數量表征理論與小學數學教學

趙 晨 吳夢迪

表征是人們頭腦中再現事物和認識事物的方式，數量表征就是數量概念在個體頭腦中的再現方式，即個體頭腦中以何種方式理解數量概念及其關系。數量表征的過程就是個體頭腦內部對數量刺激的解釋、表達和操作的過程。

美國學者Siegler及其團隊在研究中發現，兒童早期數量表征的表現與其后來的數學成就密切相關。因此，在小學階段甚至幼兒時期培養兒童數量表征能力顯得至關重要。這就要求小學數學教師充分了解兒童數量表征發展的特點，并在平時的數學教學中積極采取相應方法促進兒童數量表征的發展。

一、Siegler數量表征理論

Siegler是美國兒童數量認知科學研究的代表性人物，其研究理論主要包含了心理數字線以及兒童數量表征的發展階段等。

1.心理數字線。

心理數字線，即心理數軸，它是用來描繪兒童數量表征發展過程的工具。在兒童數量表征的研究中，研究者們將兒童內心看不見的心理數字線顯性化，轉化成可見的、可分析的真實數字線，并通過“數字線估計”任務，來了解兒童數量表征的發展情況。

在“數字線估計”任務中，研究者向兒童呈現一系列數字線，在數字線兩端分別標注有恒定的數字（例如0和100），并要求兒童根據出示的另一數字（例如35）在數字線上標注出對應的位置（每條數字線標注一個數字）。根據兒童在數字線上標注的數字位置，研究者建立出兒童數量估計特點的模型，來描述兒童數量表征的發展特點。

研究發現，兒童的心理數字線是一個動態的、不斷變化的結構，即隨著兒童數量表征的發展，兒童的心理數字線也在不斷調整，逐漸趨于精確。

2.數量表征階段。

兒童從出生到成熟，其數量表征的發展分為如下四個階段∶第一階段，形成越來越精確的非符號數量表征；第二階段，將非符號數量表征與符號數量表征聯系起來；第三階段，擴展可精確表征的整數范圍（從精確表征小整數到精確表征大整數）；第四階段，精確表征整數以外的數，特別是分數、小數和負數。從心理數字線角度看，即隨著兒童年齡的增長，心理數字線慢慢向右延伸以表征更大的整數，向左延伸以表征負數，后又擴展到對分數和小數等的符號表征。小學階段兒童主要經歷了后三個階段。

（1）從非符號數量表征到符號數量表征。

兒童的數量表征從形式上可分為非符號表征和符號表征兩種。比如，對于數量“3”的表征可以是非符號形式的，如三只兔子、三種聲音等；也可以是符號形式的，如阿拉伯數字“3”及其他各種形式的數詞“三”“three”等。

兒童在開始學習數字之前，就能夠以非符號的方式來表征數字的大小，該階段的表征不依賴于符號知識，是一種非符號表征。對該階段兒童數量表征的研究，主要是通過讓兒童識別點陣的方式。該階段兒童非符號數量表征的精確度隨著年齡的增長不斷提高。比如6個月的嬰兒能分辨以2：1的比例呈現的點陣（如18個點和9個點）；而6歲兒童能區分6：5的點陣（如18個點和15個點）。

兒童的符號數量表征則是在其開始學習數字符號之后發展起來的，幼兒及小學低年級兒童處于掌握符號系統的初期階段。在初期階段，兒童對于整數數量的表征呈現出兩種表征形式，即對小數（1至3或4的自然數）的精確表征和對大數（大于3或4的自然數）的近似表征。

（2）從小數量精確表征擴展到大數量精確表征。

在符號數量表征的發展中，兒童對于整數的精確表征范圍逐漸從小數量的精確表征擴展到大數量的精確表征。換句話說，兒童對于大數量（大于3或4的自然數）的表征逐漸由近似表征轉向精確表征。

兒童在符號數量表征中，對于小數量間的心理距離比大數量間的心理距離大得多。比如，在0~10的數字線上標注數字時，3歲和4歲兒童估計的小數量間的距離就比大數量間的距離更大，如認為數字“2”和“3”之間的距離比“7”和“8”之間的距離大，這種估計模式稱為“對數模型”；而5歲和6歲的兒童則能均等地估計這兩對數字間的距離，這種估計模式稱為“線性模型”。

研究發現，在0~100范圍內，5歲和6歲兒童的估計模式呈對數增長，而7歲和8歲兒童呈線性增長。在0~1000范圍內，7歲和8歲兒童估計模式呈對數增長，而9歲和10歲兒童呈線性增長。因此，兒童數量表征的精確程度受到兒童年齡的影響。隨著兒童年齡的增長，兒童精確表征整數的范圍逐漸從小數量擴展到大數量。

（3）從整數符號表征擴展到分數符號表征。

兒童對數量的符號表征是從整數表征開始的，隨著年齡和學習經驗的增長，表征范圍逐漸從整數表征擴展到分數表征、小數表征。當然，這與兒童數學內容學習的順序也是一致的——先學習整數，再學習分數等。

