正交異性膜結構在沖擊荷載作用下的振動解析與數值分析

張 琳，何 玲， 龐 嵩，劉長江

(1.中鐵二院工程集團有限責任公司，四川成都 610031； 2. 成都理工大學，四川成都 610059)

張拉平面膜結構主要用于會展中心、停車場和體育館等公共設施的平面型屋蓋結構中[1]。由于這種結構自重輕、剛度小，因而在外荷載作用下容易產生振動，以致膜面松弛變形，甚至導致整個膜結構失效。因此對膜結構的動力設計進行優化控制具有重要意義。

目前，國內外學者對薄膜結構自由振動作了一定的研究。1999年，Vega等對帶有內部斜撐的矩形薄膜的自由振動進行了研究，得到了其振動頻率的解析解[2]。2002年和2004年，Kang等對傾斜和彎曲復合矩形薄膜的自由振動進行了研究，得到了傾斜度和彎曲度對其振動頻率的影響[3]。2009年，Reutskiy發展了一種新的數值分析方法對任意形狀的薄膜的非線性振動進行了研究，該方法基于頻譜分析系統物理響應的數學模擬[4]。在國內，2010年，林文靜等構造六節點三角形單元，用于平面薄膜自由振動的有限元分析，給出了三個典型算例表明，六節點三角形單元的計算結果比ANSYS三角形單元更接近理論解，即六節點三角形單元具有更高的精度[5]。

以上的這些研究都是針對均勻的膜結構進行的研究，且沒有進行沖擊荷載下膜結構的受迫振動的研究。因此，本文將采用近似解析方法和數值分析對正交異性的平面張拉建筑膜結構在沖擊荷載下的無阻尼受迫振動問題進行研究，為膜結構的動力設計提供一定的理論依據。

1 建立振動控制方程

開展正交異性的平面張拉建筑膜結構在沖擊荷載下的無阻尼受迫振動問題的理論研究，核心任務是確定沖擊荷載，并建立振動控制方程。

1.1沖擊荷載

四邊固支的正交異性矩形薄膜結構的x方向邊長為a，y方向的邊長為b，x方向初始拉力為Nox，y方向初始拉力為Noy，沖擊荷載為一垂直于膜面入射的小球，其質量為M，初始速度為v0，如圖1所示。當沖擊點位于膜面上的點(x0,y0)處時，沖擊荷載可表示為：

p(x,y,t)=F(t)δ(x-x0)(y-y0)

(1)

其中，F(t)為膜面所受沖擊力；δ(x)為Dirac函數。

圖1 四邊固支的正交異性矩形薄膜受小球撞擊示意

沖擊荷載是在一很短的時間內作用的荷載，因此將小球與膜面的碰撞視為彈性碰撞，根據動量定理建立沖擊力F(t)與薄膜撓度w(x,y,t)的關系式，有：

(2)

對式(2)求一次導計算，得：

(3)

1.2 控制方程和邊界條件

根據結構動力學達朗貝爾原理[6]和馮·卡門大撓度理論[7-8]，便可以得到正交異性矩形薄膜在沖擊荷載作用下的運動和受迫振動控制方程，通過推理獲得受迫振動控制方程組簡化式：

(4)

(5)

式中：N0x表示x向預張力；N0y表示y向預張力；Nx表示x向拉力；Ny表示y向拉力；w=w(x,y,t)為薄膜撓度；ρ為膜材的面密度。

2 控制方程求解

對已建立的受迫振動控制方程進行求解，得到振動位移函數。設振動位移函數和應力函數的表達式如下：

(6)

(7)

式(6)中:0≤x≤a，0≤y≤b，a和b分別為薄膜的長短邊長度；φmn(x,y)和Tmn(t)為未知函數；Tmn(t)為時間的函數，它反映振動隨時間變化的規律；m和n取正整數，表示x方向和y方向的正弦半波數或稱為節線數。

為簡化運算符號，令Tmn(t)=T(t)，φ(x,y,t)=φ，φmn(x,y)=φ(x,y)=φ，Wmn(x,y)=W(x,y)=W=sin(mπx/a)sin(nπy/b

將式(6)、式(7)只取其中的一項進行計算，再將最終得到的結果按照式(6)、式(7)式進行求和計算，即：

w(x,y,t)=T(t)·W(x,y)

(8)

φ(x,y,t)=T2(t)·φ(x,y)

