數學課堂上的“自生型探究”
——一節試卷評講課上的意外收獲

江蘇省徐州市銅山區棠張中學 (221113)

孫安玉

數學教學要培養學生的質疑能力和探究能力，課堂上的質疑和探究活動往往都是教師有目的的課前預設，而課堂上通過學生的自主學習和小組合作學習往往會有些意外的、自主生成的質疑和探究，筆者將其稱為“自生型探究”，它是一種超出預定的、自發性的、更深入的問題的提出、分析、解決、總結和拓展的活動.下面結合筆者執教的一節試卷評講課所出現的教學片段談一談，不當之處請批評指正.

題目江蘇省南通市2015屆高三上學期期末考試數學試題17：

圖1

(1)求橢圓的方程；

(2)過右焦點F2的直線與橢圓交于A,C兩點，記△ABF2，△BCF2的面積分別為S1,S2.若S1=2S2，求直線的斜率.

同學們首先結合自己的情況進一步思考、然后在小組內討論本題解決的途徑，并由代表展示.

生A繼續評價:1.利用向量在解析幾何中的作用找到A,C的關系；2.也可以將x1,y1用x2,y2表示構建方程.

生B：我的解法也用到了向量，但是我沒有代入橢圓方程，而是用圓錐曲線的統一定義：

生B繼續評價：1.本題出現了焦點弦(兩個焦半徑)，所以想到了圓錐曲線的統一定義；2.統一定義中能找到橫坐標或者縱坐標的直接關系.

圖2

生C繼續評價：1.結合統一定義達成焦半徑的轉化；2.利用Rt△求解更優化.

筆者感覺特別欣慰，給三位同學以高度的評價，正要繼續下面的內容,這時“意外”出現了.

生D：對于同學C的解法很贊同，但是我想提出一個問題,在Rt△CAH中知道焦點分弦的比，可以求出直線的斜率.反過來，如果知道了直線的斜率是不是也可以求出焦點分弦的比呢？

這個問題出來后，筆者順勢把問題拋給了學生(畢竟老師也需要思考一下)，同學們探究一下D同學的問題，看哪一組可以給出答案？經過一段時間的自主思考后同學們在小組內討論了起來(筆者也深入各組了解情況，參加討論)，又有如下的展示過程.

師：很好！同學E抓住了圓錐曲線的定義和Rt△CAH靈活的進行了兩者之間的轉化，請坐.但是生E不愿坐下又提出了：如果我們知道了直線的斜率和焦點分弦的比值能不能求出橢圓離心率呢？這又引起了下面同學的熱議.

生F：是可以的，因為在Rt△CAH中涉及到了三個量：直線的斜率(傾斜角)、橢圓的離心率、焦點分弦的比值.利用統一定義知道其中兩個就能求出第三個.

比如知道直線的斜率為1，AF2=2F2C，有以下過程：

生F又問道：1.對于雙曲線和拋物線是不是也有類似的結論呢？有沒有離心率、比值、斜率(傾斜角)的一個通式？

2.對于過左焦點F1的直線與橢圓交于A,C兩點也有同樣的結論嗎？

3.焦點在y軸上又有什么樣的結論呢？

經過組內的熱烈討論后形成了以下成果：

此時下課的鈴聲響起來了，筆者本節課的教學任務因“意外”沒有完成，但是通過學生的自主質疑和探究對這類題深入已經讓教者驚嘆，“自生型探究”讓課堂煥發出了別樣的精彩.

俗話說“授人以魚不如授人以漁”，數學課堂上，教師要敢于放手、給學生更多的空間、鼓勵學生大膽的質疑、利用學生互助的能量、開發學生自研自探的能力，讓學生的思維走向深入，才能讓“自生型探究”的課堂常態化，從而使課堂教學得到最大化的收益.