兒童的分數數量表征與整數數量表征之間有很多相似之處。隨著年齡的增長，兒童的分數數量表征也是由對數表征向線性表征發展，并且精確性會逐漸增強。Siegler等發現，在0～1數字線估計任務上，初中低年級學生分數表征的準確性顯著高于小學高年級學生，且前者表征的線性程度更好。這在一定程度上說明，隨著兒童對數字符號學習及理解的不斷深入，兒童的分數數量表征隨著年齡的增長也在不斷發展。

但是，分數與整數的符號表征發展之間依然存在明顯差異。首先，兒童分數符號表征的發展比整數符號表征的發展要晚很多。另外，兒童的分數表征在精確性上不及整數表征，很難達到精確表征水平。

二、數量表征理論對小學數學教學的啟示

兒童數量表征的發展具有階段性，且早期兒童在數量表征上的表現與其之后的數學學習密切相關。因此，小學數學教師在教學中應當關注兒童的數量表征，采取適當的教學策略，促進兒童數量表征的發展，這對于兒童數學學習具有重要的意義。

1.幫助兒童建立對大數的精確表征。

早期兒童可以形成對小數的精確表征和對大數的近似表征，而對于大數的精確表征往往存在諸多困難。在教學過程中，教師很難認識到兒童表征數量的心理過程，這是不利于兒童數量表征的發展的。西方利用數字線估計任務來測量兒童數量表征的特點，則能夠將兒童的心理數字線顯性化。結合我國的教學實際，“數軸”是一個很好的表征工具和教學手段。

利用“數軸”，兒童能夠從數軸的方向上了解數的大小關系，右邊的數字比左邊的數字大；數軸的單位長度表示每兩個相鄰整數之間的距離都是相等的。教師利用數軸幫助兒童進行對大數的表征，有利于兒童對數量大小的主觀感受及其數量表征由近似走向精確，比如，兒童會認識到3513和3518之間的距離與1和6之間的距離是一樣大的。

然而，目前在我國教學實踐中，教師對數軸的使用還不夠充分，很多地區到五年級及以后才真正開始引入數軸。因此，小學教師應該加強對數軸功能的開發和使用，在小學低年級階段就可以利用數軸帶領兒童進行相關大數的估計和表征。

此外，Siegler等人認為“反饋”是促使兒童對大數量精確表征的重要因素。反饋對兒童的數量表征具有調節作用，經過教師的反饋，兒童的數量表征水平會產生明顯轉變。而且不只是被反饋的幾個數字發生了轉變，反饋對于整個大范圍內的數字表征都產生了顯著影響。

因此，小學數學教師需要在關注兒童數量表征的基礎上，充分利用數軸，幫助兒童建立對大數量的精確表征。并及時對兒童在數軸上的標數活動進行反饋，糾正偏差錯誤，給予解釋性和針對性指導，從而使得兒童的心理數字線不斷調整，逐步精確。

2.幫助兒童建立分數符號表征。

分數是小學階段數學學習中的一個重要部分，一般從三、四年級開始正式學習分數。然而，相對于整數表征，兒童對分數的表征更為困難，很多兒童很難真正理解分數所代表的數量意義。因此，幫助兒童建立對分數的表征是當前教學的一個重點和難點。

傳統的分數教學強調整體與部分的關系以及分數的運算法則，例如把一個圓平均分成四份，其中的一份就是它的四分之一。而Fuchs等開發的四年級“挑戰分數”課程研究發現，通過對分數大小的比較、排序，以及在數軸上標識分數等活動，能更有效地促進兒童分數數量表征的發展。

因此，在分數的教學中，小學教師仍然可以借助數軸幫助兒童建立對分數的符號表征。通過在數軸上表示分數，使兒童對分數的概念、大小關系等有直觀的感受，并進一步明確整數和分數的聯系與區別。整數和分數都能在數軸上表示，分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，整數也可以看成是分母為1的分數等。

3.加強數量表征經驗，提高數量表征能力。

Siegler和MuYan于2008年進行的跨文化研究發現，相較于美國兒童，中國兒童數字線估計的準確性更高。其原因可能在于中國兒童的數字學習經驗較多。中國教師和家長普遍重視兒童數學運算能力的培養，在一年級時中國兒童就已有100以內數的表示、數的大小比較、數的運算等較為豐富的數量學習經驗，這在一定程度上促進了兒童數量表征能力的發展。不僅如此，我國學者陳英和等人也發現，兒童數數水平和數概念水平越高，反饋的促進作用越大。可見，兒童數學活動經驗是影響兒童數量表征的一個重要因素。

為了加強兒童數量表征的活動經驗，在小學階段尤其是低年級，教師可以結合兒童思維表征的特點，適當地在課堂中以小組活動形式開展數字棋盤游戲并給予反饋。具有線性排列、連續編號的相同大小空間的棋盤游戲，可以提供兒童關于數量表征的動覺、聽覺和視覺的感官經驗，加強兒童數字技能的練習，特別是計數和數字識別等。因此，線性棋盤游戲的有效利用，將對我國兒童早期數量表征能力的提升具有促進作用。