將數學思想與方法滲透于教學活動中
——《長方形與正方形》任務設計與教學

鐘 燕

《長方形與正方形》是小學數學“圖形與幾何”教學中的內容，北師大版教材把這一內容編排在二年級下冊第六單元。長方形是平面幾何中的一個基本圖形，是后期學習各種幾何圖形的基礎。本課學習任務設計主要圍繞研究長方形的特征展開。

一、任務說明

1.任務及目標。

（1）學習任務。

①下面哪個圖形是長方形，哪個不是？

②想象：把①號圖形折成長方形。

③不動手折，借助直尺或三角尺把這條折痕畫出來。想一想，怎樣才能畫標準？（挑戰性任務）

（2）任務目標。

①結合觀察、操作活動，能描述長方形的特征。

②了解折、畫、比、量等多種認識圖形的方法，體會研究圖形方法的多樣性。

③在探索長方形的特征中，激發對圖形研究的好奇心。

2.設計說明。

關于長方形特征的認識，教材安排的操作活動（教材第67頁）簡單、直接，目標明確，通過操作學生能夠順利得出“長方形的對邊相等，四個角都是直角”。但這一任務缺乏驅動力和挑戰性，仔細分析，學生的操作并沒有具體、明確的目標，只是按教師的指令進行操作，學生的探索活動并不需要深入思考，這樣的學習任務無法在學生獲取數學知識的同時，較好地發展他們的高層次認知能力。

我所設計的學習任務，把對長方形特征的認識融合于解決問題的過程中，需要學生積極主動參與，自主思考并選擇解決辦法。在操作、探索與體驗的過程中，把握圖形特征。任務設計經過反復實踐，不斷調整，主要經歷了以下三次轉變。

（1）從多到少，聚焦難點。

起初，設計了從十個圖形中找出長方形的學習任務，并根據這些長方形展開探究。主要是考慮到圖形的多樣性有利于概念豐富性的建立，但是通過教學實踐，我發現不是圖形數量越多，就越能揭示長方形特征。圖形數量過多，不利于交流互動。改進設計時，我將圖形縮減為具有代表性的四個，分別是兩個不同位置的長方形，一個直角梯形和一個平行四邊形。將梯形和平行四邊形通過折一折變成長方形，并將任務進行分層，先研究梯形，再研究平行四邊形。在這個過程中，學生有任務、有觀察、有動腦、有操作。但是在實踐中又發現任務的兩個層次并不明晰，過程有重復。最后確定留下三個圖形，把直角梯形作為研究的重點材料，挑戰性任務圍繞直角梯形展開。聚焦難點，容易發現和捕捉學生個性化的解決問題的方法。

（2）從折到畫，關注本質。

在學習任務1中，學生通過動手操作，將直角梯形折成長方形，這一過程中學生更多的是憑直覺操作，缺少對圖形特征和解決問題策略多樣性的思考。學習任務2，借助學生已有的折紙活動經驗，重在引導學生思考如何畫得標準，通過觀察、想象、比較在腦中完成折的過程，并通過畫折痕的方式把思考的成果物化下來，轉化為展示、交流的資源。折和畫看起來似乎只是兩種不同的操作方式，其實有著較大的區別。區別之一：讓學生畫折痕突出了想象過程，有利于發展學生的空間觀念；區別之二：讓學生畫折痕逼迫他們從定量的角度研究和把握長方形的特征。

（3）從正到斜，展現思維。

從兩幅圖的對比中可以發現，從材料1到材料2，直角梯形的擺放位置發生了改變。這一改變，使學生的關注點與思考方向發生了變化。材料1學生只要豎著畫一條線段就可以，而材料2學生在操作時必須考慮所畫的線段能不能與底邊垂直，所產生的兩組新的對邊長度是不是相等。

實踐中，材料擺放位置的簡單變化，給教學帶來了很大的變化。面對材料1，大部分學生都能較為準確地畫出折痕，挑戰性并不強。因為缺乏與錯例的比較，在討論“怎樣才能畫標準”時，學生不知道該如何回答。而面對材料2時，學生在畫折痕前，有了更多的觀察、思考，把梯形翻過去倒過來反復地揣摩。畫好之后，學生之間的差異也非常明顯，從結果來看，將近三分之一的學生畫標準了，將近三分之二的學生存在問題。畫好之后，很多學生能夠自覺地應用各種方法對自己所畫折痕進行驗證。教學時，展現學生探索成果，比較差異，研究正誤，能夠引導學生深刻感知、掌握長方形特征，發展學生高層次認知能力。

二、任務教學

這一學習任務可以按以下教學程序展開：

首先，在黑板上呈現學習材料2中的三個圖形，請學生觀察后回答“哪個圖形是長方形，哪個不是”，并說一說①號圖形為什么不是長方形。再引導學生想象：把①號圖形折成長方形。最后課件出示具有挑戰性的學習任務：“不動手折，借助直尺或三角尺把這條折痕畫出來。想一想，怎樣才能畫標準？”在學生明確任務要求后，獨立嘗試解決。

在學生解決問題過程中，教師需要巡視并收集學生操作的成果。教學反饋時，教師應把重點放在引導學生討論“如何驗證是否畫得標準”上，可以選擇并投影呈現兩幅學生作品，一幅標準的，一幅略微有偏差的。先引導學生觀察、想象、比較，發現無法進行清晰辨別。在學生憤悱之時，提出問題：“哪幅畫得更標準，你有什么好辦法來驗證？”學生思考、交流解決問題的過程，就是學生研究長方形邊和角的特征的過程。

上述任務設計不僅有學生喜愛的看一看、畫一畫等具體的活動，同時又能引導學生通過觀察、辨別、測量、對比、抽象、概括，把直觀幾何和抽象推理、邏輯演繹、嚴格證明的方式相結合，有力地促進數學知識在活動中的內化，從而掌握圖形的特征。把數學思想與方法滲透于教學活動中，有效提升學生的數學素養，發展高水平認知能力。