乘積元素h1g0相關(guān)的Ext群

邊俊鵬，王玉玉

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

令A(yù)為mod p Steenrod代數(shù)(p＞2)，P為A的由循環(huán)縮減冪p(ii≥0)生成的子代數(shù).目前，低維球面穩(wěn)定同倫群的計算進(jìn)展較慢，且尚未有任何規(guī)律可循.從另一個角度來看，對于與球譜密切相關(guān)的Smith-Toda譜同倫群的非平凡元的研究就顯得尤為重要，而對Smith-Toda譜上同調(diào)群的探究是發(fā)掘其同倫群非平凡元的必經(jīng)之路，且仍然有大量未解決的問題.相關(guān)的結(jié)果請參見文獻(xiàn)[1-5].本文考慮與h1g0相關(guān)的Ext群結(jié)果，得到

其中：r＞2，p＞7，q=2(p-1)，n=1、2.

Smith-Toda譜 V(n)的 Zp上同調(diào)群為 H*V(n)≌E[Q0，Q1，…，Qn]，其中Q(ii=0，…，n)是mod p Steenrod代數(shù)A的Minlor基元，E[]為外代數(shù).由文獻(xiàn)[6]，當(dāng) n=1、2、3且 p＞ 2n時，V(n)是可實現(xiàn)的，并且存在上纖維序列(V(-1)=S)

其中當(dāng) n=0、1、2、3 時 αn分別為 p、α、β、γ.此上纖維序列可以導(dǎo)出Zp上同調(diào)群的短正合序列，因此可導(dǎo)出下面的Ext群長正合序列

1 V(2)譜中的 Ext群

命題[7]，其中

推論

引理1當(dāng)r≥2，p≥7時，Zp)=0.

證明由推論，并根據(jù)文獻(xiàn)[6]的引理2.2可知

由文獻(xiàn)[8]，當(dāng) t-r＜(p3+3p2+2p+1)q-4時，Hr，t(U(L))由以下上同調(diào)類(乘法)所生成

并且對于加法有

此時(i3)(*x)的全次數(shù)為2pq+2q-4≡2q mod pq-2.

由λ和λ*可知x可能為g0，對應(yīng)全次數(shù)為pq+2q-2，而(i3)(*x)的全次數(shù)為2pq+2q-4，二者不相等，故(i3)(*x)=0.考慮下面長正合序列

因此存在

滿足x=(α3)(*x1)=0，即

引理2當(dāng)r≥2，p≥7時，Zp)=0.

證明當(dāng)r≥3時，引理恒成立.下面僅考慮r=2的情況.

由正合性，存在

滿足y=(α3)(*y1)=0，即

2 V(1)譜中的 Ext群

定理1當(dāng)r≥2，p≥7時，Zp)=0.

證明由推論知

將[P(bi)j?H*，(*U(L))]r，t中全次數(shù)不大于2pq+2q-4的生成元記為λ，其全次數(shù)mod pq-2后的余數(shù)記為λ*，λ 和 λ*如下：

由下面的長正合序列

存在

滿足(α2)(*x1)=x.由正合性知存在

滿足(α3)(*y1)=(i2)(*x1)=0.

同理，存在

滿足x=(α2)(*α2)(*α2)(*x3).因此x=(α2)(*α2)(*α2)*(x3)=0，即

定理2當(dāng)r≥2，p≥7時，Ext3-r，2pq+2q+1-(rH*V(1)，AZp)=0.

證明當(dāng)r≥3時，定理顯然成立.下面僅考慮r=2的情形.

由引理2有

由正合性，存在

滿足(α2)(*y1)=y=0.從而

因此(i2)(*y1)=(α3)(*y′)=0，其中

注1定理1與定理2可以為探究h1g0在譜V(1)同倫群的收斂性提供有力的依據(jù).

注2由于中的可分解元素有kh=00?h1g0，因此本文的結(jié)論同樣適用于對k0h0收斂性的討論.

參考文獻(xiàn)：

[1]ZHONG L N，WANG Y Y.Detection of a nontrivial product in the stable homotopy groups of spheres[J].AlgebraicandGeometricTopology，2013，13(5)：3009-3029.

[2]王玉玉，王健波.球面穩(wěn)定同倫群中的ξn-相關(guān)元素的非平凡性[J].數(shù)學(xué)年刊，2014，35(5)：575-582.WANG Y Y，WANG J B.The non-triviality of ξn-related elements in thestablehomotopygroupsofsphere[J].Chinese Annals of Mathematics，2014，35(5)：575-582(in Chinese).

[3]WANG Y Y，WANG J B.The non-triviality of ζn-related elements in the stable homotopy groups of sphere[J].Mathematica Scandinavica，2015，117(2)：304-319.

[4]鐘立楠，劉秀貴.Adams譜序列上的非平凡乘積b0k0δ軇s+4[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2014，34(2)：274-282.ZHONG L N，LIU X G.Non-triviality of the product b0k0δ軇s+4in the Adams spectral sequence[J].Acta Mathematica Scientia，2014，34(2)：274-282(in Chinese).

[5]ZHONG L N，PIAO Y J.A nontrivial product in the May spectral sequence[J].Journal of Mathematical Research and Exposition，2011，31(2)：359-365.

[6]TODA H.On spectra realizing exterior part of the Steenrod algebra[J].Topology，1971，10(1)：53-65.

[7]王健波，肖建明.h0b31在π*V(1)中的收斂性[J].南開大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，39(1)：43-48.WANG J B，XIAO J M.The convergence of h0b31in π*V(1)[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Nankaiensis，2006，39(1)：43-48(in Chinese).

[8]MAY J P.The cohomology of restricted Lie algebra and Hopf algebra[J].Journal of Algebra，1966，3(2)：123-146.