區間二元語義Bonferroni集成算子及其決策應用

張茂竹，陳華友，韓 冰，江 瑩

ZHANG Maozhu,CHEN Huayou,HAN Bing,JIANG Ying

安徽大學 數學科學學院，合肥 230601

School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China

1 引言

多屬性決策過程就是決策者對若干方案的決策信息進行建模和擇優[1]。在實際的決策過程中，由于人類思維的模糊性[2]以及客觀世界的復雜性、不確定性，決策者對事物的評價往往以語言信息的形式給出。目前，已有一些文獻[3-6]提出了若干語言信息集成算子的概念。文獻[3]提出二元語義的Heronian平均算子和運算法則；文獻[4]利用合作對策的方法探討了語言信息的群決策模型。文獻[5]給出廣義語言有序加權對數平均算子的概念；文獻[6]定義了語言環境下的廣義Power算子。但是隨著研究的不斷深入，人們發現語言評價信息的集成結果往往會超出語言術語集的范圍，從而在不同程度上造成了信息的丟失，進而導致決策結果不夠精確。為了克服語言信息在運算過程中信息丟失的缺陷，Herrera[7]把語言術語變量通過一個表達式化為等價的二元語義信息。文獻[8]提出二元語義信息集結的有序加權平均算子和有序加權幾何平均算子的概念，并證明了該算子的數學性質，文獻[9]利用二元語義OWA算子集結不同粒度語言判斷矩陣的應用于語言偏好形式群決策信息，文獻[10]拓展冪平均（PA）算子到二元語義信息環境，提出多種二元語義PA算子及其有序加權形式。文獻[11-12]在Choquet積分和二元語義基礎上提出了廣義二元關聯平均算子以及相應的誘導集成算子。考慮到在信息集成的過程中各屬性兩兩之間的相互影響，文獻[13]給出了二元語義Bonferroni平均算子和組合加權形式的算子的概念。

在運用語言信息進行評價的過程中，由于受到各種主客觀因素的制約，決策者所給出的語言評價信息往往介于兩個語言評價值之間，為此需要研究區間二元語義信息的集成方法和不確定的決策應用。針對這種情況，本文將二元語義Bonferroni平均（2TLBA）算子推廣到區間二元語義的情形，提出了區間二元語義值Bonferroni平均（I2TLBA）算子及其加權平均形式，并提出了組合形式區間二元語義值加權Bonferroni平均算子，并討論了它們的性質和幾種特殊情況，并給出了基于C-I2TLWBA算子的多屬性群決策模型、步驟和應用實例。

