基于體素模型的3D打印支撐算法

徐文鵬，苗龍濤，侯守明，強曉煥，曾艷陽

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基于體素模型的3D打印支撐算法

徐文鵬1，苗龍濤1，侯守明1，強曉煥2，曾艷陽1

(1. 河南理工大學計算機科學與技術學院，河南 焦作 454100；2. 河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南 焦作 454100)

3D打印技術是通過對材料的逐層堆積來構建物體，但對模型懸空的區域需要添加支撐結構。支撐結構不僅會造成打印材料的浪費，而且會延長打印時間并對模型外表有所損傷。為此，提出一種基于體素模型的支撐算法，針對體素化后的模型，分析體素之間的相互支撐作用，并引入體素支撐能量函數概念和計算方法，計算出需要添加支撐的體素，從而得到需要添加支撐結構的區域，并由該區域生成支撐結構，之后通過實驗對算法進行驗證。實驗結果顯示該算法能夠更加準確地對模型生成支撐，同時，基于體素模型的支撐算法對于模型內部支撐計算，也具有很好的適用性。

3D打??；體素模型；支撐能量函數；支撐算法

3D打印是一種以數字模型為基礎，運用各種可粘結材料逐層堆積的快速成型技術，在實際工作中，打印軟件將輸入模型逐層切片，規劃打印路徑，再由3D打印機將材料逐層粘合，從而構建物體。與傳統制造技術相比，3D打印這種獨特的加工方式，可以構建任意復雜結構及形狀的產品，大大降低了制造約束條件；同時，復雜的產品生產過程，被簡化為打印機自動加工，減少了人工操作，也降低了產品制造對工人技能的要求，此外，3D打印可以很方便地訂制各種產品，滿足人們的個性化需求。正是基于這些優點，近年來，隨著3D打印技術迅速發展，新的產品及技術如雨后春筍般出現，同時，也為3D打印的數字幾何處理帶來新的研究問題[1-2]，其中為模型添加支撐結構就是一個重要研究的問題。

3D打印是通過對材料的逐層堆積構建物體，而對于物體懸空的區域來說，常見的熔融沉積型打印機(FDM)、光固化成型打印機(SLA)、數字光處理成型打印機(DLP)和激光選區熔化型打印機(SLM)等都不能很好地使材料成型，需要在這些區域底部添加支撐結構來保證模型正常打印，并在打印結束之后去除支撐。支撐結構會造成材料的浪費，增加打印成本；由于支撐結構與模型表面粘連，去除支撐結構會對模型表面造成操作，影響模型外觀；另外，支撐結構還會延長打印時間，降低工作效率。因此，如何盡可能地減少或優化支撐結構，就顯得尤為重要。

在此背景之下，本文提出一種基于體素模型的支撐算法。該算法根據打印機精度，對模型體素化處理，得到體素模型。再根據體素層與層之間的相互支撐作用，來模擬3D打印逐層堆積的工作原理，并引入支撐能量概念和計算方法，計算體素支撐能量，以體素能量大小為判斷標準，來判斷需要添加支撐的體素，從而得到需要添加支撐的區域，再根據此區域來完成支撐生成任務。

