一道課本習題的多視角求解及其變式

湖北省黃石一中 (435000)

葉志雄

人民教育出版社A版必修4 第 147頁B組第4題，有這樣一道題目：

該題目條件簡單，但所求式子復雜，稍不注意就可能陷入復雜計算當中.筆者通過研究發現該題蘊含了三角變形中諸多技巧，現呈現讀者以開闊思路.

法一:(整體構造求值)

點評：該方法是圍繞2x進行三角構造，這需要對sinx+cosx，cosx-sinx與sin2x的關系有深刻認識，其中平方的手段是處理這種問題的關鍵，要引起同學的注意.

點評：此方法是對題目中各個三角函數值直接求解，其中sinx與cosx的求法涉及到角的拆分，拆分的變形要根據題目中條件進行調整，這也是同學們學習的難點.

點評：此方法也是直接求題目中各個三角函數值，其中sinx與cosx的求法是構造對偶式，其中難點是精確x范圍，這不僅涉及到題目中顯性條件(條件直接給出x的范圍)也要注意題目中隱性條件(通過sinxcosx>0,再縮小x范圍)，這也是此方法的難點.

以上四種方法在三角函數求值中都有廣泛應用，有時對有些題目要選擇最合適的.下面這個題目初一看很難，但實際上用上述的平方思路，大家是否柳暗花明呢？

分析：分情況討論比較麻煩，不妨考慮構造等式平方.

掌握了以上技巧，大家不妨試試下面幾道練習：

總之，課堂時間有限，如何提高課堂效率是廣大教師應積極思考的問題.我們認為教師備課是關鍵，選題是核心.教師應多利用課本上已有資源，并精選習題用一題多解的方法來鍛煉學生的發散思維.長期堅持，則教學效果定能事半功倍，真正達到新課改的初衷！