2 基本概念

定義2.1[14]稱為語言術語集，其中si為具體的語言術語，i=1,2,…,g，g為偶數，S中元素的數目g+1稱為語言術語集的粒度，記為||S=g+1。

通常，語言術語集S應滿足如下性質：

（1）有序性：若 i≥j，則 si≥sj。

（3）存在極大化和極小化運算：若si≥sj，則

例如，一個粒度為9的語言術語集可表示為：

S={s0=極差，s1=非常差，s2=很差，s3=差，s4=中等，s5=好，s6=很好，s7=非常好，s8=極好}。

語言術語集在信息集成過程中容易造成信息的損失，為此引入二元語義的概念[7]。

定義2.2[7]設實數為二元語義信息集，則稱函數為二元語義轉換函數，即，其中β由下式確定：

其中round為取整算子，si∈S,α稱為符號轉移值。

反之，二元語義轉換函數Δ的反函數Δ-1：S×可以將二元語義符號轉化為實數信息，即

顯然，對于任意的語言評價短語si∈S，均可將其直接轉化成二元語義值，即：si=(si,0)。

（2）若 i=j，那么：

（1）若 i＞j，則

在實際的決策過程中，決策者給出的屬性評價結果往往介于兩個語言評價值之間，為此引入如下概念：

定義2.3[15]令S={s0,s1,…,sg}為語言術語集，若，且滿足：

為了對兩個區間二元語義值進行排序擇優，下面給出其大小比較的可能度定義。

定義2.4[16]設為兩個區間二元語義值，則的可能度為：

定義 2.5[16]設為兩個區間二元語義值，關于區間二元語義的比較有如下結果：

（2） 當且僅當

Bonferroni平均的特點是在信息集成的過程中考慮到數據之間的相互影響，其定義如下：

定義2.6[17]設 p,q≥0，且實數集合滿足ai≥0，i=1,2,…,n，若

則稱函數B為Bonferroni平均算子。

3 區間二元語義Bonferroni集成算子的概念及性質

為了對區間語言變量進行有效集成，有必要提出新的信息表達形式的集成算子。

定義3.1設

為一組區間二元語義值，若

則稱I2TLBAp,q為區間二元語義Bonferroni平均算子，其中 p,q≥0。

根據定義3.1的式（6），容易證明，I2TLBA算子具有下述性質。

性質3.1（冪等性）若n個區間二元語義值均相等，即：

則有：

性質3.2（單調性）設兩個區間二元語義值滿足：

則有：

下面介紹幾種I2TLBA算子的特殊情況。

則I2TLBAp,0算子簡化為區間廣義二元語義平均算子。則I2TLBA2,0算子簡化為區間二元語義平方平均算子。

則I2TLBA1,0算子簡化為為區間二元語義平均算子。

（4）當 p=1,q=1時：

則I2TLBA1,1算子簡化為區間二元語義相關平方平均算子。

考慮到被集結的區間二元語義信息具有不同的重要性程度，現對I2TLBA算子進行推廣，為此引入加權形式的算子。

4 組合形式的區間二元語義值加權Bonferroni平均算子

I2TLWBA算子應用的范圍是集成n維區間二元語義值，群決策需要集成多組相應的數據信息，為此提出新的算子概念。

定義4.1設

為t組二元語義值，若

則稱C-I2TLWBAω,λ為組合形式區間加權二元語義值的Bonferroni平均算子，記為C-I2TLWBA算子。其中ω=為加權向量中第 k大的元素，這里 λ=(λ1,λ2,…,λt)T是相應的權重向量t稱為平衡因子。

模糊語義量化算子[18]給出加權向量的求法。C-I2TLWBA算子既考慮了區間二元語義值的重要性，又考慮了所在位置的重要性。

5 基于C-I2TLWBA算子的群決策方法

在不確定語言環境中，考慮到各個屬性之間的相互影響，各個屬性以及決策者均具有不同的重要性，在基于I2TLWBA算子和C-I2TLWBA算子的基礎之上，提出了如下多屬性群決策模型和步驟。

多屬性群決策問題可以描述為：設X={X1,X2,…,Xm}為備選方案集，u={u1,u2,…,un}為屬性集，w=(w1,w2,…,wn)T為屬性權重向量，屬性ui所對應的重要性程度為wi，滿足為專家集合為專家的權重向量，滿足。專家dk∈D給出方案Xi∈X在屬性uj下的偏好關系為，從而專家 dk給出的決策矩陣為，其中 i=1,2,…,m;j=1,2,…,n ；k=1,2,…,t。

步驟3利用C-I2TLWBA算子對k位專家給出的決策方案的綜合屬性值進行集成，得到方案Xi的二元語義群體評價值。滿足ωk∈[ ]0,1，中第k大的元素。

6 實例分析

設某足球隊中有5名后備球員，由于主力球員受傷，現在想從5名球員中選擇1名球員去參加比賽，用來表示5名球員，在對5名球員進行綜合評估時，所要考慮的屬性有u1（技術），u2（經驗），u3（心理），u4（傷病），用 U={ }u1,u2,u3,u4表示。現請3位專家D={ }d1,d2,d3對5位球員進行評估，專家對球員的評價用下面的決策矩陣表示。設語言術語集為：

{s0=極差，s1=非常差，s2=很差，s3=差，s4=中等，s5=好，s6=很好，s7=非常好，s8=極 }好。

下面利用本文提出的方法對備選方案進行排序擇優：

步驟1將區間決策矩陣化為區間二元語義決策矩陣，得：

步驟2令 p=1,q=1，利用I2TLWBA算子進行集成

步驟3利用C-I2TLWBA算子對3位專家的意見進行集成，專家的權重為，根據模糊語義量化算子“大多數”[18]，可得，則有：

步驟4根據式（4），對每個方案的二元語義群體評價值利用區間二元語義可能度公式進行排序，從而有：

因此，第一名球員為最合適的替補人選。

7 結束語

本文給出了區間二元語義Bonferroni平均算子及其相應的加權平均形式、組合平均形式的算子的若干概念，探討了它們的一些重要的性質。Bonferroni平均算子可以考慮信息之間的相互關系，能有效地利用信息。

在不確定語言環境下的區間二元語義的多屬性群決策信息的集成為區間二元語義Bonferroni組合平均形式的算子提供了很好的應用領域。基于區間二元語義信息后備球員的評價實例表明所構建的模型和方法是合理有效的。

在不確定語言環境下，除了Bonferroni平均算子可以考慮信息之間的相互關系之外，未來可進一步研究相應的Power平均算子和Heronian平均算子，并有必要研究他們各自的特點和適用范圍。

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