高中函數核心概念教學案例研究
——以函數單調性為例

常 勇

(四川省成都市樹德中學 610036)

傳統教學中，由于教師對于數學概念的教學認識不足，重解題技巧輕概念訓練，致使概念與計算脫節，一旦將概念的考查融合于實際應用時，則不能夠融會貫通，也使計算被禁錮在某些熟知的框架之中.因此，對于數學概念的學習不應僅停留在記憶和背誦上，而應立足于核心概念教學的“過程性”，促使學生主動參與概念的處理和搜集，了解概念的由來，理解概念的本質，注重數學核心概念的教學.

一、函數單調性案例分析

1.概念引入

解析通過觀察圖象，圖1是y隨x的增大而增大，圖2是y隨x的增大而減小，圖3是在對稱軸x=1的左側y隨x的增大而減小，右側是y隨x的增大而增大，這種引入概念的方式更加側重于對圖象變化的分析，從而得出單調性的描述性性定義.

案例二圖4是某一地區24小時的氣溫變化圖，要求學生觀察圖象并回答以下問題：

(1)該地區0時、11時、22時的溫度分別是多少？

(2)該地區的最高、最低溫度分別是多少度？

(3)該地區0時到23時的變化如何描述，你還能列舉出相應的例子嗎？

解析應用生活中的實際案例，引發學生的好奇心，要求學生觀察圖象歸納出單調性的定義.顯然這種引入概念方式更加側重于特殊數據的分析.

綜上所述，以上案例均引出了函數單調性的概念，但案例一是從學生已學知識引出概念，更接近學生的學習水平，并且又溫習所學知識的，其缺點是缺少數據的參與，對函數單調性的感知是不完整的.而案例二是從學生生活中的例子出發，是在分析數據和數據變化的趨勢上歸納總結出函數單調性的定義，其不足是缺少圖象的直觀感知，如果將數據變化與圖象變化有機結合起來，則會有利于單調性的學習.

2.概念理解

案例三教師畫出f(x)=x2函數的圖象，要求學生思考以下問題：

(1)在y軸的右側函數圖象是上升，還是下降？

在學生回答問題后，教師給出如果在y軸的右側任意取兩點x1、x2(x1

(2)教師隨機提問減函數的定義，并強調“任意”、“區間”等關鍵詞.

解析通過分析y=x2函數圖象，直接給出增函數的定義，并要求學生通過類比的方式得出減函數定義.

案例四教師設置以下問題，要求學生回答.

問題1：分別畫出函數f(x)=x、f(x)=x2的圖象，請說明自變量和函數值之間的關系.

問題2：如圖5所示，請說出該函數是增函數嗎？如果不是，請說明理由.

問題3：應用數學語言描繪增函數的定義.

解析通過對已知圖象的觀察，引導學生對函數的單調性進行描述，并對注意事項以案例的形式呈現，最后以探究的形式得出函數單調性的嚴格定義.

綜上所述，以上案例均歸納總結了函數單調性的定義，但案例三忽視了學生的主觀能動性，將函數單調性的概念直接呈現給學生，不利于學生創造性思維的發揮和對函數單調性本質的理解.案例四設置了三個問題不斷給學生創造認知沖突，能讓學生體會到函數單調性質，其不足是沒有給學生獨立思考的時間，仍然是將知識灌輸給學生，未能激發學生學習的興趣.

三、概念應用

案例五呈現教材中的案例，并組織學生學習.

解析進一步拓展函數單調性定義的應用，并總結出證明函數單調性的具體步驟.

案例六設置以下例題，并組織學生進行學習.

(1)已知函數f(x)=5x+2，請證明該函數是增函數.

(3)已知函數f(x)=x2+3x，請判斷該函數在R上的單調性.

解析應用定義進一步拓展練習，歸納出判斷和證明函數單調性的一般步驟.

綜上所述，以上案例均歸納出證明函數單調性的一般步驟，但案例五是采用教材上的例題，學生易簡單模仿，不利于函數單調性本質的理解.案例六是按照難度逐步加深的原則進行設計的，有利于拓寬學生的視野，易于學生接受.

四、歸納小結

案例七教師列舉了以下知識，要求學生記憶并形成概念體系.

證明函數單調性的幾個步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

判斷函數單調性的基本方法：圖象法、定義法.

解析教師總結本節課程重點組織學生學習.

案例八

問題1：如何證明函數單調性？

問題2：判斷函數單調性的基本方法主要有哪些？

問題:3：請以案例的形式說出本節課程所涉及到的基本思想方法.

解析學生總結，教師進行補充和完善.

綜上所述，以上案例均總結了證明函數單調性的步驟，但案例七缺乏學生的參與，案例八沒有意識到過程性方法的提煉.

二、高中函數核心概念教學建議

通過對以上函數單調性案例的分析，并針對當前函數概念教學中存在的重“結果”輕“過程”的問題，教師應立足于概念的“過程性”，在引入概念時，注重數形結合；在建構概念時，注重新舊知識之間的聯系；在理解概念時，注重題目變式和正反；在鞏固概念時，注重強化應用；在形成體系時，注重總結.并在具體教學實踐中，應注重以下幾個方面：

1.數形結合，優化思維過程.為了讓學生全面初步獲得概念，教師應采用數形結合思想，優化學生思維過程，并且提供的正面實例是從圖象和表格兩個方面組織學生進行觀察和探究.

2.巧妙設置探究問題.要以學生為主體，設置的問題要從實際生活和學生的最近發展區出去，注重自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等方式引導學生參與.

3.多角度理解概念.教師不應該忙于講解概念的判斷方法、證明步驟，而是利用變式練習來突出概念的本質屬性，用新獲得的概念去分析概念引入時所提供的實例，通過圖象、表格、形式化符號語言之間的轉換來理解概念的本質.

4.完善認知結構，形成概念體系.理清概念與其它概念、數學實際問題之間的區別和聯系，把所學的零散的知識串連起來，站在一個較高的高度上構建出概念體系.

總之，函數是高中數學課程中的一個核心概念，只要我們在具體核心概念教學中徹底改變輕描淡寫的狀態，堅持數形結合、數學思想方法滲透、多角度理解、構建出概念體系，不斷理解概念的本質，才能很好地應用于具體題目，才能獲得較為理想的效果.

參考文獻：

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