(9)

把式(9)代入式(5)得：

(10)

根據式(10)的結構，設滿足式(10)的解有如下形式：

γ1x3+γ2x2+γ3y3+γ4y2

(11)

將式(11)代入式(10)得：

(12)

下面計算沖擊薄膜的瞬間，薄膜與小球一起運動的初速度。在沖擊時，沖擊時間非常短暫，薄膜與小球組成的系統近似為保守系統，動量守恒定理適用。考慮膜面不同點的速度的不同，則有：

(13)

其中，W為薄膜的初始變形函數。v0為小球的初速度，v0′為小球與薄膜沖擊點在t=0時刻的初始速度。設薄膜初始變形的形函數為：

(14)

將式(14)代入式(13)，計算可得：

(15)

將式(1)、式(7)和式(8)代入式(4)，由伽遼金法得[9]：

(16)

將應力函數表達式(12)代入式(16)并進行簡化得：

(17)

將式(3)代入式(17)并簡化得：

(18)

方程式(18)是關于T(t)的非線性微分方程，其精確解析解很難求解。因此，采用L-P攝動法求解非線性方程式(18)的近似解析解，可得：

T(τ)=T0(τ)+εT1(τ)+0(ε2)=

(19)

(20)

設在t=0時刻，薄膜沖擊點與沖擊物體有相同的初速度v0′，即令初始條件為：

(21)

將式(21)代入(20)式得：

(22)

求解可得：

(23)

將式(23)代入式(22)，可得：

(24)

將式(23)、式(24)代入式(20)得：

(25)

將式(25)代入雙Fourier級數展開的位移表達式(6)得薄膜受迫振動位移函數：

(26)

3 數值計算與理論推導結果對比分析

為驗證理論推導過程和結果的可靠性，采用大型通用有限元分析軟件ANSYS中的LS-DYNA計算模塊進行數值計算，并將解析理論分析結果與數值計算結果進行比較分析。計算參數：工程中常用的建筑膜材，面密度ρ為1.7 kg/m2；膜材厚度h為1 mm；膜材長寬分別為a=0.4 m和b=0.2 m,x和y方向的彈性模量分別為E1=1.4×106kN/m2，E2=0.9×106kN/m2，膜材預張力為N0x=N0y=10 kN/m，小球質量M為10-2kg。

3.1 位移時程曲線對比

將膜面沖擊點無阻尼振動理論分析時程曲線和數值計算時程曲線繪入圖2中進行對比。圖2中 曲線橫坐標單位為秒(s)，縱坐標：理論分析單位為米(m)，數值計算單位為毫米(mm)。

從圖2可以看出，理論計算的時程曲線與數值分析的時程曲線很接近，只是沖擊點的最大位移理論值略小于數值計算值。

3.2 最大位移值對比

薄膜在小球v0=15 m/s沖擊作用下的位移云圖如圖3所示。從數值計算結果和理論計算結構中讀取薄膜的最大位移值，并將其列入表1中對比分析，計算數值計算結果與理論分析結果的相對差。

從表1可以看出，數值計算的最大位移與理論分析最大位移相差較小，最大相對差為僅11.9 %。由此可知，數值計算結果與理論分析結果吻合良好。數值結果與理論結果的相對差值隨著小球初速度的增加而減小，且理論計算結果略小于數值分析結果。

(a)理論分析曲線

(b)數值計算曲線圖2 膜面沖擊點的無阻尼振動時程曲線(v0=15m/s)

圖3 薄膜位移云圖(v0=15m/s)

速度等級v0/(m·s-1)152025理論計算結果/mm5.47.39.0有限元模擬結果/mm6.12967.72479.1287相對差/%11.905.501.41

4 結論

本文利用達朗貝爾原理和薄膜大撓度理論，建立了四邊固支矩形正交異性膜結構在沖擊荷載作用下的非線性無阻尼振動的理論分析模型和控制方程組。采用L-P攝動法求解了所得控制方程租，得到了振動頻率表達式和振動的位移函數表達式。采用ANSYS中的LS-DYNA模塊進行了數值計算，并通過算例將理論推導公式解析解與數值計算結果進行了比較分析，從而驗證了理論分析的準確性。本文建立的正交異性膜結構在沖擊荷載作用下的振動解析理論計算方法對膜結構的動力分析和設計具有一定的理論指導意義和實用價值。

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