1 相關工作

關于3D打印支撐這一問題，已有眾多學者對其進行研究，大體分為兩個研究方向：①通過選取更好的打印方向，來減少支撐的生成；②選取更為優良的支撐結構型式來生成支撐。RATTANAWONG等[3]通過對基本幾何體(四面體、立方體、圓錐體等)的分析驗證，得到最佳的打印方向，以此來確定由基本幾何體組成的復雜幾何體的打印方向。但是該種方案僅能夠解決復雜度較低的幾何體，對于一些復雜的工藝模型，該種方案并不能有很好的效果。ZHANG等[4]構建一個可以感知模型重要區域的系統，該系統依靠雙層極限學習機制，并結合已知的一些判斷依據，可以感知出模型的重要視覺特性，在此基礎上，通過優化打印方向，避免支撐結構出現在模型的重要區域，防止模型的重要特征受到損傷。SANATI等[5]提出一種基于帕累托(Pareto)的優化算法，該算法主要用于優化模型打印方向。算法首先求出單個打印性能的最優解，再利用多目標遺傳算法來優化這些性能，最終在保證模型的打印時間、支撐數量及模型的表面光潔度的要求下，得到最佳的打印方向。該種算法針對工業上的機械零件，具有很好的優化效果。STRANO等[6]通過優化打印方向，減少支撐結構的生成，利用3D隱式函數，以胞格結構為支撐型式來生成疏密不同的支撐結構，這種結構易于從模型表面剝除，減少對模型的表面的損傷。WANG等[7]受到建筑工程桁架結構的啟發，提出蒙皮-剛架結構，采用稀疏的桿件相連接對模型的內部空間進行優化，并通過一個評價函數來檢測模型的懸空點，之后采用支撐柱的結構型式，連接懸空點與最近可打印點，在保證模型可打印的同時，大大減少了材料的消耗。陳巖等[8]在此基礎上，對其進行改進，通過對網格模型采樣，并經大量測試，提出利用能量函數來尋找需要添加支撐的點集，并對支撐端口進行優化，減少支撐桿與模型表面接觸面積，從而使得支撐易于剝除，保護模型外觀不受傷害。VANEK等[9]通過選取合適的打印方向，使得需要添加支撐的區域面積最小，之后采用漸近優化算法，來保證生成支撐的總長度最小，并借鑒Autodesk Meshmixer的支撐結構型式，生成一種類似的樹狀支撐結構。宋國華等[10]提出采用對稱的樹狀分枝結構型式來生成支撐，增加支撐結構的穩定性，提高打印模型的成功率。HERGEL和LEFEBVRE[11]發現腳手架具有更好的穩定性和更高的支撐強度，于是提出一種類似于腳手架的支撐結構型式，利用梁柱構件來生成支撐，支撐結構具有很好的支撐強度和穩定性。HU等[12]通過優化打印方向，并對模型表面進行適當優化，來增加模型表面的自支撐部分，從而達到減少支撐結構的目的。

盡管當前已有眾多學者對支撐問題進行研究，但傳統的支撐算法主要分為兩類：①根據模型表面三角面片的傾斜角度[13]，即通過計算所有懸空并且法線與垂直方向夾角較小的面片，并通過對些面片采樣來生成支撐，這在一些常見的3D打印軟件Meshmixer (http://www.meshmixer.com/)、Magics(http://www.materialise.com/)和Cura(http:// www.ultimaker.com/)中都有應用；②將模型數據切片[14-15]，通過對相鄰兩層切片作布爾差分運算，來計算懸空區域，并在懸空區域下方生成支撐結構，HUANG等[16]又對其進行優化，提高此算法的穩定性，且使算法能夠對模型上懸空的頂點和邊線提供良好的支撐。傳統的支撐算法較為成熟，適用面廣，但目前仍存在一些不足之處，表現為基于模型三角面片傾角的支撐算法，當模型表面存在一些懸空的尖角區域時，如圖1所示，該區域每個面片的法向與垂直方向夾角均較大。算法有可能會將這些面片標記為不需要添加支撐，但若要正常打印模型，該區域是需要添加支撐結構的，所以基于面片的支撐算法對這種帶有懸空尖角區域的模型處理效果不夠穩定。而基于連續切片作布爾差分運算的支撐算法，其不足之處在于，一方面支撐區域受切片路徑的影響，另一方面，相鄰切片布爾運算得到的結果，需要添加支撐結構的區域往往較大，結果往往不夠精確。

圖1 帶有懸空尖角區域的模型

針對傳統算法中存在的一些問題，本文提出一種基于體素模型生成支撐結構的算法。算法主要借鑒了文獻[8]中的支撐能量函數思想，將其在網格模型中的應用推廣到體素模型中，通過分析體素與體素之間的相互支撐作用，來判斷體素自身的支撐情況，并由體素生成支撐結構。本文算法的主要優點是將原模型用體素來表示，將體素作為分析對象，以便更好地檢測出懸空的體素，由此確定需要添加支撐結構的區域。另外，由于體素體積小，模型精度高，而支撐結構又是基于體素生成，從而能夠得到更為準確的支撐結果。

2 基于體素模型的支撐生成

本文通過對模型體素化，得到體素模型，在此基礎上，根據體素間的相互支撐作用，引入針對體素的單元支撐能量函數概念和計算方法，計算體素的支撐能量，再以體素支撐能量為判斷標準，來判斷需要添加支撐的體素，由此得到需要添加支撐的模型區域，根據此區域來生成支撐結構，完成支撐生成任務。

2.1 模型體素化

體素模型是對模型體素化處理后得到，通過將網格模型轉換為實體對象，用基本體素來填充整個模型。常見的體素形式有四面體和六面體，體素化后的模型如圖2所示。由于3D打印的本質也是用材料層層堆疊，填滿模型所包含的空間，由此可看出，二者的處理過程有很大相似之處，因此，基于體素模型來考慮支撐結構的生成，既自然也合理。因此，本文根據模型的要求來設置不同的打印精度，據此來設置體素大小，得到體素模型，再分析體素之間的相互支撐作用，以此為基礎來生成支撐結構。

