shí)際輸出比較圖以及辨識誤差

圖4 參數(shù)a與b的變化曲線圖

5.3 魯棒性分析

用灰色預(yù)測迭代學(xué)習(xí)算法控制不確定系統(tǒng)G=G（0s）（1+0.8W2）（s），其 中 ，

圖5 各批次輸出跟蹤曲線

圖6 各批次輸出誤差曲線

圖8為各批次輸出跟蹤曲線。圖9為各批次輸出誤差曲線。圖10為各批次均方根誤差(RMSE)跟蹤性能曲線。從圖8可以看出，灰色預(yù)測迭代學(xué)習(xí)算法對于不確定系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

圖8 各批次輸出跟蹤曲線

5 結(jié)論

圖9 各批次輸出誤差曲線

圖10 各批次的均方根誤差（RMSE）跟蹤性能

針對不確定間歇過程，提出了一種新的基于灰色預(yù)測的迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)方案。該方法將灰色預(yù)測與迭代學(xué)習(xí)算法結(jié)合，不僅改善了迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時克服工業(yè)生產(chǎn)中的不確定因素產(chǎn)生的影響。理論分析和仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，該控制策略具有收斂性和魯棒穩(wěn)定性，對不確定間歇過程能實(shí)現(xiàn)有效控制。

[1]Lee J H,Lee K S.Iterative learning control applied to batch processes:An overview[J].Control Engineering Practice,2007,15(10):1 306-1 318.

[2]Kuc T Y,Jin S L,Nam K.An iterative learning control theory for a class of nonlinear dynamic systems[J].Automatica,1992,28（6）:1 215-1 221.

[3]鄧聚龍.灰色控制系統(tǒng)[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社,1993.

[4]謝勝利.迭代學(xué)習(xí)控制的理論與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[5]Doh T Y,Chung M J.Robust ILC with Current Feedback for Uncertain Linear Systems[C]//Iterative learning control.1998:193-208.