圖2 Bunny模型的兩種表示方式

2.2 體素支撐能量及其計算

具有一定結構的物體各部分間能互為支撐、互相支持，如建筑工程上砌墻的磚塊，每一層都能得到下一層的支撐，這樣通過逐層堆砌，形成墻體進而建成房屋，如圖3(a)所示。體素化后的模型也是如此，模型上每一層體素都會受到其下一層體素的支撐作用來抵消該體素所受的重力，達到平衡狀態，如圖3(b)所示。因此，引入了體素支撐能量概念，用以表示體素模型中體素與體素之間的相互支撐作用及體素的所受支撐效果。

圖3 磚塊及體素之間的相互支撐作用

若用表示體素，用()表示體素自身所具有的支撐能量。則受到下層相鄰體素的支撐，得到這些體素所傳遞的支撐能量。支撐能量數值的大小可以反映體素所受支撐程度的高低，()值越大，表明該體素已被支撐的程度越高，在打印時越穩定，而()值越小，則表示被支撐的程度越不好，當()值低于一個閾值min時，則該體素需要支撐才能順利打印。

下面來分析體素支撐能量函數的計算方式。對于任一體素，若該體素位于最底層base，打印時其自身與打印平臺相連，則打印平臺對其提供支撐能量，所以底層體素不需要添加支撐結構，同時可將支撐能量設為最大值0；若體素位于其他層，其下方相鄰體素會向貢獻其支撐能量，則體素具有的支撐能量為下方相鄰體素所貢獻的支撐能量總和()。為了避免支撐能量在向上傳遞過程中，不斷膨脹，影響計算結果的正確性，所以當()>0時，就需要將()修正為0，以避免上述膨脹情形產生。因此，根據分析，可以得到支撐能量函數計算式

其中，v為體素下方相鄰體素；為下方相鄰體素的數量；表示下方相鄰體素v的支撐能量傳遞系數。由于支撐能量在傳遞過程中會發生衰減，所以用支撐能量傳遞系數表示支撐能量的衰減情況。的取值與下方體素的位置、打印材料的粘滯性及打印精度有關。當下方體素與所計算體素的距離較遠，則值越小，反之越大。根據體素與下方相鄰體素的位置，取值可分為3種情況：當下方體素0位于被支撐體素正下方時，其能量傳遞系數最大，為1；當下方體素為1、2、3和4時，它們與體素距離要稍遠些，因此支撐能量系數變小，為2；當下方體素為5、6、7和8時，它們與體素距離最遠，因此支撐能量系數也最小，為3，如圖4所示。此外，打印材料的粘滯性以及打印精度也對有影響。打印材料粘滯性越強，打印精度越高，則支撐能量衰減就越慢，相應的取值就越大，反之則越小。

另外需要說明的是，本文計算體素的支撐能量時，沒有考慮同層相鄰體素之間相互支撐作用，主要有兩方面原因：①同層相鄰體素間的支撐作用實質上還是來源于下層相鄰體素所提供的支撐，如果同時考慮的話可能會有所重復；②如果考慮同層相鄰體素的支撐能量計算，易引起循環計算，導致計算復雜性大大增加。

圖4 下方體素所處位置影響α取值

2.3 體素支撐能量及其計算

支撐生成任務按先后順序分為兩步：①尋找需要添加支撐的區域；②為需添加支撐的區域添加支撐結構。

2.3.1 尋找需要添加支撐的區域

對于如何尋找需要添加支撐的區域，首先根據模型打印精度，對網格模型體素化處理得到體素模型，再由支撐能量函數計算出每個體素的支撐能量，由支撐能量閾值min篩選出自身支撐能量小于閾值的體素，從而得到需要添加支撐結構的區域。

在遍歷計算體素自身支撐能量時，當某一體素的支撐能量小于min時，需要標記該體素，同時，修改其支撐能量為0。之后計算其上層體素的支撐能量時，需要調用該體素的支撐能量，該體素既已確定添加支撐，支撐結構會為其提供支撐能量，則支撐能量應當變為0。具體算法如下：

算法1.

輸入：給定一個三維網格模型。

輸出：需要支撐的體素集out。

步驟1.對體素化，得到體素集in；

步驟2.將底層所有體素的支撐能量函數值賦為初值0；

步驟3.對體素集in中的體素，從第二層開始，根據其高度由下至上按如下步驟進行處理；

步驟4.按式(1)計算體素的支撐能量函數，得到()，如果()0，將()也設為0；

步驟5.最終得到需要添加支撐的體素集out。

2.3.2 支撐結構的生成

對于支撐結構的生成，可在得到需要添加支撐結構的體素集后，根據體素集所確定的區域，來完成支撐生成的任務。本文主要研究更加準確地找到需要添加支撐的區域，從而較為準確地生成支撐結構，而非優化支撐結構型式，因此本文選用較為簡單方便的柱式結構作為支撐結構型式。具體支撐結構生成的方法是通過對需添加支撐的體素中心點投影，若體素下方垂直方向有其他體素，則選取距離最近的體素中心點作為投影點，若體素下方垂直方向沒有其他體素，則直接投影到打印平臺，由體素的中心點與投影點的高度差，確定出支撐桿的長度，并根據體素單元的大小，來確定支撐桿的半徑，由此生成的支撐桿即為模型的支撐結構，算法如下：

算法2.

輸入：支撐體素集。

輸出：添加支撐結構的模型。

步驟1.對體素集采樣，得到新的體素集1；

步驟2.根據體素中心點對體素投影；

步驟2.1.如果下方垂直方向有其他體素，選取距離最近的體素中心點為投影點；

步驟2.2.如果垂直下方沒有體素，則直接投影到打印平臺；

步驟3.根據體素中心點與投影點生成支撐桿，所得的支撐桿即為所生成的支撐結構。合并支撐桿與原模型，得到最終模型。

3 實驗結果

在CPU為Inteli7-6500U 2.50 GHz、內存為16 GB的Windows7電腦上，選用熔融沉積型(FDM)打印機測試模型，打印機的型號為MakerBot Replicator 2，打印材料為常見的PLA，固定打印機精度為0.10 mm，模型填充率設為10%，打印模型。

可選取測試模型，通過對能量傳遞系數賦值，并設定支撐能量初值0，能量閾值min，來計算出體素的支撐能量，并根據支撐能量閾值min得到不能打印的體素區域。在此基礎上，打印未添加支撐結構的模型，找出模型上實際不能打印的區域，通過對比，修正和min的取值。

通過多次實驗測試并修正，0取值100；1、2和3分別取值為0.50、0.25和0.20；min取值為30較為合適，可以得到一個較為不錯的支撐結果。在此基礎上，再選取實驗模型，運行本算法，打印模型并對比實驗結果如圖5所示。

圖5 實驗結果

此外，對ABS塑料也進行了實驗測試，0仍取值100，min取值為30，雖然ABS材料的熔點高于PLA材料，但由于其冷卻時間較短，與PLA材料相比，ABS材料的粘滯性要大一點，所以，能量傳遞系數要稍大一點。經過實驗測試，ABS材料的12和3分別取值為0.60、0.35和0.30，較為合適。同樣情況下，使用ABS材料的模型生成支撐更少一點，則打印Bunny測試，Bunny大小為43 mm′33 mm′41 mm，ABS材料的模型比PLA材料的模型少約0.88 g。

同時，可選取Bunny、Panda和Fertilty等 模型，進行實驗測試，模型尺寸、體素數量及有關運算時間等實驗相關數據見表1。從表1可看到，隨著模型體素數量的增加，算法的運算時間也在增長，說明算法的運算時間與體素的數量緊密相關。

表1 本文算法實驗數據

再將本文算法生成的支撐結構，與當前主流的3D打印軟件Cura、Meshmixer和Majics生成的支撐結構作對比。Cura軟件是直接在懸空區域下方擠出支撐結構，較為浪費材料；Meshmixer軟件和Majics軟件為了節省材料，首先對懸空的需要添加支撐的面片進行采樣，對采樣點進行整合，然后選用不同的支撐結構型式，Meshmixer軟件選用樹狀作為支撐結構型式，Majics軟件則提供多種結構型式，但通常選用塊狀結構來生成支撐。如前所述，由于本文選用較為簡單方便的柱體作為支撐桿，可能會造成多余的材料消耗。實驗對比如圖6所示。

圖6 4種支撐生成方式比較

在支撐生成區域大小方面，本文算法有一些優勢。以Bunny為例，在本文設定的打印精度下，直觀上觀察，Meshmixer、Cura和Majics都在尾巴處生成一些多余的支撐，且在耳朵、下巴和前胸部生成的支撐區域也較大，本文算法相對生成支撐區域較小，尾巴處幾乎沒有添加支撐，耳朵、下巴和前胸也沒有其他算法生成區域大。另外，通過計算模型表面添加支撐結構的區域面積比較大小。本文算法的支撐區域面積是通過由計算體素的大小與體素的數量得到；Cura軟件的支撐區域面積通過計算其支撐區域在底部的投影，并測量出投影面積；Majics軟件自帶面積測量，對各支撐區域的表面積進行求和；Meshmixer軟件暫時沒有較好的方法來計算其支撐區域的面積，因此沒有列入。最終得到的結果見表2，3種算法對比發現，本文算法的支撐區域面積較小，而Cura軟件生成的支撐區域面積較大。

表2 3種算法支撐區域面積對比(mm2)

在打印材料消耗方面(表3)，Meshmixer軟件生成的樹狀支撐結構，能夠減少材料的消耗，占有較大優勢；而本文算法雖然生成的支撐區域較少，但是由于選用柱狀的支撐結構型式稍顯簡單，且當支撐桿長度越長時，越浪費材料；Majics軟件與Cura軟件類似，是通過在模型懸空區域下方擠出密集的支撐結構，相對來講，較為耗費材料。

表3 4種算法打印材料消耗對比(g)

在打印穩定性方面，Cura軟件生成的支撐比較密集，較為穩定；本文算法是基于體素生成支撐桿結構，受體素尺寸影響，桿的直徑較小，當支撐桿的長度較長時，支撐的穩定性不夠好；Meshmixer軟件中的樹狀支撐在打印大面積懸空區域時，樹狀結構由于上部支撐點較多，而底部僅有少數點與打印平臺粘連，這種結構不夠穩定，在打印過程中，經常會出現支撐結構與打印平臺分離的情況，造成打印失敗；而Majics軟件生成的支撐結構與模型表面僅靠一些稀疏的點相接觸，且接觸點的面積較小，打印過程中支撐結構容易與模型表面相分離，支撐結構沒有起到支撐作用，造成打印失敗。

因此，4種算法都能夠較好地完成支撐生成任務，同時保證模型的正常打印。本文算法的主要優點是在于模型支撐生成區域面積較小，但是由于支撐結構型式稍顯簡單，在消耗材料方面沒有Meshmixer軟件有優勢；在打印穩定性方面，與Meshmixer軟件，Majics軟件相似，偶爾會出現不穩定的現象，如果能采用更優的支撐結構型式，應該能有更好的材料消耗與穩定性表現。

4 結束語

針對3D打印支撐問題，本文提出一種基于體素模型生成支撐結構的算法，算法著重分析了體素之間的相互支撐作用，并對支撐不夠穩定的體素生成支撐桿。經實驗測試，本文算法能夠更加準確地找出模型需要添加支撐的區域，除此之外，采用基于體素模型的模型支撐算法，能夠較好地適用模型的內部支撐計算。

本文工作在以下方面可以有所改進。首先，由于本文算法的主要目的是尋找較為準確的支撐區域，對如何選取穩定良好的支撐結構型式未作深入分析，所以采用了較為簡單的圓柱來生成支撐結構。當圓柱長度與半徑的比太大時，支撐柱的穩定性會不夠好，下一步將考慮選用更為穩定的支撐結構型式，增加支撐的穩定性和健壯性，從而提高支撐打印成功率。其次，本文算法需要對模型體素化處理，由于體素化后的模型，體素數量巨大，造成算法效率較低，下一步可以考慮結合GPU技術來進一步加速計算。

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Construction of Support Structure Based on Voxelization Models for 3D Printing

XU Wenpeng1, MIAO Longtao1, HOU Shouming1, QIANG Xiaohuan2, ZENG Yanyang1

(1. School of Computer Science and Technology, Henan Polytechnic University, Jiaozuo Henan 454100, China; 2. School of Surveying and Land Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo Henan 454100, China)

3D printing technology can fabricate models by additive accumulation of a material that is fused together layer by layer, but the overhang area should be added support structure. The support structure will not only cause a waste of printing material, but also increase the printing time and damage the appearance of the model. In this paper, we propose an algorithm on support structure based on the voxelization model, which analyzes the interaction of voxels, and introduces the support energy parameters and calculation method. Then we calculate the area of the voxels which need to add support structure, and finally, we generate the support structure according the voxels area. The experimental results show that the algorithm can add support structure of the model more accuracy. At the same time, the voxel-based support algorithm can be used for a research on internal support structure of a model.

3D printing; voxelization model; support energy function; support algorithm

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2018020228

A

2095-302X(2018)02-0228-07

2017-07-12；

2017-08-12

河南省科技攻關項目(162102310090)；河南省高等學校重點科研項目(16A520011)

徐文鵬(1976–)，男，江西九江人，副教授，博士。主要研究方向為計算機圖形學。E-mail：wpxu08@gmail.com

曾艷陽(1987–)，男，河南信陽人，講師，博士。主要研究方向為計算機圖形學與幾何處理。E-mail：zyyhost@qq.com